重庆市巴蜀中学2020届高三数学3月适应性月考试题(八)文
重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷(六)数学(文)试题与答案
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}0,1,2,3B =，则()R C A B =I （ ）A. {}2,3B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U 2. 设复数1z i =+，则34z i=+（ ） A. 725i + B.725i - C. 1725i -- D. 1725i -+ 3. 在等差数列{}n a 中，若21336a a +=，则252729a a a ++=（ ）A. 6B. 9C. 12D. 544. 命题“()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a a x x e e+-≤+”的否定形式是（ ） A. ()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a ax x e e +->+B. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e +-≤+C. (][),11,a ∃∈-∞-+∞U ，1ln cos 21a a x x e e +-≤+D. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e+->+ 5. 在区间[]1,5-上随机取一个实数a ，则使[]2log 0,2a ∈的概率为（ ） A. 13 B. 12C. 23D. 14+ 6. 函数5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ） A. 13B. 17C. -13D. 127. 若实数x ，y 满足不等式组210028000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48. 设1l ，2l 是两条不同的直线，1α，2α是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A. 若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则12αα⊥B. 若11l α⊂，22l α⊂，且12//l α，21//l α，则12//ααC. 若11l α⊥，22l α⊥，且12αα⊥，则12l l ⊥D. 若11//l α，22//l α，且12//αα，则12//l l9. 已知正实数a ，b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为等边三角形，AB =1BB =，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π11. 已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，直线l ：()b y x c a=-与双曲线的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 3 12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ）A. (),2-∞-B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量m u r 与n r 夹角为3π，2m =u r ，()1,0n =r ，则2m n +=u r r ______.14. 在ABC △中，若BC =2AB =，3CAB π∠=，则AC =______. 15. 函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为______.16. 焦点为F 的抛物线24y x =上有不同的两点P ，Q ，且满足()1PF FQ λλ=>u u u r u u u r ，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N ∈，若0n a >，数列{}n S 为等比数列，126S S +=，3424S S +=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[]35,95.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？19. 如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11122AB AC AA A B ====.若点M 为1CC 的中点，点N 为BC 靠近点C 的四等分点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为73V =，求三棱锥1A AMN -的体积.注：台体体积公式：()1'3V S S h =++，其中S ，'S 分别为台体的上下底面积，h 为台体的高. 20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()()2,00F c c >，上顶点为P ，右顶点为Q .若2POF △（O 为坐标原点）的三个内角大小成等差数列.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点.设直线l ：65b my x =-，若AQB △面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C 的标准方程.21. 函数()21ln 12f x x ax bx =-++.（1）若函数()f x 在1x =处的切线为2y =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：对任意210x x >>时，()()121212'2f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】点P 的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.点S 为圆M 上一动点，线段PS 的中点为点N .（1）求点N 的轨迹方程1C ；（2）设线段PM 的中点为点Q ，直线l 过点Q 且与圆M 交于A ，D 两点，直线l 交轨迹1C 于B ，C 两点，求QA QD QB QC+的最小值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1222f x x a x a=++--. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()8f x <；（2）已知2a ≤-，求函数()f x 的最小值.。
【解析】重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷(三)数学(文)试题
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（三）文科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.4.考试结束后，请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =I （ ） A. {}1,7 B. {}3,9 C. {}1,5,7 D. {}1,7,9【答案】A 【分析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B I ，得到答案. 【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =， 所以{}1,7S C A =， 而集合{}1,3,7,9B =， 所以(){}1,7S C A B =I ， 故选：A.【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题.2.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +-=，则角C =（ ） A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【分析】对条件中()22a b c ab +-=进行化简整理，然后代入到余弦定理cos C 的表达式中，得到答案.【详解】因为()22a b c ab +-=， 所以222a b c ab +-=-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，因()0,C π∈，所以120C ︒=，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理求角的大小，属于简单题.3.已知等差数列{}n a 的前5项和为10，154a =，则9a =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【分析】根据等差数列前n 项和的公式，得到15a a +，根据等差中项，得到3a 的值，结合条件，再利用一次等差中项，得到9a 的值，得到答案. 【详解】因为{}n a 为等差数列， 所以()1555102a a S +==，即154a a +=， 所以根据等差中项可得，15322a a a +==，因为154a =，所以根据等差中项可得，315932a a a +==， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和，等差中项，属于简单题.4.已知函数()f x 是偶函数，其图象与x 轴有9个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9【答案】A 【分析】根据偶函数的图像的特点，得到零点关于y 轴对称，从而得到答案. 【详解】因为()f x 偶函数，所以其图像与x 的交点关于y 轴对称， 故如果()00f ≠，则()f x 图像与x 的交点个数应是偶数个， 而已知条件中，()f x 图象与x 轴有9个交点， 所以可得()00f =，其它8个交点两两关于y 轴对称， 故方程()0f x =的所有实根之和为0. 故选：A.【点睛】本题考查偶函数图像的性质和特点，属于简单题.5.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，则数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差是（ ）A. 20B. 18C. 10D. 8【答案】A 【分析】根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是5，所以数据122x -，222x -，322x -，422x -，522x -，622x -的方差 是22520⨯=， 故选：A.【点睛】本题考查数据同时变化后对方差的影响，属于简单题.6.设a r 与b r是相互垂直的两个向量，2a =r ，1b =r 且满足()()a b a b λ+⊥-r r r r ，则λ=（ ）A.12B. 4C. 2D.14【答案】D 【分析】由题意得到0a b ⋅=r r，再根据()()a b a b λ+⊥-r r r r ，得到()()0a b a b λ+⋅-=r r r r ，展开代入已知条件，得到λ的方程，求出答案.【详解】因为a r 与b r是相互垂直的两个向量， 所以0a b ⋅=r r，因为()()a b a b λ+⊥-r r r r ，所以()()0a b a b λ+⋅-=r r r r，即()2210a a b b λλ+-⋅-=r r r r ，因为2a =r ，1b =r，所以410λ-=， 解得14λ=. 故选：D.【点睛】本题考查垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.7.已知函数()(32019log 2f x x x =+，则不等式()()21130f x f x ++-<的解集为（ ） A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】C 【分析】判断出()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为()()2131f x f x +<-，利用单调性解得答案.【详解】函数()(32019log 2f x x x =+，定义域(),-∞+∞，()(32019log 2f x x x -=-+-(132019log 2x x -=-(32019log 2x x =--()f x =-，且()00f =所以()f x 为奇函数，因为2019log y t =，2t x =和3y x =都是增函数所以()(32019log 2f x x x =+是增函数，所以由()()21130f x f x ++-<， 得到()()()211331f x f x f x +<--=-， 所以2131x x +<- 即2x >. 故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题.8.对于任意两个数()*,,x y x y N∈，定义某种运算“◎”如下：①当**2,2,x m m N y n n N ⎧=∈⎨=∈⎩或**21,21,x m m N y n n N ⎧=-∈⎨=-∈⎩时，x y x y =+◎；②当**2,21,x m m N y n n N⎧=∈⎨=-∈⎩时，x y xy =◎.则集合(){},|10A x y x y ==◎的子集个数是（ ）A. 142个B. 132个C. 112个D. 72个【答案】C 【分析】读懂条件中给出的定义，得到,x y 对应的取值情况，然后根据所求的集合(){},|10A x y x y ==◎，列出满足要求的(),x y ，得到其子集个数.【详解】根据条件中的定义可知，当*,x y N ∈，且,x y 同为奇数或者同为偶数时，有x y x y =+◎，当*,x y N ∈，且x 为偶数，y 为奇数时，有x y xy =◎，故集合(){},|10A x y x y ==◎中10x y =◎，当,x y 同为奇数或者同为偶数时，10x y +=，(),x y 可取()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()5,5，()6,4，()7,3，()8,2，()9,1，当x 为偶数，y 为奇数时，10xy =(),x y 可取()2,5，()10,1，所以(),x y 可取的情况共有11种， 即集合A 中有11个元素， 所以集合A 得子集个数为112. 故选：C.【点睛】本题考查对给出的新定义的理解，读懂题目是关键，考查了根据集合元素个数求子集的个数，属于中档题.9.若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A. (),8-∞- B. ()8,-+∞ C. (),8-∞ D. ()8,+∞【答案】B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-， 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.10.在长方体1111ABCD A B C D -中，111A A A D ==，3AB =，E 为棱1AA 的中点，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.C.4D. 4-【答案】B 【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到EF u u u r 和1u u uu r BC 的坐标，利用向量的夹角公式，得到异面直线所成角的余弦值.【详解】以D 为原点，DA uuu r为x 轴，DC u u u r 为y 轴，1DD u u u u r 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以()A，(1A，()B，(1C ，E 为棱1AA的中点，所以(E ，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，所以(F ，所以(EF =u u u r，(1BC =-u u u u r，设异面直线EF 与1BC 所成角为θ则1cos cos ,EF BC θ=u u u r u u u u r114EF BC EF BC ⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 。
2020年4月重庆市第八中学2020届高三毕业班下学期第三次高考适应性月考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市第八中学2020届高三毕业班下学期第三次高考适应性月考数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1},{3,2,1,0,1}A x x B =>-=---，则A B =( )A. {1,0,1}-B. {0,1}C. (]1,1-D. ∅【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合{}1A x x =-，{3,2,1,B =---0，1}， {}0,1A B ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设2i z i +=，则||z =( )C. 2D. 5【答案】B【解析】【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【详解】()22212i i i z i i i ++===-,则221(2)5z =+-=, 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的除法运算,复数模的计算,比较基础．3.已知向量||1,||2,3a b a b ==⋅=,则向量a 与向量b 的夹角为( )A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π 【答案】A【解析】【分析】根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos ,2a b =,然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小．【详解】1,2,3a b a b ==⋅=,3cos ,2a b ∴=,且0,a b π≤≤, ∴向量,a b 的夹角为6π． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,考查了计算能力,属于基础题．4.函数()(0)a f x x x =≥,()log a g x x =,则()f x 与()g x 的图象可能为( )A. B.。
重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三上学期适应性月考卷(三)数学试题(含答案)
巴蜀中学2025届高三适应性月考卷（三）数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，，则（ ）A. B. C. D.2.某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）A.85 B.90C.95D.1003.若复数，，则（ ）A.-1B.1C.D. 4.在平行四边形中，是的中点，在上，且，则实数的值为（ ）A. B. C. D.5.已知，且，则的最小值为（ ）A.B.C. D. 6.重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是（ ）A.B.C.D.7.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L ）与时间（单位：h ）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么要消除90%的污染物，至少需要的时间是（ ）h.（参考数据：）A.45B.76C.109D.118{}0,1,2,3,4,5,6U ={}0,1,2,4A ={}1,2,3,4,5B =()U A B = ð{}3,5,6{}3,5{}5{}5,6()2,N μσ111i z =+211i z =-2212z z -=i -iABCD E BC F DE 12AF AB AD μ=+ μ14131234,a b +∈R 230ab a b ++-=a b +325333-225122516625P t 0e kt P P -=0P k lg 30.477≈8.已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）A.（3，4）B.C.D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s ）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm ）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s 后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm ，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.小球在内经过的路程为10cmD. 时，小球正在向上运动10.在等腰梯形中，，，，点是梯形内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（ ）A.若，则，B.当时，的最小值为2C.若，则D.若，则的最小值为11.已知由实数构成的数列满足，则以下说法正确的是（）A.存在且，使B.若，则数列是递增数列C.若，则数列的最大项为D.若，设，的前项和为，则()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈-R ()f x ()21,2t t t --t )4))t 0h =h ()sin h A t ωϕ=+0A >0ω>0t ≥[]0,πϕ∈2πω=π2ϕ=[]8,9t ∈9.75t =ABCD AB DC ∥2DA DC ==4AB =P ABCD (),AP AB AD λμλμ=+∈R0PA PB PC PD +++= 38λ=12μ=2μλ=PB21λμ+=PBC △22421λμλμ++=PC1-{}n a ()2*12n n n a a a n +=-+∈N *k ∈N 2k ≥2k a =()10,1a ∈{}n a ()11,2a ∈{}n a 1a 1910a =()1lg 1n n b a =-{}n b n n S 2n S >-三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.等比数列的公比，其前项和为，且，，则_____..13.已知，，，，则的值为_____.（用弧度制表示）14.已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则_____.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若数列是递增的等比数列，其公比为，且中的项均是中的项，，当取最小值时，若，请用表示.16.在中，角，，所对的边长分别为a ，b ，c ，的中点为，记的面积为，已知，.（1）若，求以及线段的长度；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.17.已知抛物线：的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于，两点.当时，.（1）求抛物线的方程；（2）证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）；（3）点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，证明：与的面积之比为定值.18.已知函数.（1）求证：；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； {}n a 0q <n n S 341a a +=45S =5a =π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 25β=-()cos αβ-=α()f x R ()12f x -[]0,1x ∈()2f x x =-()10021i i f i ==∑{}n a n n S 35S a =()*221n n a a n =+∈N {}n a {}n b q {}n b {}n a 11b a =q ()*k i b a k =∈N k i ABC △A B C BC D ABC △S π4B =2c =b =cos C AD ABC △S E ()220y px p =>F F θl E A B 60θ=︒163AB =E θOA OB ⋅O ()3,0M AM E C BM E ABM △CDM△()ln 1x f x x+=()1f x ≤(0,)x ∈+∞()1a x f x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a（3）若直线是曲线在点处的切线，求证：当时，除点外，直线与曲线有唯一公共点，且.19.设：和：是两个项数为的非负整数数列，定义，.（1）对于数列：1，2，3，10，11，12和：4，5，6，7，8，9，求的值；（2）设均为项数为3且每项为0或1的数列，且对于任意，都有，求的最大值；（3）若，数列A ，B 严格递增且每项不大于755，求的最大值.l ()y f x =()(),A t f t t >A l ()y f x =()(),s f s 1es t <<A 12,,,m a a a ⋅⋅⋅B 12,,,m b b b ⋅⋅⋅m ()3m ≥()1,mi i i T A B a b ==-∑()()1,miii t A B a b ==-∑A B ()(),,T A B t A B -1,,n A A ⋅⋅⋅()2n ≥1i j n ≤<≤(),2i j T A A ≥n 62m =()(),,T A B t A B -数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BBCDCBCA【解析】二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACBCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案5000四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）由得即解得，，∴.（2）由且是递增的等比数列，得.故（且），由于数列是递增数列，则当取最小值时，，即，∴，若，则，∴.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理，，125π4352,21n n S a a a =⎧⎨=+⎩()()1111334,21211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨+-=+-+⎡⎤⎪⎣⎦⎩112,1,a d a d =⎧⎨+=⎩11a =2d =()1121n a a n d n =+-=-11b ={}n b 2211b q b b ==>2k b a =k ∈N 2k ≥{}n a q 223b a ==3q =11133n n n b --=⨯=k i b a =1321k i -=-1312k i -+=sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒===又，∴，∴，∵，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∵是锐角三角形，∴∴，∴，∴.∴.17.（本小题满分15分）（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线：，，代入抛物线方程得：，∴，，，∴，当时，，∴，∴，抛物线E 的方程为.c b <π04C <<cos C ==3πcos cos cos 4BAC C C C ⎛⎛⎫∠=-=+= ⎪ ⎝⎭⎝()12AD AB AC =+()222115241022442AD AB AC AB AC ⎡⎤⎛=++⋅=++⋅=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎣⎦ AD =sin sin c a C A =π2sin sin 4sin sin C c A a C C⎛⎫+ ⎪⎝⎭==π2sin 11sin cos 14sin 2122sin sin tan ABCC C C S ac B C C C⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⋅⋅==+△ABC △π0,23π0,4π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ42C <<tan 1C >101tan C <<12S <<l l 2px ty =+()11,A x y ()22,B x y 22y px =2220y pty p --=()22410p t =+>△122y y pt +=212y y p =-()2221AB y p t =-==+60θ=︒t =81633p AB ==2p =24y x =（2）证明：由（1）可知，，则，∴.（3）证明：设，，直线的方程：，直线的方程：，由得，∴，同理，，∴，由（2）知，则，.18.（本小题满分17分）（1）证明：，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，即.（2）解：令，则；当时，∵，∴，所以原不等式成立，故实数的取值范围是.（3）证明：，所以在点处的切线方程：，即：，与联立得：，2124y y p =-=-()222221212212244p y yp x x p pp -=⋅===1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-()33,C x y ()44,D x y AC 3x my =+BD 3x ny =+23,4,x my y x =+⎧⎨=⎩24120y my --=1312y y =-2412y y =-()()12341324144y y y y y y y y ==124y y =-3436y y =-12341sin 4121369sin 2ABM CDMMA MB AMB MA MB S y y S MC MD y y MC MD CMD ∠=====∠△△()()2ln 1ln x xf x f x x x+-'=⇒=()0,1x ∈()()0f x f x '>⇒()0,1()1,x ∈+∞()()0f x f x '<⇒()1,+∞()()max 11f f x ==()1f x ≤1x =()12112a f a ≥=⇒≥12a ≥()0,x ∈+∞()1111122a x x f x x x ⎛⎫⎛⎫+≥+≥⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 12a ≥()()2ln 1ln x xf x f x x x+-'=⇒=()(),A t f t l ()2ln 1ln t ty x t t t+--=-l 2ln 2ln 1t t y x t t -+=+ln 1x y x +=2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t+++-=即证：当时，方程除外，还有另一根，且.设，则.又，，，当时，在上单调递减：当时，在上单调递增，所以，∵，∴，又，所以存在唯一实数，使，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以当时，，又，所以存在唯一实数，使，即：当时，方程除外，有唯一根，且，故结论成立.19.（本小题满分17分）解：（1）.（2）若，则数列中必有两个数列前两项相同（因每项为0或1，前两项至多有2×2=4种组合）：不妨设该二者为，，则必有（两数列的第三项也相同）或（两数列的第三项相异），故不合题意；当时，可构造：0，0，0；：0，1，1；：1，1，0；：1，0，1满足题意，t >2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t +++-=x t =x s =1es t <<()2ln 1ln 2ln 1x t t h x x x t t ++=+-()0h t =()22ln ln x t h x x t -'=+()0h t '=()32ln 1x h x x-''=(x ∈()()0h x h x '''<⇒()x ∈+∞()()0h x h x '''>⇒)+∞()min h x h '='t >()0h t h ''=>()2ln 10th t'=>(0x ∈()00h x '=(),x t ∈+∞()()0h x h x '>⇒(),t +∞()00,x x ∈()()0h x h x '>⇒()00,x ()0,x x t ∈()()0h x h x '<⇒()0,x t ()()0,,x x t t ∈+∞ ()()0h x h t >=()221ln 12ln 1ln 112e 0e e e t t t h t t t t+⎛⎫=⋅-=--< ⎪⎝⎭01,es x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h s =t >2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t +++-=x t =x s =1es t <<()(),,36018T A B t A B -=⨯-=5n ≥12,,,n A A A ⋅⋅⋅1A 2A ()12,0T A A =()12,1T A A =5n ≥4n =1A 2A 3A 4A故n 的最大值为4.（3）记，，显然，.设，，，若或，则已有.下不妨设且，由平均值原理，，使得，且，（其中，为集合P ，Q 的元素个数），不妨设，则，，，且，.上式取等时，构造：，有，，事实上，取A 为0，1，…，30，725，726，…，755；B 为347，348，…，408，有满足题意，为所求最大值.{},162,i i P i a b i i +=≤≤≥∈N ∣{}*,162,i i Q i b a i i =>≤≤∈N ∣P Q =∅ {}1,2,,62P Q =⋅⋅⋅ ()iii P a b α∈=-∑()i ii Qb a β∈=-∑()()()()()(),,i i i i iiiii PicQi Pi QT A B t A B a b b a a b a b ∈∈∈-=-+---+-∑∑∑∑{}2min ,αβαβαβ=+--=P =∅Q =∅()(),,0T A B t A B -=P ≠∅Q ≠∅()*1,62,i j i j ∃≤≤∈N ,i i j j a b b a PQ αβ≥-≥-i P ∈j Q∈P Q ()()i j i j a a b b PQαβ⇒---≥+i j >()6262693i a a i i --≤≤+1j a j ≥-j j b b i j-≥-()()()6931694i j i j PQαβ⇒+≤+----=()2P Q P Q αβ⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭≤⇒≥{}2minmin ,10757αβ≥⇒≤()(){},,2min 21514T A B t A B αβ⇒-=≤≤10757αβ==31P Q ==347i i j j a b b a PQαβ-====-()(),,3476221514T A B t A B -=⨯=。
重庆市巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(三)数学(文)试题(扫描版)
EF
，
∴ 1 1 DE EF d 1 1 OE DE sin 60 EF ，
32
32
∴d 8 3.
…………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）在公差 d 不为 0 的等差数列{an} 中， a1 ， a3 ， a9 成等比数列，
解：（1）∵成绩在[90，100)内的人数为 30，
∴成绩在[90，100)内的频率为 30 0.15 . 200
由频率分布直方图得 (0.01 y x x 0.005) 10 0.15 1 ，化简得 y 2x 0.07 ，①
由中位数可得 0.0110 10 y (78 70) x 0.5 ，化简得 5y 4x 0.2 ，②
所以 EF 平面 ADE ，
又 OT 平面 ADE ， ∴ EF OT ，又 OT DE ， EF DE E ，
∴ OT 平面 CDEF ，即 OT 为点 O 到平面 CDEF 的距离，
∵ OA AM ，∴ OA AM AM 7 ，
OE EF
OA 2 EF AB 8
∴ y 1 0 (x 1) ，即 y 1 0 为所求切线的方程. …………………………………（3 分）
（2）∵函数
f
(x)
在
1 e
，1
上单调递减，在
(1，e]
上单调递增，
故 f (x)min f (1) 1， 橙子辅导
又因为
f
1 e
1 e2
则 N 为 FD 的中点，所以 DO∥MN .
图3
又 DO 平面 EMC ， MN 平面 EMC ，∴ DO∥ 平面 EMC .
函数的概念与基本初等函数专题
函数的概念与基本初等函数1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．162．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<08．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞13．【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >016．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16B ．8C ．4D ．22．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 23．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是 A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)R 11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A ．B ．C ．D ．12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e(2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为 A．(2⎤-⎦B．(2⎤-⎦C．2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．419．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.函数的概念与基本初等函数答案1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a -=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t KI t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b【答案】A【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x =-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m jP Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =（负值舍去），所以k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 13．【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.的1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =. 故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a <b <c ，故选A ．4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--， 则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-， 得()()112211f x x f x x --<--， 即()()12F x F x <， 所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->， 所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是 A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e x f x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln||cos()()sinx xf x f xx x⋅-=-=-+，所以()f x为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C. 故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022xx <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C. 13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >.故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1lnπc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称， 因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减； 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型.17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为 A．(2⎤-⎦B．(2⎤-⎦C．2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集， 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解， 可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去）， 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小, 则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值. 19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题. 21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===.故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f fa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a =.()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=. 故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______.【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ， 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.【答案】()41nn +【解析】当02x ≤<时，()y f x ==，即()2211x y -+=，0y ≥； 当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2， 画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点， 根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切， 故n k ==，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141nn n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41nn +.【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考(三)数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ）A ．{}|43x x -<<B ．{}|42x x -<<-C ．{}|22x x -<<D ．{}|23x x <<【答案】A【解析】化简集合N ，进而求并集即可. 【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<， 所以{}|43M N x x =-<<，故选：A . 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．在正项等比数列{}n a 中，若100910103a a =，则()31232018log a a a a ⋅⋅⋅=（ ） A ．2019 B ．2018 C ．1009 D ．1010【答案】C【解析】利用等比数列下标和性质即可得到结果. 【详解】 ∵100910103a a =∴()()100931232018310091010log log a a a a a a ⋅⋅⋅=10093log 31009==，故选：C . 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小. 【详解】0.2log 20a =<，()20.20,1b =∈，0.231c =>，所以a b c <<， 故选：A . 【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4．已知60C 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，60C 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】B【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，计算出五边形的总顶点数，从而得到结果. 【详解】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为603206125⨯-⨯=个，故选：B . 【点睛】本题以60C 分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力，属于中档题.5．如图，过正方形ABCD的顶点A在BAD∠内任意作射线AP，则该射线与正方形的交点位于边BC上的概率为（）A．15B．14C．13D．12【答案】D【解析】利用几何概型公式即可得到结果. 【详解】角度性几何概率：451902P︒==︒，故选：D.【点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．6．已知α为第二象限角，且5sin45πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则tan4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．12B．12-C．2 D．-2【答案】D【解析】利用同角基本关系式得到1tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，结合诱导公式得到结果.【详解】由于α为第二象限角，且5sin45πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以4πα+为第三象限角，从而25cos45πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，1tan42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以1tan 24tan 4παπα⎛⎫-=-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 故选：D . 【点睛】本题考查同角基本关系式，考查三角函数的恒等变换，考查计算能力，属于常考题型. 7．a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，ABC ∆的面积为S ，已知a =且()()23a b c b c a bc S +++-=+，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） A ．4 B ．2CD．【答案】C【解析】由()()23a b c b c a bc S +++-=+，结合余弦定理与三角形面积公式可得tan A =ABC ∆外接圆的半径. 【详解】()()23a b c b c a bc S +++-=+222sin 33b c a S A ⇒+-==，即2cos sin bc A A =，所以tan A =3A π=，由正弦定理2sin a R A ===所以R =故选：C . 【点睛】本题考查解三角形问题，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.8．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 【答案】C【解析】根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大，所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选：C . 【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求。
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷(五) 数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（五） 数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =-->,集合1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =I ( )A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞-D ．()0,∞+【答案】C【解析】化简集合A 和B ,根据交集定义,即可求得A B I . 【详解】∴ {}2|20A x x x =-->∴ 化简可得()(),12,A =-∞-⋃+∞根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数∴ 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝,即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故0x < ∴ (),0B =-∞故(),1A B =-∞-I 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.2．已知复数12iz i -=+(i 为虚数单位),则z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】化简12iz i -=+,可得()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++-,即可求得z 对应的点. 【详解】Q ()() ()()1211322255i iiz ii i i---===-++-∴z对应的点为13,55⎛⎫-⎪⎝⎭,故在第四象限故选:D.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.3．已知实数x,y满足102022x yx yy x-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥-⎩则z x y=+的最小值是( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得z x y=+的最小值.【详解】作出可行域,由z x y=+,得y x z=-+,Q当y x z=-+与边界直线20x y+-=重合时,z取得最小值.∴可取公共点13,22⎛⎫⎪⎝⎭,可知min13222z=+=故选:B.【点睛】本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.4．命题p:2m=,命题q:直线()1120m x y m--+-=与直线230mx y m+-=垂直,则p是q成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =∴命题p 是命题q 不必要条件Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.故命题p 能推出命题q∴ 命题p 是命题q 充分条件综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 5．已知()tan 2πθ-=,则sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．25B ．25-C ．25±D ．45【答案】B【解析】由()tan 2πθ-=,可得tan 2θ=-,根据诱导公式化简sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】Q ()tan 2πθ-=∴ tan 2θ=-Q sin sin cos sin 2πθθθθ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭222cos sin tan cos sin 1tan θθθθθθ==++ 22145-==-+ 故选:B. 【点睛】本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题.6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:()046hV S S S '=++,式中h ,S ,S ',0S 依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线()20y xx =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】根据“辛卜生公式”:()046hV S S S '=++,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】Q 根据辛卜生公式:()046hV S S S '=++ Q 根据题意可知该几何体是由,曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=,222S ππ==,201S ππ=⋅=,∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++= 故选:C.【点睛】本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题.7．已知()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()3f x f x +=-,当[)0,3x ∈时,()2xf x =,则12log 192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】利用偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-求出函数的周期,然后化简12log 192f ⎛⎫⎪⎝⎭,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】Q 当0x ≥时,()()3f x f x +=-,∴ ()()6f x f x +=,故()f x 最小正周期:6T =. Q ()122log 192log 192f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又Q ()f x 为偶函数 故()()()222log 192log 192log 643f f f -==⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===故选D. 【点睛】本题考查了函数的周期性,需要掌握(+)()f m x f x =的周期为m ,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )A ．20222023B ．10112013C ．10102021D ．20202021【答案】C【解析】由程序框图可得111133520192021S =+++⨯⨯⨯L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】 由程序框图可知:111133520192021S =+++⨯⨯⨯L 1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11120201010122021220212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:C. 【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9．已知向量()2,0a =r ,向量(3b =r ,向量c r满足3c a b --=r r r ,则c r的最大值为( ) A ．23B ．23C ． 3D ．33【答案】D【解析】设(),c x y =r ,()2,0a =r,(3b =r ,则(3,3c a b x y --=--r r r ,即可求得()(22333x y -+-=,将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(3为圆心,3的圆上,即可求得c r 的最大值.【详解】Q 设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r∴ (3,c a b x y --=-r r r故c a b --==r r r即()(2233x y -+-=Q将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,.∴c r的最大值即:圆心到原点的距离+半径,=故选:D. 【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等4位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A ．736B ．16C ．29D ．772【答案】A【解析】根据题意,基本事件数234336n C A =⋅=,甲去（3）班,有222A =种,甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,即可求得答案.【详解】根据题意基本事件数234336n C A =⋅= Q ①甲去（3）班,有222A =种, ②甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,∴ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:736P =, 故选:A. 【点睛】本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.11．已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A ．无最小值B ．无最大值C ．有最小值,最小值为1D ．有最大值,【答案】D【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =Q 以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112xy x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222x y x y =- ——② 设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-, 又Q 002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭Q AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0 故选:D . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12．已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )A ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭UD ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】D【解析】因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20xxa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221ex x a +-=,构造函数()2ex x g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1ex x g x -+'=, Q 当()0g x '>时,1x <-当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.Q x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠, 故选:D.【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.二、填空题13．二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______. 【答案】－32【解析】写出二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式:()()462142r r rr r T C x x --+=-,即可求得答案. 【详解】Q 二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式: ()()()46224814422rrrrr r rr T C xx C x ---+=-=-∴ 当3r =时,()()32483442232rr rC x C -=--=-∴二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为:32-. 故答案为:32-. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.14．已知函数()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭,将()f x 的图像向右平移12π个单位后得到的函数图像关于y 轴对称,则ϕ的值为______.【答案】512π 【解析】将()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭化简可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,根据()g x 图像关于y 轴对称,即可求得答案.【详解】Q ()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭∴ 由辅助角公式可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ ()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像关于y 轴对称∴()122k k ππϕπ+=+∈Z ,512k ϕππ=+,又02πϕ<<,∴0k =,512ϕπ=. 故答案为:512π. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15．已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1【解析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,将其代入22221x y a b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】Q 以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b , 又Q ()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-,又1e >,∴1e =.故答案为1. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题. 16．已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______.【答案】()5,6【解析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围. 【详解】Q 由()112n n na n a +--=,∴ 当1n =,得12a =.Q ()112n n na n a +--=——①可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又Q 120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <, 即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-,又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6. 【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b .（2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩∴()11n a a n d n =+-=.Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >,∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y (单位:十亿元).绘制如下表1: 表1x销售额y0.98.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图,如图所示.(1)根据散点图判断,y a bx=+与2y cx d=+哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数ξ的分布列与期望.参考数据:2i it x=.1011020iiy==∑1018088i iix y==∑101385iit==∑102125380iit=≈∑10167770i iit y=≈∑()21483t≈参考公式:对于一组数据()11,u v,()22,u v,…,(),n nu v,其回归直线$µv a uβ=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为µ1221111ni ni u v nuvu nuβ==-=-∑∑,µµv u αβ=-$. 【答案】（1）2y cx d =+更适宜（2）$22.7 2.0y x =-，预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.（2）根据101102211010i ii i t y t ybt t =-=-=-∑∑$,a y bt =-$$,即可求得y 关于x 的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额;（3）因为畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出()0P ξ=,()1P ξ=,()2P ξ=,()3P ξ=,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）根据其图像的形状可知,2y cx d =+更适宜.（2）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i t y t ybtt =-=--⨯⨯====≈--∑∑$,$102 2.738.5 2.0ay bt =-=-⨯≈-$, ∴ $22.7 2.0y x =-,当1x =时,$324.7y =（十亿元）,∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元.（3）畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3()34384105614C P C ξ====,()2144382431567C C P C ξ⋅====, ()2144382432567C C P C ξ⋅====,()34384135614C P C ξ====,∴()1331301231477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.19．已知,在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,若1cos 22Bp q +⋅=u r r. （1）求角B ;（2）若3b =,求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）23B π=（2【解析】（1）因为()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r 可得:222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,则3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）Q ()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.由正弦定理:222a c ac b ++= 故:2222cos a c b ac ac B +-=-=∴ 1cos 2B =-,Q 0B π<<,∴23B π=.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,∴2293a c ac ac =++≥,∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =,∴1sin 2ABC S ac B ac ==≤V .∴ABC V 面积的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点.（1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】（1）因为31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x y a b+=利用点差法,即可求得答案. （2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r, 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）Q焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,Q 31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-,又Q 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x ya b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b =——①. Q 222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）Q M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r∴ 根据三点共线性质可得: 1133λ+=,则2λ=设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k-=+,代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. Q 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围.【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1ef x =-极小值,无极大值.（2）127ln 32λ≤【解析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围. 【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10ex <<. ∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e ee f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值. （2）Q 223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +> ∴将223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=, ∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增, ∴23e 2x x x λ+≥, ∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤.令()23ln 2x x h x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴= 令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln 52min 1,3,1ln ,323h x h h h h ===∴= ∴()()13h h > ∴127ln 32λ≤. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2）4【解析】（1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 3422x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:3422x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得2570416t t -+=,根据韦达定理: 124t t +=,125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:124PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.23．已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U （2）证明见解析 【解析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）Q ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++ ()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。
重庆市巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(三)数学(理)试题(扫描版)
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巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A C A B D D C C
9 10 11 12 BDBA
AB | | BF2
|
x ，则 | BF1 |
x 2a，| AF1 |
x (x 2a) 2a，| AF2 | 4a ，又 |AF1 | 2 | F1B | 2a，∴ | F1B | a x 2a x 3a，取 AF2
的中点 M， 则 BM
1 2
，故选
D．
6．由于 为第二象限角
，
且
sin
π 4
5 5
，
所
以
π 4
为第三象限角，从而
cos
π 4
2
5 5
，
tan
π 4
1 2
，
所以
tan
π 4
tan
1
π 4
2
，故选
D．
7． ( a b c )
T 2
7π 12
π 12
π 2
T
π，
重庆市直属校(重庆市第八中学)2020届高三下学期3月月考数学(理)试题含解析
重庆市直属校（重庆市第八中学）2020届高三下学期3月月考理科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A. {0，1，2}B. {﹣1，0，1，2}C. {﹣2，﹣1，0，1，2}D. {﹣2，﹣1，0}【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A，由此求得两个集合的交集.【详解】∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}.故选：C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A. 2 7 C. 2210【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得,a b，由此求得3a bi+，进而求得3a bi+.【详解】由题意可知：211a bi ii+==-+，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|10=，故选：D.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得9a 以及29log a 的值. 【详解】∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16， ∴2q 2＝2×2q +16，且q ＞0， 解得q ＝4，∴log 2a 98224log =⨯=17.故选：C .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x +y 的最小值为（ ）A. ﹣8B. ﹣6C. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，结合图像判断出z x y =+经过()4,2A --时取得最小值. 【详解】由题意作平面区域如下， 由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，A （﹣4，﹣2），z ＝x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值.故z ＝x +y 的最小值是﹣6， 故选：B .【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.35B.710C.45D.910【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n 25C ==10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m 211223C C C =+=7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p 710m n ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题.6.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==，G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，则1CGCC =（ ）A.12B.13C.23D.14【答案】B 【解析】 【分析】根据对应边成比例，两直线平行，证得1//EF BD ，根据面面平行的性质得到//AF BG ，由此求得1CGCC 的比值. 【详解】∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==， ∴EF ∥BD 1，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，∴AF ∥BG ，∴1113CG DE CC DD ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查线线平行、面面平行有关概念的理解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的⊙C 在t ＝0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m /s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y ＝cosx ，则y 关于时间t （0≤t ≤l ，单位：s ）的函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此确定正确选项. 【详解】根据题意，⊙C 的半径为1，则其周长l ＝2π，当t ＝0时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝π，此时y ＝cosπ＝﹣1； 当t 12=时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x 43π=，此时y ＝cos4132π=-＜0； 当t ＝1时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝2π，此时y ＝cos 2π＝1； 据此排除BCD ； 故选：A .【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8.()()nmx x n N +∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（ ）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得n ，令1x =，以各项系数和列方程，解方程求得m 的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得3x 的系数.【详解】∵()nmx x+的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n ＝5.再令x ＝1，可得各项系数和为（m +1）5＝243＝35，∴m ＝2， 则展开式中的通项公式为T r +15rC =•m5﹣r•52rx -，令52r-=3，可得r ＝4， 故展开式中x 3的系数为45C •2＝10， 故选：D .【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.9.设函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ）A. 3B. 12-3 D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，根据012f π⎛⎫=⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 解析式.根据()()12f x f x =求得12x x +，由此求得()12f x x +的值.【详解】根据函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象， 可得12721212πππω⋅=-，∴ω＝2. 再根据五点法作图可得2•122ππϕ+=-，∴φ23π=-，∴f （x ）＝cos （2x 23π-）. 如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，则2x 123π-∈（2π-，2π），2x 223π-∈（2π-，2π），∵f （x 1）＝f （x 2），∴2x 123π-+（2x 223π-）＝0，∴x 1+x 223π=， 则f （x 1+x 2）＝cos （4233ππ-）＝cos 23π=-cos 132π=-， 故选：B .【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数值的计算，属于中档题.10.已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，△ABC 是边长为6的等边三角形，记△ABC 的外心为O 1.若三棱锥P ﹣ABC 的体积为123则PO 1＝（ ） A. 23 B. 25C. 26D. 27【答案】D 【解析】 【分析】取得等边三角形ABC 的面积，利用正弦定理求得三角形ABC 外接圆的半径，根据三棱锥P ABC -的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得1PO .【详解】由题意可得：S △ABC 236=⨯=93，O 1A ＝162sin 3π⨯=23，O 1O ＝2. 设点P 到平面BAC 的高为h ，由11233=⨯h ×93，解得h ＝4.∴点P 所在小圆⊙O 2（⊙O 1与⊙O 2所在平面平行）上运动，OO 2＝2. ∴O 2P ＝23.∴PO 122122O O O P =+=27.故选：D .【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.设双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的左顶点为A ，右焦点为F （c ，0），若圆A ：（x +a ）2+y 2＝a 2与直线bx ﹣ay ＝0交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.62B. 2C. 3D. 3【答案】B 【解析】 【分析】联立直线的方程和圆A 的方程，求得E 点的坐标，根据以O 为圆心的圆与线段EF 相切，且切点为EF 的中点，得到OE OF =，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】联立2220()bx ay x a y a -=⎧⎨++=⎩.⇒E （322a c-，222a b c -），∵依题意可知OE ＝OF ，∴32222222()()a a b c c c-+-=， ∴4a 4＝c 4. ∴2ce a==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.函数f（x）()()()1xln x xxe x-⎧-⎪=⎨≥⎪⎩＜，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A.415⎛⎤⎥⎝⎦， B. （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪{1}D. （﹣1，0）∪{1}【答案】D【解析】【分析】利用()f x的导函数()'f x判断出()f x的单调区间，由此画出()f x的大致图像，令()t f x=，对t的取值进行分类讨论，结合()f x的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】当x≥0时，()()'11xf x e x-=-，所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t 1＝0，t 2＝1时，a ＝1，当t 1∈（0，1），t 2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a ×0+a ﹣a 2）（12﹣a ×1+a ﹣a 2）＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a ∈（﹣1，0）∪{1}. 故选：D .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，则a b ⋅=_____. 【答案】﹣5 【解析】 【分析】利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出a b ⋅.【详解】因为向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，所以：|a |==则10a b ⋅=⨯cos 120°＝10×（12-）＝5-； 故答案为：5-.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题. 14.已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |（a ∈R ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），则实数a 的值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据()()4f x f x =-判断出()f x 的对称轴，由此求得a 的值. 【详解】∵f （x ）＝f （4﹣x ）， ∴函数关于x ＝2对称， 即f （a ）＝f （4﹣a ）， 即3|a ﹣a |＝3|4﹣a ﹣a |， 即30＝3|4﹣2a |即|4﹣2a |＝0，得2a ﹣4＝0， 得a ＝2， 故答案为：2【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.【答案】5052021【解析】 【分析】因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案. 【详解】()()222220n n S n n S n n -+--+=当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =- 数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，20n S +≠ ∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n =当1n =，满足2n a n =∴2n a n =()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 【点睛】本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若|AF |＝3|BF |，则|FP |•|MQ |＝_____. 【答案】169【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识，求得FP 和MQ 的长，由此求得FP MQ ⋅.【详解】如图，作BF ⊥l 于F ，作AE ⊥l 于E ，令准线与x 轴交点为S ，AB 交准线于K . 设BH ＝m ，则AF ＝3m ，∵13HB KB AE AK ==，∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==，∴∠HKB ＝30°.∵23HB m SF m =，∴213m =，∴23m =， ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333=⨯= 则|FP |•|MQ |169333=⋅=. 故答案为：169.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题：（共70分）17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos 3)c b A A =． （1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC 3ABC 的周长． 【答案】（1）6B π=；（2）623+．【解析】 【分析】（1）因为(cos 3)c b A A =+，由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，3,6AD B π==，则23sin ADc AB B===，结合余弦定理，即可求得答案. 【详解】（1）(cos 3sin )c b A A =+∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3sin )C B A A =+sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+(0,),sin 0A A π∈>cos 3sin B B ∴= ∴3tan B =，又(0,)B π∈故6B π=．（2）画出图象，如图：3,6AD B π==则23sin ADc AB B===又4a =在ABC 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-= 可得2b =可得ABC 的周长为623a b c ++=+【点睛】本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，AE ＝2EB ＝2，且DE ⊥AB.以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点F 的位置，且∠FEB ＝60°.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（2）若直线DF 与平面BCDE 15E ﹣DF ﹣C 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】 【分析】（1）首先通过证明DE ⊥平面BEF 证得DE BF ⊥.结合余弦定理和勾股定理证得FB EB ⊥，由此证得BF ⊥平面BCDE ，进而证得平面BFC ⊥平面BCDE .（2）建立空间直角坐标系，由直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值求得正弦值，结合直线DF 的方向向量和平面BCDE 的法向量列方程，解方程求得DE 的长.由此通过平面EDF 和平面DFC 的法向量，计算出二面角E DF C --的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥BF ， ∵AE ＝2EB ＝2，∴EF ＝2，EB ＝1， ∵∠FEB ＝60°，∴由余弦定理得BF 2223EF EB EF EB cos FEB ∠+-⨯⨯=∴EF 2＝EB 2+BF 2，∴FB ⊥EB ， 由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴平面BFC ⊥平面BCDE.（2）解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，设DE ＝a ，则D （1，a ，0），F （0，03，DF =（﹣1，﹣a 3）， ∵直线DF 与平面BCDE 15，∴直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为6， 平面BCDE 的法向量n =（0，0，1）， ∴|cos n DF ＜，＞|2364n DF n DFa ⋅===⋅+，解得a ＝2， ∴D （1，2，0），C （﹣2，2，0），∴ED =（0，2，0），DF =（﹣1，﹣2，3）， 设平面EDF 的法向量m =（x ，y ，z ），则20230ED m y DF m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取z ＝1，得m =（301，，）， 同理得平面DFC 的一个法向量p =（0，3，2）， ∴cos 727m p m p m p ⋅===⋅＜，＞，∴二面角E ﹣DF ﹣C 的正弦值为sin 14217m p =-=＜，＞.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N （μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查. （1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.2210.13 9.91 9.9510.09 9.96 9.8810.01 9.98 9.9510.05 10.05 9.96 10.12经计算得201120i x ==∑x i ＝9.96，s ==≈0.19；其中x i为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，i ＝1，2，…，20.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P （X ＝1）及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.【答案】（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P （X ＝1）≈0.0494；E （X ）≈0.052 【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据得到,μσ，由此求得()3,3μσμσ-+，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出()1P X =，以及求得X 的数学期望. 【详解】（1）由x =9.96，s ＝0.19. 可得：μ=9.96，σ=0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在()3,3μσμσ-+＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026， 故X ～B （20，0.0026），∴P （X ＝1）120=0.997419×0.0026≈0.0494.X 的数学期望E （X ）＝20×0.0026≈0.052.【点睛】本小题主要考查3σ原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题.20.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点.△ABF 2的周长为（1）求椭圆C 的标准方程：（2）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线PA ，PB 与y ＝2分别交于点M ，N ，当|MN |最小时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）x ﹣y +1＝0【解析】 【分析】（1）根据三角形2ABF 的周长求得a ，结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ，通过直线PB 的方程求得N x ，由此求得MN 的表达式并进行化简，对m 进行分类讨论，由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.【详解】（1）由题意可得：4a＝2c a =， ∴a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）点P （0，﹣1），F 1（﹣1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，则可知m ≠﹣1，联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 直线PA 的方程为：（y 1+1）x ﹣x 1y ﹣x 1＝0，可得1131M x x y =+， 同理2231N x x y =+，|MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++，当m ＝0时，|MN |＝，当m ≠0时，|MN |＝= 由于m 1m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则()11112211m m∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，，此时|MN |的最小值为6＜m ＝1处取得，综上所述，当|MN |最小时，直线AB 的方程为：x ＝y ﹣1，即x ﹣y +1＝0.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1，且f （x ）≥0. （1）求a ；（2）在函数f （x ）的图象上取定两点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））（x 1＜x 2），记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立？若存在，求出x 0的值（用x 1，x 2表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a ＝1（2）存在；21021x x e e x ln x x -=-【解析】 【分析】（1）当0a ≤时，判断出()0f x ≥不恒成立.当0a >时，利用导数求得()f x 的最小值，根据这个最小值为非负数，构造函数并结合导数，求得a 的值. （2）首先求得k 的表达式，构造函数()()'t x fx k =-，由()()120,0t x t x <>，结合零点存在性定理，判断出0x 存在，并求得0x 的值.【详解】（1）若a ≤0，则对一切x ＞0，f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1＜0，不符合题意，若a ＞0，f ′（x ）＝ae ax﹣1，令f ′（x ）＝ae ax﹣1＝0可得x lnaa-=， 当x lna a -＜时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x lna a-＞时，f ′（x ）＞0，函数f（x ）单调递增，故当x lna a =-时，函数取得最小值f （lna a -）11lnaa a=+-， 由题意可得，有11lnaa a+-≥0①， 令g （t ）＝t ﹣tlnt ﹣1，则g ′（t ）＝﹣lnt ，当0＜t ＜1时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增，当t ＞1时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减， 故当t ＝1时，g （t ）取得最大值g （1）＝0，当且仅当1a=1即a ＝1时①成立， 综上a ＝1；（2）由题意可知，k ()()21212121x x f x f x e e x x x x --==---1， 令t （x ）＝f ′（x ）﹣k ＝e x2121x x e e x x ---，则可知y ＝t （x ）在[x 1，x 2]上单调递增，且t （x 1）121x e x x =--[21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1]，t （x 2）221x e x x =-[e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1]， 由（1）可知f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，x ＝0时取等号， ∴21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1≥0，e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1≥0， ∴t （x 1）＜0，t （x 2）＞0，由零点判定定理可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使得t （x 0）＝0且由21210x x xe e e x x -=--解得21021x x e e x ln x x -=-，综上可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查零点存在性定理的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，直线l 的参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）若点P 的极坐标为（2，π），求|PM |•|PN |的值；（2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4（2）16【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线C 的直角坐标方程.求得P 的直角坐标，由此判断P 在直线l 上，求得直线l 的标准参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得PM PN ⋅的值.（2）求得椭圆C 内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，转换为直角坐标方程为221124x y +=. 点P 的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P （﹣2，0）在直线l 上，所以直线l 参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以代入曲线的方程为22(2)()1222t t -++=，整理得240t --=，所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4.（2）不妨设Q（2sin θθ，），（02πθ≤≤），所以该矩形的周长为4（2sin θθ+）＝16sin （3πθ+）. 当6πθ=时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |，a ∈R .（1）当f （2）+f （﹣2）＞4时，求a 的取值范围；（2）若a ＞0，∀x ，y ∈（﹣∞，a ]，不等式f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a ≤6【解析】【分析】（1）化简不等式()()224f f +->得到222a a --+>，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得a 的取值范围.（2）将不等式()3f x y y a ≤++-恒成立，转化为()()max min 3f x y y a ≤++-.求得()f x 的最大值以及3y y a ++-的最小值，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）f （2）+f （﹣2）＞4，可得2|2﹣a |﹣2|2+a |＞4，即|a ﹣2|﹣|a +2|＞2， 则2222a a a ≤-⎧⎨-++⎩＞或22222a a a -⎧⎨---⎩＜＜＞或2222a a a ≥⎧⎨---⎩＞， 解得a ≤﹣2或﹣2＜a ＜﹣1或a ∈∅，则a 范围是（﹣∞，﹣1）；（2）f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，等价为f （x ）max ≤（|y +3|+|y ﹣a |）min ，其中当x ，y ∈（﹣∞，a ]，|y +3|+|y ﹣a |≥|y +3+a ﹣y |＝|a +3|＝a +3，当且仅当﹣3≤y ≤a 取得等号，而f （x ）＝﹣x （x ﹣a ）＝﹣（x 2a -）22244a a +≤，当且仅当x 12=a 时取得等号. 所以24a ≤a +3，解得0＜a ≤6. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
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重庆市巴蜀中学2020届高三适应性月考（八，3月） 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集RU，集合}012|{2xxxM，}1|{xyxN，则NMCU)(（ ） A．}1|{xx B．}121|{xx C．}121|{xx D．}211|{xx 2．已知向量),2(ma，)21,3(mb，Rm，则“)2(baa”是“2m”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列}{na的各项均为正数，且182795aaa，则11333loglogaa（ ） A．3 B．2log23 C．1 D．2 4．在区间]2,2[上随机取两个数yx,，则1xy的概率是（ ） A．329 B．169 C．167 D．3223 5．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若实数yx,满足不等式组0102201yxyxyx，则yx2的最大值是（ ） A．1 B．25 C．4 D．2 7．某几何体的三视图如图所示，其外接球表面积为（ ）
A．24 B．68 C．6 D．8 8．在平行四边形ABCD中，3BAD，2AB，1AD，若NM,分别是边CDBC,的中点，则ANAM的值是（ ） A. 27 B. 2 C. 3 D. 415 9．已知函数)(xf为偶函数，且0x时，xxxfsin21)(，则关于x的不等式)12()(xfxf的解集为（ ）
A．}31|{xx B．}1|{xx C．31|{xx或}1x D．}131|{xx
10．已知双曲线)0,0(12222babyax，过双曲线左焦点1F且斜率为1的直线与其右支交于点M，且以1MF为直径的圆过右焦点2F，则双曲线的离心率是（ ） A．12 B．2 C．3 D．13 11．直线l过抛物线C：yx42的焦点F且交抛物线C于BA,两点，则||2||BFAF的最小值为（ ） A．223 B．232 C．6 D．4
12．若存在*,,Rzyx，满足2zxezy，且xzex2，则xylnln的取值范围是（ ） A．]1,21[ B．]2ln1,2ln[e C．]21,2ln1[ D．]2ln1,2ln1[e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知复数z满足1)21(iz（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为 . 14．已知)2,0(，32sin，则)6cos( . 15．学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是 .
16．已知31a，aeaexxfxx42)()(11，关于x的不等式0)(xf有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，若41sinsin2cos2BABA. （1）求角C的大小； （2）已知4coscosAcCa，ABC的面积为8，求边长a的值. 18．2020年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下： 年龄段 )35,22[ )45,35[ )55,45[ ]59,55[ 人数（单位：人） 180 180 160 80 约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众. （1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？ （2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列22列联表，并回答能否有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30 （3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？ )(02kKP 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
))()()(()(22dbcadcbabcadnK.
19．如图所示，在四棱锥ABCDP中，已知平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，CDAB//，且CDAD，33ABADPD，3CD，6PA，E在棱PC上
且满足ECPE21. （1）求证：//BE平面PAD； （2）求证：AC平面PBD； （3）求点E到平面PBD的距离.
20．过椭圆C：)0(12222babyax的左焦点1F作其长轴的垂线与C的一个交点为P，右焦点为2F，若43tan12FPF. （1）求椭圆C的离心率； （2）过点)0,1(E且斜率为21的直线l与椭圆C交于BA,两点，若椭圆上存在点Q使得OBOAOQ21，求椭圆C的方程.
21．已知函数)0(ln)0(2)(xxaxexxfx（0a）. （1）求)(xf在]0,(上的单调性及极值； （2）若)()(2xfbxxxg，对任意的]2,1[b，不等式0)(xg都在),1(ex上有解，求实数a的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sincos1tytx（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程cos4. （1）当3时，1C交2C于BA,两点，求||AB； （2）已知点)2,1(P，点Q为曲线2C上任意一点，求OQOP的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 设)10(|||2|)(aaxaxxf. （1）若1a，解关于x的不等式2)(xf； （2）求证：6)1()(tftf. 文科数学答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D A D B C D D A A D 二、填空题
13. 52 14. 6215 15. 乙 16. eae21532 三、解答题 17．（1）∵41sinsin2)cos(1BABA，∴21sinsin2)cos(1BABA， ∴21sinsin2sinsincoscosBABABA， ∴21)cos(sinsincoscosBABABA， ∴32BA，∴3C. （2）∵422222222bcacbcabcbaa， ∴4b ∵83sin421sin21aCabS，
∴338a. 18. (1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 （2）22列联表如下：
706.2833.122140512181713)71256(3022K，
∴没有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关. （3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为4321,,,AAAA，其余
两人记为21,BB，则从中选两人，一共有如下15种情况：
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(212414231322122111434232413121BBBABABABABABABABAAAAAAAAAAAAA
抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况， 所以52156P. 19.（1）证明：过E点作CDEF//交PD于F，可证四边形ABEF是平行四边形， ∴AFBE//，BE平面PAD，AF平面PAD，∴//BE平面PAD.
（2）证明：∵222PAADPD，∴ADPD， ∵平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ADABCD， ∴PD平面ABCD，∴ACPD. ∵ADC∽BAD，∴BDAACD，∵090CADACD， ∴090CADBDA，∴BDAC， ∵PDAC，BDAC，DBDPD， ∴AC平面PBD. （3）解：设点E到平面PBD的距离为h， 等体积法，∵PDEBPBDEVV，∴ADShSPDEPBD3131， ∴3132131322131h
∴23h.
20.(1)∵43tan12FPF，∴43211FFPF，∴43222cab， ∴22223caacb，∴02322ee，∴21ace. （2）∵21ace，∴cbca3,2， 不妨设椭圆的方程为1342222cycx，即2221243cyx. 设),(11yxA，),(22yxB，),(00yxQ， ∵)21,21(212121yyxxOBOAOQ， ∴21021021,21yyyxxx， 由于QBA,,都在椭圆2221243cyx上， 22222221211243,1243cyxcyx
，222122112)21(4)21(3cyyxx
∴221212222212112)43()43(4143cyyxxyxyx， ∴221212212)43(124112cyyxxcc ∴22121343cyyxx