南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数 学 2018.01注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 柱体的底面积,h 为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡上的相应位置上．1．已知集合A ＝{x ∣x (x －4)＜0}，B ＝{0，1，5}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．设复数z ＝a ＋i(a ∈R ，i 为虚数单位），若(1＋i)⋅z 为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80) (单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若x ＝0，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．7．设函数y ＝e x ＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知α，β均为锐角，且满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为 ▲ ． 9．若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018，则S 2017的值为 ▲ ．(第4题)/分钟(第3题)0.0050.0100.020a 0.03511．设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )，0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3．若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k (x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足→OP ＝3→OQ ，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则→AB ⋅→CD 的最大值为 ▲ ．14．若不等式k sin 2B ＋sin A sin C ＞19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：BN ∥平面A 1MC ；（2）若A 1M ⊥AB 1，求证：AB 1⊥A 1C ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝52b ．（1）若C ＝2B ，求cos B 的值；（2）若→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，求cos(B ＋π4)的值．A (第13题) A BC A 1 B 1C 1 M N （第15题）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120︒的扇形，且弧⌒EF ，⌒GH 分别与边BC ，AD 相切于点M ，N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的下顶点为B ，点M ．N是椭圆上异于点B 的动点，直线BM ，BN 分别与x 轴交于点P ，Q ，且点Q 是线段OP的中点．当点N 运动到点(3，32)处时，点Q 的坐标为(2 33，0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点M ，N 均在y 轴右侧，且→DN ＝2→NM 时，求直线BM的方程．(第18题)（第17题-甲） F（第17题-乙）设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m⋅a n≥n－r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立，求满足条件的所有数列{a n}中T的最小值．20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋bx－c(a，b，c∈R)．（1）当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，求a，b的值；（2）当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0，3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值；（3）当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点．求证：x1x2－x2＜b＜x1x2－x1．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题2018.01 注意事项：1．附加题供选修物理考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .（选修4-1：）A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若DE ＝4，求切点E 到直线AB 的距离．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2001，求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下所得的曲线方程．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，求r 的值．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足x 2＋3y 2＝1，求当x ＋y 取最大值时x 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，AC ＝4，BD ＝2，OP ＝4． （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值．AB ED O · （第21(A)）23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C rn ＋…＋n C n －1n C nn ．（1）求f (1)，f (2)，f (3)的值；（2）试猜想f (n )的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2018.01说明：MABCDOP（第22题）1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)1．{1} 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(－∞，2] 8．3π4 9．(0，14] 10．4034 11．[1，94) 12．－ 3 13．24 14．100 二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.)15．证明：（1）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1．又因为点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点， 所以MB ＝A 1N ，且MB ∥A 1N ， 所以四边形A 1NBM 是平行四边形，从而A 1M ∥BN ．……………………………… 4分 又BN ⊄平面A 1MC ，A 1M ⊂平面A 1MC ， 所以BN ∥平面A 1MC ． ……………………………………………………………………………6分（2）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以AA 1⊥平面ABC ，而CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM ．又CA ＝CB ，且M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ． 又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………………………………8分又AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥AB 1．………………………………………………………………10分又AB 1⊥A 1M ，A 1M ，CM ⊂平面A 1MC ，A 1M ∩CM ＝M ， 所以AB 1⊥平面A 1MC ，…………………………………………………………………………………12分又A 1C ⊂平面A 1MC ，所以AB 1⊥A 1C ．…………………………………………………………………14分A B C A 1 B 1 C 1 MN（第15题）16．解：（1）因为c ＝52b ，则由正弦定理，得sin C ＝52sin B ．…………………………………………2分又因为C ＝2B ，所以sin2B ＝52sin B ，即2sin B cos B ＝52sin B . ………………………………………4分又B 是△ABC 的内角，所以sin B ＞0，故cos B ＝54． ………………………………………………6分 （2）因为→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，所以cb cos A ＝ba cos C ，则由余弦定理， 得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c ． …………………………………………………………………10分从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ c 2＋c 2－(2 5c )22c 2＝35．………………………………………………………12分 又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45．从而cos(B ＋π4)＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35⨯22－45⨯22＝－210． ……………………………………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE ＝OF ＝OM ＝R ，在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60︒， 所以OT ＝12R ，则MT ＝OM －OT ＝R 2． 从而BE ＝MT ＝12R ，即R ＝2BE ＝2．…………………… 2分故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF＝13πR 2－12R 2sin120︒＝4π3－3．………………………… 4分又所得柱体的高EG ＝4，所以V ＝S ⨯EG ＝16π3－43．答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为(16π3－43)立方分米. …………………………………………………………………………6分 （2）设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin120︒＝(4π3－3)x 2.又所得柱体的高EG ＝6－2x ，所以V ＝S ⨯EG ＝(8π3－23)(－x 3＋3x 2) ，其中0＜x ＜3. ……………………………………10分令f (x )＝－x 3＋3x 2，x ∈(0，3)，则由f '(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)＝0， 解得x ＝2． ………………………………………………………………………………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. ……………………………………14分18．解：（1）由N (3，32)，Q (2 33，0)，得直线NQ 的方程为y ＝32x －3．……………………2分令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x 2a 2＋y 23＝1 ．…………………………………………………………………… 4分将点N 的坐标(3，32)代入，得(3)2a 2＋(32)23＝1，解得a 2＝4．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………………………………………………………… 8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为k (k ＞0)，则直线BM 的方程为y ＝kx －3．在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k ．所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－(－3)32k－0＝2k ．………………………………………………10分联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝8 3k3＋4k 2 ． 用2k 代k ，得x N ＝16 3k3＋16k 2．……………………………………………………………………12分又→DN ＝2→NM ，所以x N ＝2(x M －x N )，得2x M ＝3x N ．…………………………………………… 14分故2⨯8 3k 3＋4k 2＝3⨯16 3k 3＋16k 2，又k ＞0，解得k ＝62．所以直线BM 的方程为y ＝62x －3． …………………………………………………………16分方法二：设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由B (0，－3)，得直线BM 的方程为y ＝ y 1＋3x 1x －3，令y ＝0，得x P ＝3x 1y 1＋3．同理，得x Q ＝3x 2y 2＋3．而点Q 是线段OP 的中点，所以x P ＝2x Q ，故3x 1y 1＋3＝2⨯3x 2y 2＋3． …………………………10分又→DN ＝2→NM ，所以x 2＝2(x 1－x 2)，得x 2＝23x 1＞0，从而1y 1＋3＝43y 2＋3，解得y 2＝43y 1＋33．…………………………………………………………………………………12分 将⎩⎨⎧x 2＝23x 1，y 2＝43y 1＋33，代入到椭圆C 的方程中，得x 129＋(4y 1＋3)227＝1．又x 12＝4(1－y 123)，所以4(1－y 123)9＋(4y 1＋3)227＝1，………………………………………………14分即3y 12＋2y 1－3＝0，解得y 1＝－3（舍）或y 1＝33．又x 1＞0，所以点M 的坐标为M (4 23，33)．故直线BM 的方程为y ＝62x －3．……………………………………………………………… 16分 19．解：（1）由题意，可得a n 2＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1. …………………………………………………………4分（2）将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1⨯4＋λ，解得λ＝0，所以a n 2＝a n ＋1a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n－1. ………6分欲存在r ∈[3，7]，使得m ⋅2n －1≥n －r ，即r ≥n －m ⋅2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ⋅2n －1，所以m ≥n －72n －1 对任意n ∈N *都成立. …………………………………………8分令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n2n ，所以当n ＞8时，b n ＋1＜b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8；当n ＜8时，b n ＋1＞b n ．所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128 ，所以m 的最小值为1128.………………………………………10分 （3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2．①若T ＝2，则a n ＋1＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎨⎧a 22＝a 12＋λ(a 2－a 1)2，a 12＝a 22＋λ(a 2－a 1)2，所以λ(a 2－a 1)2＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，这与已知条件矛盾， 所以T ＝2不合题意. …………………………………………………………………………………12分②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2，2，n ＝3k －1，－3，n ＝3k ，(k ∈N *)（*），满足a n ＋3＝a n 恒成立．……………………14分由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，可得此时λ＝7． 则条件式变为a n 2＝a n ＋1a n －1＋7．由22＝1⨯3＋7，知a 3k －12＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2； 由(－3)2＝2⨯1＋7，知a 3k 2＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2； 由12＝(－3)⨯2＋7，知a 3k ＋12＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2； 所以，数列（*）适合题意． 所以T 的最小值为3. …………………………………………………………………………………16分（注：写一个数列{a n }时，需满足a 1＋a 2＋a 3＝0，且a 1≠a 2．）20．解：（1）由f (x )＝ln x ，得f (1)＝0，又f '(x )＝1x，所以f '(1)＝1．当c ＝0时，g (x )＝ax ＋b x ，所以g '(x )＝a －bx2 ，所以g '(1)＝a －b ．……………………………2分因为函数f (x )与g (x )的图象在x ＝1处有相同的切线，所以⎩⎨⎧f '(1)＝g '(1)，f (1)＝g (1)，即⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12．…………………………………………………4分 （2）方法一：当x 0＞1时，则f (x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f (x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－ax－c ＝t (t ＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2， ……………6分即关于x 的方程ax 2－(c ＋t )x ＋(3－a )＝0(t ＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，△＝(c ＋t )2－4a (3－a )＞0，x 1＋x 2＝c ＋ta＞0，x 1x 2＝3－a a＞0．得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，(c ＋t )2＞4a (3－a )，c ＋t ＞0．所以c ＞2a (3－a )－t 对任意t ∈(0，＋∞)恒成立．…………………………………………… 8分因为0＜a ＜3，所以2a (3－a )≤2⨯a ＋3－a 2＝3(当且仅当a ＝32时取等号)．又－t ＜0，所以2a (3－a )－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3． 故c 的最小值为3. …………………………………………………………………………………10分方法二：由b ＝3－a ，且0 ＜a ＜3，得g '(x )＝a －3－a x 2＝ax 2－(3－a )x 2＝0，得 x ＝3－aa或x ＝－3－aa(舍)，则函数g (x )在(0，3－a a )上递减；在(3－aa，＋∞)上递增．又对任意x 0＞1，f (x 0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x 1，x 2， 使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则g (x )的最小值小于或等于0.即g (3－aa)＝2a (3－a )－c ≤0， ……………………………………………………………6分即c ≥2a (3－a )对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a (3－a )≤a ＋(3－a )＝3，所以c ≥3．…………………………………………………… 8分当c ＝3，对任意a ∈(0，3)，x 0∈(1，＋∞)，方程g (x )－f (x 0)＝0化为ax ＋3－a x－3－f (x 0)＝0，即ax 2－[3＋f (x 0)]x ＋(3－a )＝0（*）关于x 的方程（*）的△＝[3＋f (x 0)]2－4a (3－a )≥[3＋f (x 0)]2－4⎝⎛⎭⎫ a ＋3－a 22＝[3＋f (x 0)]2－9,因为x 0＞1，所以f (x 0)＝ln x 0＞0，所以△＞0，所以方程（*）有两个不相等的实数解x 1，x 2，又x 1＋x 2＝f (x 0)＋3a ＞0，x 1x 2＝3－aa＞0，所以x 1，x 2为两个正实数解． 所以c 的最小值为3. ……………………………………………………………………………10分 （3）当a ＝1时，因为函数f (x )与g (x )的图象交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧ln x 1＝x 1＋bx 1－c ，ln x 2＝x 2＋b x 2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x1)．……………………………… 12分要证明x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2＜x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)＜x 1x 2－x 1，即证1x 2＜ln x 2－ln x 1x 2－x 1＜1x 1，即证1－x 1x 2＜ln x 2x 1＜x 2x 1－1．……………………………………………14分令x 2x 1＝t ，则t ＞1，此时即证1－1t＜ln t ＜t －1． 令ϕ(x )＝ln t ＋1t －1，所以ϕ'(t )＝1t －1t 2＝t －1t2＞0，所以当t ＞1时，函数ϕ(t )单调递增．又ϕ(1)＝0，所以ϕ(t )＝ln t ＋1t －1＞0，即1－1t＜ln t 成立．再令m (t )＝ln t －t －1，所以m '(t )＝1t －1＝1－t t＜0， 所以当t ＞1时，函数m (t )单调递减，又m (1)＝0，所以m (t )＝ln t －t －1＜0，即ln t ＜t －1也成立． 综上所述， 实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1． …………………………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2018.0121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲解：如图，连接AE ，OE ，过E 作EF ⊥AB ，交AB 于F ．因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ，又因为AD 垂直DE 于D ，所以AD ∥OE ， 所以∠DAE ＝∠OEA ①， 在⊙O 中OE ＝OA ，所以∠OEA ＝∠OAE ②，…………………………5分 由①②得∠DAE ＝∠OAE ，即∠DAE ＝∠F AE ， 又∠ADE ＝∠AFE ，AE ＝AE ， 所以△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝FE ， 又DE ＝4，所以FE ＝4， 即E 到直径AB 的距离为4. …………………………………………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换解：设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，则x 02＋y 02＝1． 设点P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0 ，即⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x ，y 0＝y ，…………………………………………………………………………………5分 代入x 02＋y 02＝1，得x 24＋y 2＝1，即为所求的曲线方程. ……………………………………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，由ρcos(θ＋π3)＝1 ，得ρ(cos θcos π3－sin θsin π3)＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0 ．………………………………………………………… 5分曲线ρ＝r 的直角坐标方程为圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝∣1⨯0－3⨯0－2∣12＋(－3)2＝1．因为直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1. ……………………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(3y )2][12＋(33)2]≥(x ⨯1＋3y ⨯33)2，即43(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2 ． 而x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2≤43，所以－233≤x ＋y ≤23A B E DF O · （第21(A)）3，………………………………………… 5分由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y33，x ＋y ＝233，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝36，所以当且仅当x ＝32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝23 3 ．所以当x ＋y 取最大值时x 的值为x ＝32．…………………………………………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．因为OP ⊥底面ABCD ，所以以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则A (2，0，0)，B (0，1，0)，P (0，0，4)，C (－2，0，0)，M (－1，0，2)，所以→AP ＝(－2，0，4)，→BM ＝(－1，－1，2)，→AP ⋅ →BM ＝10，∣→AP ∣＝25，∣→BM ∣＝6．则cos ＜→AP ，→BM ＞＝→AP ⋅ →BM ∣→AP ∣∣→BM ∣＝102 5⨯ 6＝306．故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306………………5分 （2）→AB ＝(－2，1，0)，→BM ＝(－1，－1，2)． 设平面ABM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⋅ →AB ＝0，n ⋅ →BM ＝0，得⎩⎨⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝4，z ＝3． 所以平面ABM 的一个法向量为n ＝(2，4，3)．又平面P AC 的一个法向量为→OB ＝(0，1，0)，所以n ⋅→OB ＝4，∣n ∣＝29，∣→OB ∣＝1．则cos ＜n ，→OB ＞＝n ⋅ →OB ∣n ∣∣→OB ∣＝4 2929 ．故平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值为4 2929. …………………………………………10分23．解：（1）由条件，n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C rn ＋…＋n Cn －1n C n n①，在①中令n ＝1，得f (1)＝C 01⋅C11＝1．…………………………………………………………………… 1分 在①中令n ＝2，得2f (2)＝C 02C 12＋ 2 C12C22＝6，得f (2)＝3．…………………………………………… 2分在①中令n ＝3，得3f (3)＝C 03C 13＋2 C 13C 23＋3 C 23C 33＝30，得f (3)＝10． ………………………………3分C（第22题）（2）猜想f (n )＝Cn 2n －1(或f (n )＝C n －12n －1)．………………………………………………………………… 5分欲证猜想成立，只要证等式n C n2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C rn ＋…＋n C n －1n C nn 成立． 方法一：当n ＝1时，等式显然成立．当n ≥2时，因为r C rn ＝r ⨯n !r !(n －r )!＝n !(r －1)!(n －r )!＝n ⨯(n －1)!(r －1)!(n －r )!＝n C r －1n －1，………………………7分故r Cr －1n C r n ＝(r C r n ) C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n ．故只需证明n C n 2n －1＝n C 0 n －1C 0n ＋n C 1 n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1n ．即证 C n 2n －1＝C 0 n －1C 0n ＋ C 1 n －1C 1n ＋…＋ C r －1n －1C r －1n ＋…＋ C n －1n －1C n －1n ．而C r －1n ＝C n －r ＋1n ，故即证C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ②．由等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 可得，左边x n 的系数为n2n －1．而右边(1＋x )n －1(1＋x )n ＝(C 0 n －1＋C 1 n －1x ＋C 2 n －1x 2＋…＋C n －1n －1x n －1)( C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C nn x n )所以x n 的系数为C 0n －1C nn ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1Cn －r ＋1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ．由(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 恒成立可得②成立.综上，f (n )＝C n2n －1成立．……………………………………………………………………………… 10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有2n －1个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球．现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球(n －r 个白球）的n 个小球的组合的个数为C rn －1C n －rn ，0≤r ≤n －1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为 C 0n －1C nn ＋ C 1n －1Cn －1n ＋…＋C r －1n －1Cn －r ＋1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ．另一方面，从袋中2n －1个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为C n2n －1．故C n2n －1＝C 0n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ， 余下同方法一. …………………………………………………………………………………………10分方法三：由二项式定理，得(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C nn x n ③． 两边求导，得n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…r C rn x r －1 ＋…＋n C nn x n －1 ④． ③×④，得n (1＋x )2n －1＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )( C 1n ＋2C 2n x ＋…r C rn x r －1 ＋…＋n C nn x n －1) ⑤． 左边x n 的系数为n C n2n －1． 右边x n 的系数为C 1n C n n ＋2 C 2n Cn －1n ＋…＋r C r n C n －r ＋1n＋…＋n C n n C 1n ＝C 1n C 0n ＋2C 2n C 1n ＋…＋r C r n C r －1n ＋…＋n C n n C n －1n＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C nn ．由⑤恒成立，可得n C n＝C0n C1n＋2 C1n C2n＋…＋r C r－1n C r n＋…＋n C n－1n C n n．2n－1成故f(n)＝C n2n－1立．……………………………………………………………………………………10分。