三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形

一．选择题（共3小题）

1．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

A．a2B．a2C．a2D．a2

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：几何图形问题；压轴题．

分析：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．

解答：解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，

又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，

∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，

∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积

∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，

∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D．

点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．

2．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，

③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．

解答：解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC

点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．

由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正确．

∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，

∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正确．

∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）=45°

∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC

故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误．故选B．

点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．

3．四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（）

A．①②B．②③C．①③D．②④

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

专题：压轴题．

分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可．

解答：解：∵AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，①错误；

利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正确；

由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，③正确；△ABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；②③正确，故选B．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等．

二．填空题（共6小题）

4．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n= 3n+1 （用含n的代数式表示）．

考点： 等边三角形的性质．

专题： 压轴题；规律型．

分析： 根据图跟表我们可以看出n 代表所剪次数，a n 代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律

加以求解．

解答： 解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．

故答案为：3n+1．

点评： 此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力．

5．如图，在△ABC 中，AC=BC ＞AB ，点P 为△ABC 所在平面内一点，且点P 与△ABC 的任意两个顶点构

成△PAB，△PBC，△PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P

的个数为 6 个．

考点： 等腰三角形的判定与性质．

专题： 压轴题．

分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB 的垂直平分线，首先△ABC 的外心

满足，再根据圆的半径相等，以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，AB 的垂直平分线相交于两点，

分别以点A 、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，与AB 的垂直平分线相交于一点，再分别以点A 、B

为圆心，以AB 长为半径画圆，与⊙C 相交于两点，即可得解．

解答： 解：如图所示，作AB 的垂直平分线，①△ABC 的外心P 1为满足条件的一个点，

②以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，P 2、P 3为满足条件的点，

所剪次数

1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … a n