理论力学习题解答第九章
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9-1在图示系统中,均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ,OA 杆的长度为1l ,AB 杆的长度为2l ,轮的半径为R ,轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时,OA 杆的角速度为ω,求整个系统的动量。
ω12
5
ml ,方向水平向左
题9-1图 题9-2图
9-2 如图所示,均质圆盘半径为R ,质量为m ,不计质量的细杆长l ,绕轴O 转动,角速度为ω,求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩: (a)圆盘固结于杆;
(b)圆盘绕A 轴转动,相对于杆OA 的角速度为ω-; (c)圆盘绕A 轴转动,相对于杆OA 的角速度为ω。
(a)ω)l R (m L O 22
2
+=;(b)ω2ml L O =;(c)ω)l R (m L O 22+= 9-3水平圆盘可绕铅直轴z 转动,如图所示,其对z 轴的转动惯量为z J 。一质量为m 的质点,在圆盘上作匀速圆周运动,质点的速度为0v ,圆的半径为r ,圆心到盘中心的距离为l 。开始运动时,质点在位置0M ,圆盘角速度为零。求圆盘角速度ω与角ϕ间的关系,轴承摩擦不计。
9-4如图所示,质量为m 的滑块A ,可以在水平光滑槽中运动,具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接,另一端固定。杆AB 长度为l ,质量忽略不计,A 端与滑块A 铰接,B 端装有质量1m ,在铅直平面内可绕点A 旋转。设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数。求滑块A 的运动微分方程。
t l m m m x m m k
x
ωωsin 21
11+=++
9-5质量为m ,半径为R的均质圆盘,置于质量为M的平板上,沿平板加一常力F。设平板与地面间摩擦系数为f,平板与圆盘间的接触就是足够粗糙的,求圆盘中心A点的加速度。
9-6均质实心圆柱体A 与薄铁环B 的质量均为m ,半径都等于r ,两者用杆AB 铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为θ,如图所示。如杆的质量忽略不计,求杆AB 的加速度与杆的内力。
θsin 7
4
g a =
; 9-7均质圆柱体A 与B 的质量均为m ,半径为r ,一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上,绳的另一端绕在圆柱B 上,如图所示。摩擦不计。求:(1)圆柱体B 下落时质心的加速度;(2)若在圆柱体A 上作用一逆时针转向,矩为M 的力偶,试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。
9-8平面机构由两匀质杆AB,BO组成,两杆的质量均为m,长度均为l,在铅垂平面内运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M,从图示位置由静止开始运动。不计摩擦,试求当A即将碰到铰支座O时A端的速度。
9-9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定,并以等角速度ω绕铅直线转动,如图所示。如杆与铅直线的夹角为θ,求杆的动能。
题9-9图 题9-10图
9-10物质量为1m ,沿楔状物D 的斜面下降,同时借绕过滑车C 的绳使质量为2m 的物体B 上升,如图所示。斜面与水平成θ角,滑轮与绳的质量与一切摩擦均略去不计。求楔状物D 作用于地板凸出部分E 的水平压力。
θθcos g m m m m sin m F x 12
12
1+-=
9-11鼓轮I 重N 500=W ,对轮心O 点的回转半径为m 2.0=ρ,物块A 重N 300=Q ,均质圆轮II 半径为R ,重为N 400=P ,在倾角为α的斜面上只滚动不滑动,其中m 1.0=r ,m 2.0=R ,弹簧刚度系数为k ,绳索不可伸长,定滑轮D 质量不计。在系统处于静
止平衡时,给轮心B 以初速度0B v ,求轮沿斜面向上滚过距离s 时,轮心的速度v B 。
解:轮B O 、作平面运动,物块A 作平动
2211V T V T +=+ ①
2020202202012
1/21/21/21/21B B B A A J g Pv g W g Wv g Qv T ωωρ++++=
()()r R v r R rv v R v B B A B B +=+==/,
/,/000000ωω
g PR J B /2
1
2=
()[]
(){
}
()g r R Qr r W P v T B 4//232
2222
01++++=ρ
代入已知数据得:()g v T B 9/41002
01=
同理()g v T B 9/41002
2=
取平衡位置为各物体重力势能的零位置,有:212
1st k V δ=
()()()r R r s W Q sP s k V st +⋅+-++=
/sin 2
12
2αδ 为确定st δ,考虑静平衡时,A O 、及轮B ,由
∑=0E
M
,得:
()()r R r Q W T ++=/1
由
∑=0H
M
,有:st k F F P T δα==--001,0sin
()()k P rk Rk r Q W st /sin /αδ-++=
代入①,有
()()()
()()
r R sr W Q sP s k g v k g v st B st B ++-+++=+
/sin 2
19/4100219/41002222
0αδδ 解得:(
)
2
/12
2
08200/9gks v v B B -=
题9-11图
9-12 均质棒AB 的质量为kg 4=m ,其两端悬挂在两条平行绳上,棒处在水平位置,如图所示。设其中一绳突然断了,试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的张力F 。
N 8.9=F
9-13图示机构中,物块A 、B 的质量均为m ,两均质圆轮C 、D 的质量均为m 2,半径均为R 。C 轮铰接于无重悬臂梁CK 上,D 为动滑轮,梁的长度为R 3,绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动,求:(1)A 物块上升的加速度;(2)HE 段绳的拉力;(3)固定端K 处的约束反力。
g a A 61=
;mg F 3
4
=;mgR M mg F F k ky kx 5.135.40===,,