弹塑性力学第九章弹性力学的能量原理
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弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具
幂函数型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为幂函数形式，适用于描述岩石等材料 的弹塑性行为。
双曲线型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为双曲线形式，适用于描述某些复合材 料的弹塑性行为。
弹塑性本构模型的选用原则
根据材料的性质选择合适的弹塑性本 构模型，以确保能够准确描述材料的 力学行为。
在选择本构模型时，需要考虑模型的 复杂性和计算效率，以便在实际工程 中得到广泛应用。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹塑性力学基础 • 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质 。
当外力卸载后，物体发生弹性恢复，但需要一定的时间才能完成。这种 现象称为弹性后效。弹性后效的大小与材料的性质、温度和加载速率等 因素有关。
03
塑性应力应变关系
塑性应力应变关系定义
塑性应力应变关系
01
描述材料在塑性变形阶段应力与应变之间的关系。
特点
02
当材料受到超过屈服点的外力时，会发生塑性变形，此时应力
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
第九章 塑性力学简单实例
• 圆杆的位移,应变和应力 采用圆柱坐标,位移分量 a 为: ur 0 zra z u zr r uz 0 o x 其中 为单位长度扭角. 应变 z r , 其它为零. 应力除 z (它的大小与 z 有关,是 r 的 函数)不等于零外, 其它为零. 注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧 面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆 两端的边界条件可以只在合力方面得到 满足.
5) 残余应力 在 T 作用下, 按弹性计算得 到 2Tr z R4
3)弹性极限扭角( rs R
e
s
):
RG 3
弹性极限扭矩为
Te
由卸载前的应力减去上 式的剪应力得到残余应 力.见前页图.
R 3 s
2 3
4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩 在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远 处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截 面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最 大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转. y zr 1.弹性分析
b y
M
M
x o
h/2
z h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
截面上的应力分布情况( 距离):
是梁的中性面到弹塑性分界面的
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料
• 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩,
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
弹塑性力学部分习题
2018/10/7 7
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
弹塑性力学之弹性力学的能量原理
WdV =
V
V
W
(ε
(k ij
)
)dV
∫ ∫ V (k)
=− V
fiui(k ) dV −来自SσXi
u
( i
k
)
dS
（1） fi 和 X i 给定;
（2）已将几何关系引入 εij =(ui,j +uj,i )/2 ;
（3）ui(k)为可能位移： ui = ui
在su上 ;
（4）在各向同性线性材料应变能 U 的表达式为徐芝纶（上册）P.345
∫ ∫ ∫ W12 =
V
f
i
(1)
u (2) i
dV
+
S
X
(1) i
u (2) i
dS
=
σ ε dV (1) (2)
V ij ij
第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功
∫ ∫ ∫ W21 =
V
f
i
(
2)
u (1) i
dV
+
S
X
(2) i
u (1) i
dS
=
σ ε dV (2) (1)
V ij ij
δui =0 在su上
虚设状态
根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上
做功
∫ ∫ ∫ V fiδui dV + Sσ X iδui dS = V σ ijδε ij dV
弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移
及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功—
Q x
第一：一对力 P 作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点
《弹塑性力学》第十章弹性力学的能量原理
弹性力学能量原理在材料力学 中有着广泛的应用，它为材料 在受力状态下的行为提供了重 要的理论依据。
在结构力学中的应用
在结构力学中，弹性力学能量 原理被广泛应用于各种结构的 分析、设计和优化。
通过应用该原理，可以分析结 构的整体和局部稳定性、振动 特性、屈曲行为等，确保结构 在各种载荷下的安全性和稳定 性。
弹性力学能量原理在其他领域的应用
工程结构分析
利用弹性力学能量原理对桥梁 、建筑等工程结构进行静力和 动力分析，优化设计。
生物医学工程
将弹性力学能量原理应用于人 体组织和器官的力学行为研究 ，为医学诊断和治疗提供依据 。
地球科学
将弹性力学能量原理应用于地 质构造、地震工程等领域，研 究地球物理现象。
该原理基于能量守恒和最小势能原理，通过分析系统的能量分布 和转化，推导出弹性系统的平衡方程和本构关系。
弹性力学能量原理的重要性
弹性力学能量原理是解决弹性力学问 题的重要工具之一，它可以用于求解 各种弹性力学问题，如应力分析、应 变分析、弹性稳定性等。
该原理提供了一种系统的方法来研究 弹性系统的行为，有助于深入理解弹 性材料的性质和行为，为工程设计和 应用提供理论支持。
02
弹性力学能量原理的基本概念
势能原理
总结词
势能原理是弹性力学中一个重要的基本原理，它表明一个弹性系 统的总势能达到极值。
详细描述
势能原理指出，对于一个处于平衡状态的弹性系统，其总势能（ 包括应变能和外力势能）在平衡状态下达到极值，即在受到微小 扰动后，系统会恢复到原来的平衡状态。
最小势能原理
03
弹性力学能量原理的应用
在材料力学中的应用
01
02
03
04
《弹塑性力学》课件
结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算 方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
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理得
∫+∫=∫
(σε
2)(1)(2)(1)(2)(1)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
σij=λεδ+2Gε
kkij
ij
()
∫=∫+
σ(ελεδεε
2)(1)(2)(2)(1)
VijijdV2GdV
Vkkijijij
()
λε(2)ε(1)ε(2)ε(1)
∫+
=
Vkkss2GijijdV
σ(ελεδεε
1)(2)(1)(1)(2)
()
∫=∫+
VijijdV2GdV
Vkkijijij
=()
∫+
λε1)((1)2
(ε2)εε()
Vkkss2GijijdV
相
等
∫+∫=∫
(σε
1)(2)(1)(2)(1)(2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫+∫=∫
(2)(1)(2)(1)σ(2)ε(1)
iuuijijii
σ=取真实的应力作为静力可能的应力
isjσ
ij
∫+∫=∫
Fkddσεd
biuVfuSV
sksk isiiijij
VSV
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nudS
Sijji
u
=
∫+∫+∫=∫
VFbiuidVfudSnudVdV
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫=∫
σ(1)ε(2)σ(2)ε(1)
VijijdVdV
Vijij
∫(+∫
1)(2)(1)(2)
FudVfudS
VbiSsi
ii
∫(+∫
=2(1)
FudVfu
)(1)(2)
Vbiii
Ssi
dS
这就是贝蒂互换定理（功的互等定理）：作用在弹性体上
第一状态的外力在第二状态位移上所作的功，等于第二状态的
u
indSudV
kσkσ
VSijjiij
,j
=
∫+∫
skk
fsiudSFudV
ibii
SV
这就证明了弹性体的虚功原理。
需要指出的是
¾在小变形的前提下，这个原理适用于任何材料。
¾上面从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界
条件出发，证明了虚功原理的成立，反之，也可利用虚功原理
推导出平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条
极值（或驻值）问题又进而变成函数的极值（或驻值）问
题。从而最后把问题归结为求解线性方程组。是有限元等数
值计算方法和半解析法的理论基础。
§9-1弹性体的虚功原理
满足
σ+=0
⎧F
⎪
ij,jbi
⎨
=σ
⎪fn
⎩
siijj
（在体内）
（在已知应力边界Sσ上）
σ
的应力分量，称为静力可能的应力。静力可能的应力未必
ij
加适当的约束，使梁不能产生整体的刚性位移，或者作用适
当的剪力和弯矩，
使梁保持平衡。
现在，利用最小
势能原理推导用
梁的挠度表示的
平衡微分方程和
应力边界条件。
采用材料力学的简化模型
根据平截面假设，梁
的任一横截面x上与中性
层相距为z的点的位移为
dw
()
w==−
wx,uz
dx
其中w(x)为梁的轴线的挠度。由几何方程，有
是真实的应力，因为真实的应力在体内还须满足以应力表示的
S应变协调方程，而对应的位移还须满足上的位移边界条
u
件。但反之，真实的应力必然是静力可能的应力。为了区别真
σs
实的应力，用表示静力可能的应力。
ij
⎧1
满足()
ε=+
u
⎪u
iji,jj,i
⎨2
⎪
uu
=
⎩
ii
（在体内）
S
（在已知位移边界上）
u
u
的位移分量，称为几何可能的位移。几何可能的位移未必
移过程中外力保持不变，并注意到变分和积分两种运算可交换
次序，于是上式又可写为
δ
⎛∫−∫−∫
⎞
⎜
vVFudVfudS
d⎟=
⎝Vbii
ε
Ssii⎠
V
σ
0
令=∫−∫−∫
EPvdVFudVfudS
εVbiiSsii
V
σ
δ
E
P
=
0
δ
E
P
=
0
E
称为总势能，它是应变分量和位移分量
P
的泛函。因应变分量能通过几何方程用位移表
σσε
SsiiSijjiVijij
σu
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nu
Sijji
ubiδuidVfδudSσδεdV
SsiiVijij
σ
上式称为位移变分方程，又称虚位移方程。它表示外力在虚位
移上作的虚功，等于弹性体的真实内力在相应虚位移上作的虚
位移使总势能取最小值。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移
表示的应力边界条件。
§9-4最小势能原理的应用
对于一些按实际情况简化了的弹性力学问题，可以通过最
小势能原理导出其必须适合的微分方程和边界条件。
例图示为一直梁，其横截面有一铅直的对称轴，分布
载荷q(x)就作用在包含该轴的铅直平面内。在梁两端上，施
对应的应变上所作的功。
下面证明上述虚功原理
1σσσ
11
σ=+=+
sε
kskksksk
iju,u,u,u,
ijijijjiijijjiji
222
=σ=−
skks
ijuuu,
,σskσ
()
ijijiiijj
,j
()∫
∫=∫−
σεσ,σ
ijijiiijj
skskks
ijdVudVu,dV
VV
Vj
=
∫−∫
ss
件。其步骤与上述相反。
k
u
σs
¾虚功原理式中的静力可能应力和几何可能位移及其
i
ij
εk
对应的应变，可以是同一弹性体的两种不同的受力状态和
ij
变形状态，二者彼此独立而无任何的关系。但当静力可能应
σεk
s
力和几何可能应变服从物理方程时，为真实的应力、
ijij
σ=
isjσ
εikj=ε
u=
k
iu应变和位移，即，，。此时，虚
第九章
弹性力学的能量原理
§9-1弹性体的虚功原理
§9-2贝蒂互换定理
§9-3位移变分方程·最小势能原理
§9-4最小势能原理的应用
§9-5基于最小势能原理的近似计算方法
§9-6应力变分方程·最小余能原理
能量法，是要把弹性力学基本方程的定解问题，变为求
泛函的极值（或驻值）问题。在求问题的近似解时，泛函的
现在把第一状态的应力取为静力可能的应力，而把第二状
态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原理
得
∫+∫=∫
(1)2)σ(1)ε
(2)(1)((2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
同理，把第二状态的应力取为静力可能的应力，而把第一
状态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原
ε
∂
u
x==−
z
∂
x
2
dw
2
dx
再由梁的纵向纤维间无挤压的假设，可认为梁处于单向应力状
态，于是应变能密度为
v
ε
=
1
2
σ
1
xεε
=E
E
x
2
2
x
=
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
vε
=
将此对全梁积分，得梁的总应变能为
⎡
1
L
∫∫∫∫∫∫
vdxdydz
=⎢
ε
2
⎢
0R
⎣
2
⎛⎞
2
1dw
L
∫⎟
⎜
EId
yx
⎜
2
2dx
0⎝⎠
V
ε
=
=
z
⎤
2
⎛⎞
2
dw
⎜⎟⎥
2ddd
yzx
⎜⎟
2
dx⎥
⎝⎠
⎦
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
这里R为梁横截面组成的区域，Iy为横截面对中性轴y的惯
性矩，即
∫∫
∫+∫=∫
(σε
2)(1)(2)(1)(2)(1)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
σij=λεδ+2Gε
kkij
ij
()
∫=∫+
σ(ελεδεε
2)(1)(2)(2)(1)
VijijdV2GdV
Vkkijijij
()
λε(2)ε(1)ε(2)ε(1)
∫+
=
Vkkss2GijijdV
σ(ελεδεε
1)(2)(1)(1)(2)
()
∫=∫+
VijijdV2GdV
Vkkijijij
=()
∫+
λε1)((1)2
(ε2)εε()
Vkkss2GijijdV
相
等
∫+∫=∫
(σε
1)(2)(1)(2)(1)(2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫+∫=∫
(2)(1)(2)(1)σ(2)ε(1)
iuuijijii
σ=取真实的应力作为静力可能的应力
isjσ
ij
∫+∫=∫
Fkddσεd
biuVfuSV
sksk isiiijij
VSV
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nudS
Sijji
u
=
∫+∫+∫=∫
VFbiuidVfudSnudVdV
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫=∫
σ(1)ε(2)σ(2)ε(1)
VijijdVdV
Vijij
∫(+∫
1)(2)(1)(2)
FudVfudS
VbiSsi
ii
∫(+∫
=2(1)
FudVfu
)(1)(2)
Vbiii
Ssi
dS
这就是贝蒂互换定理（功的互等定理）：作用在弹性体上
第一状态的外力在第二状态位移上所作的功，等于第二状态的
u
indSudV
kσkσ
VSijjiij
,j
=
∫+∫
skk
fsiudSFudV
ibii
SV
这就证明了弹性体的虚功原理。
需要指出的是
¾在小变形的前提下，这个原理适用于任何材料。
¾上面从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界
条件出发，证明了虚功原理的成立，反之，也可利用虚功原理
推导出平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条
极值（或驻值）问题又进而变成函数的极值（或驻值）问
题。从而最后把问题归结为求解线性方程组。是有限元等数
值计算方法和半解析法的理论基础。
§9-1弹性体的虚功原理
满足
σ+=0
⎧F
⎪
ij,jbi
⎨
=σ
⎪fn
⎩
siijj
（在体内）
（在已知应力边界Sσ上）
σ
的应力分量，称为静力可能的应力。静力可能的应力未必
ij
加适当的约束，使梁不能产生整体的刚性位移，或者作用适
当的剪力和弯矩，
使梁保持平衡。
现在，利用最小
势能原理推导用
梁的挠度表示的
平衡微分方程和
应力边界条件。
采用材料力学的简化模型
根据平截面假设，梁
的任一横截面x上与中性
层相距为z的点的位移为
dw
()
w==−
wx,uz
dx
其中w(x)为梁的轴线的挠度。由几何方程，有
是真实的应力，因为真实的应力在体内还须满足以应力表示的
S应变协调方程，而对应的位移还须满足上的位移边界条
u
件。但反之，真实的应力必然是静力可能的应力。为了区别真
σs
实的应力，用表示静力可能的应力。
ij
⎧1
满足()
ε=+
u
⎪u
iji,jj,i
⎨2
⎪
uu
=
⎩
ii
（在体内）
S
（在已知位移边界上）
u
u
的位移分量，称为几何可能的位移。几何可能的位移未必
移过程中外力保持不变，并注意到变分和积分两种运算可交换
次序，于是上式又可写为
δ
⎛∫−∫−∫
⎞
⎜
vVFudVfudS
d⎟=
⎝Vbii
ε
Ssii⎠
V
σ
0
令=∫−∫−∫
EPvdVFudVfudS
εVbiiSsii
V
σ
δ
E
P
=
0
δ
E
P
=
0
E
称为总势能，它是应变分量和位移分量
P
的泛函。因应变分量能通过几何方程用位移表
σσε
SsiiSijjiVijij
σu
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nu
Sijji
ubiδuidVfδudSσδεdV
SsiiVijij
σ
上式称为位移变分方程，又称虚位移方程。它表示外力在虚位
移上作的虚功，等于弹性体的真实内力在相应虚位移上作的虚
位移使总势能取最小值。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移
表示的应力边界条件。
§9-4最小势能原理的应用
对于一些按实际情况简化了的弹性力学问题，可以通过最
小势能原理导出其必须适合的微分方程和边界条件。
例图示为一直梁，其横截面有一铅直的对称轴，分布
载荷q(x)就作用在包含该轴的铅直平面内。在梁两端上，施
对应的应变上所作的功。
下面证明上述虚功原理
1σσσ
11
σ=+=+
sε
kskksksk
iju,u,u,u,
ijijijjiijijjiji
222
=σ=−
skks
ijuuu,
,σskσ
()
ijijiiijj
,j
()∫
∫=∫−
σεσ,σ
ijijiiijj
skskks
ijdVudVu,dV
VV
Vj
=
∫−∫
ss
件。其步骤与上述相反。
k
u
σs
¾虚功原理式中的静力可能应力和几何可能位移及其
i
ij
εk
对应的应变，可以是同一弹性体的两种不同的受力状态和
ij
变形状态，二者彼此独立而无任何的关系。但当静力可能应
σεk
s
力和几何可能应变服从物理方程时，为真实的应力、
ijij
σ=
isjσ
εikj=ε
u=
k
iu应变和位移，即，，。此时，虚
第九章
弹性力学的能量原理
§9-1弹性体的虚功原理
§9-2贝蒂互换定理
§9-3位移变分方程·最小势能原理
§9-4最小势能原理的应用
§9-5基于最小势能原理的近似计算方法
§9-6应力变分方程·最小余能原理
能量法，是要把弹性力学基本方程的定解问题，变为求
泛函的极值（或驻值）问题。在求问题的近似解时，泛函的
现在把第一状态的应力取为静力可能的应力，而把第二状
态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原理
得
∫+∫=∫
(1)2)σ(1)ε
(2)(1)((2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
同理，把第二状态的应力取为静力可能的应力，而把第一
状态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原
ε
∂
u
x==−
z
∂
x
2
dw
2
dx
再由梁的纵向纤维间无挤压的假设，可认为梁处于单向应力状
态，于是应变能密度为
v
ε
=
1
2
σ
1
xεε
=E
E
x
2
2
x
=
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
vε
=
将此对全梁积分，得梁的总应变能为
⎡
1
L
∫∫∫∫∫∫
vdxdydz
=⎢
ε
2
⎢
0R
⎣
2
⎛⎞
2
1dw
L
∫⎟
⎜
EId
yx
⎜
2
2dx
0⎝⎠
V
ε
=
=
z
⎤
2
⎛⎞
2
dw
⎜⎟⎥
2ddd
yzx
⎜⎟
2
dx⎥
⎝⎠
⎦
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
这里R为梁横截面组成的区域，Iy为横截面对中性轴y的惯
性矩，即
∫∫