北师大版七年级数学下册3.2《用关系式表示的变量间关系》习题含答案
2020版七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示的变量间关系课件(新版)北师大版
★★3.如图是我国古代某种铜钱的平面示意图,该图 形是在一个圆形的中间挖去一个正方形得到的.若圆 的半径是3 cm,正方形的边长为x cm,设该图形的面积 为y cm2.(注:π取3)
(1)写出y与x之间的关系式. (2)当x=1时,求y的值.
解:(1)由题意可知:y=3×32-x2=27-x2. (2)当x=1时,y=27-12=26(cm2).
★2.百货大楼进了一批花布,出售时在进价(进货价格) 的基础上加一定的利润,其数量x与售价y如下表:Βιβλιοθήκη 数量 x米23
4
5
…
售价 y元
16+0.6
24+0.9
32+1.2
40+1.5
…
下列数量x表示售价y的关系中,正确的是 ( C )
A.y=8x+0.3
B.y=8+0.3x
C.y=(8+0.3)x D.y=8+0.3+x
【题组训练】
1.变量x与y之间的关系式y= 1 x2-2,当自变量x=2时,
2
因变量y的值是 ( C )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
★2.根据如图中的程序,当输入x=-4时,输出结果y为 (C)
A.-1
B.-3
C.3
D.5
【火眼金睛】 有一种粗细均匀的电线,为了确定其长度,从一捆中剪 下1 m,称得它的质量是60 g. (1)写出这种电线的长度与质量之间的关系式. (2)如果一捆电线剪下1 m后的质量为6 kg,写出这捆 电线的长度.
①用表格反映两个变量之间的关系时,必须保证数据 的真实性及对自变量所取数值排列的顺序性; ②因变量的数值必须与自变量的数值一一对应.
北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系(考点讲解)(含解析)
第三章 变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大； （4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次． 【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论； 解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量． （2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。
北师大版七下数学下册第3单元3.2用关系式表示变量的关系
3.2用关系式表示的变量间关系学习目标1．能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系．2．能根据关系式求值，体会自变量和因变量的数值对应关系．3、根据关系式找自变量与因变量之间的对应关系。
温故知新1、填空（1）如果△ABC的底边长为a，高为h，那么面积S△ABC＝_____________．（2）如果梯形的上底、下底长分别为a、b，高为h，那么面积S梯形＝___________．（3）圆的半径为r,则圆的面积S=____ _ 。
（4）圆柱的底面半径为r，高为h，体积V圆柱＝___ _______（5）圆锥底面的半径为r，高为h，体积V圆锥＝____________．（6）如果正方形的边长为a，则正方形的周长C=____ ____；面积S=____ ____2.观察下表并回答问题：（1）表格反映的是哪两个变量的关系？谁是自变量？谁是因变量？（2）你能否将m用n的代数式表示出来?探究：三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因有、。
如图所示，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？在这个变化过程中，△ABC中的哪些因素在改变？（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是__________．（2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm 2）可以表示为__________ （3)当底边长从12 cm变化到3 cm时，三角形的面积从_____cm 2变化到_____ cm．（4)当x分别等于1,2,3,4时，对应的 y的值分别为___________________。
归纳：1、y=3x表示了和之间的关系，它是变量ｙ随ｘ变化的关系式。
2、通过表格可表示两个变量之间的关系，本节中利用_______也可表示两个变量之间的关系．3、确定关系式的步骤：先找出题目中关于________与________的相等关系，再用______________________ 的代数式表示________①写关系式时将表示的字母单独写在等号的左边。
原七年级数学下册3.2用关系式表示的变量间关系习题课件(新版)北师大版
(3)如果小王这月租(yuèzū)30张碟片，他应选择哪种方式租碟？ (4)要使两种租碟方式的费用相同，小王每月应租碟多少张？ 解：(1)y1＝x (2)y2＝12＋0.4x (3)当x＝30时，y1＝30，y2＝24，故选 用会员卡租碟更合算 (4)根据题意得x＝12＋0.4x，解得x＝20，要使两种 租碟方式费用相同，小王每月应租碟20张
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知识技能： 已知自变量，利用(lìyòng)关系式求因变量的值，实际上就是求代数式的值；已知 因变量，利用(lìyòng)关系式求自变量的值，实际上就是求方程的根． 易错提示： 在一些实际问题中，自变量只能取某个范围内的值．
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关系式为 s＝300－100t(0≤t≤3) ．
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5．某人购进一批苹果(píngguǒ)到集贸市场零售，已知卖出的苹果(píngguǒ) 数量x(千克)与售价y(元)之间的关系如下表：
数
量x/ 千
1
2
3
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
克 (1)变量x与y的关系式是 y＝1.2x＋0.1 ．
(2)售卖__1_2_千1.克2苹2果.(4píng3gu.6ǒ)，4可.得8 14.5元；
第3章 变量(biànliàng)之间的关系
3．2 用关系式表示(biǎoshì)的变量间关系
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1．若一辆汽车以50千米/时的速度(sùdù)匀速行驶，行驶的路程为s(千米)，行驶的时
间为t(时)，则用t表示s的关系式为( )
B
A．s＝50＋50t
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3.2《用关系式表示的变量间关系》习题含答案
知识点一、 用关系式表示两变量之间的关系
1. 若一辆汽车以50 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s(km)，行驶的时间为t(h)，则
用t表示s的关系式为( )
A.s＝50＋50t B.s＝50t
C.s＝50－50t D.以上都不对
2. 一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元.设门票
的总费用为y元，则y与x的关系式为( )
A.y＝10x＋30 B.y＝40x
C.y＝10＋30x D.y＝20x
3. 一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，
y与x之间的关系式是( )
A.y＝12－4x B.y＝4x－12
C.y＝12－x D.以上都不对
4. 从A地向B地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1
元.若通话t分钟(t≥3)，则需付电话费y(元)与t(分钟)之间的关系式是( )
A.y＝t－0.5 B.y＝t－0.6
C.y＝3.4t－7.8 D.y＝3.4t－8
5. 在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6 ℃，已知某登山大本营所在的位置的气
温是2 ℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y ℃，
那么y关于x的关系式是_____________.
6. 如图所示，在△ABC中，已知BC＝16，高AD＝10，动点Q由点C沿CB向点B移动(不
与点B重合).设CQ的长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为________.
第6题图
知识点二、根据关系式求变量值
7. 在关系式y＝2x＋5中，当自变量x＝6时，因变量y的值为( )
A.7 B.14 C.17 D.21
8. 如图，在直角△ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )
A.三角形面积随之增大
B.∠CAB的度数随之增大
C.BC边上的高随之增大
D.边AB的长度随之增大
9. 有一棵树苗，刚栽下去时树高为2.1米，以后每年长0.3米.
（1）写出树高y(米)与年数x(年)之间的关系式：________________；
（2）3年后的树高为________米；
（3）______年后树苗的高度将达到5.1米.
10. 圆柱的底面半径为10，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化.
(1)在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
(2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是什么？
(3)当h每增加2，V如何变化？
11. 如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当
小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为x cm,图中阴影部分的面积为y cm²,请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
第11题图
第8题图
3.2用关系式表示的变量间关系习题参考答案
1.B 2.A 3.A 4.B 5.y = 6–2x 6.S = 5x 7.C 8.C
9.(1)y = 0.3x + 2.1 (2)3 (3)10
10.解：（1）由于圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化，所以自变量是圆柱的高，因变量
是圆柱的体积.
（2）圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是：V＝100πh.
（3）因为V＝100π(h＋2)＝100πh＋200π，所以当h每增加2时，V增加200π.
11. 解：（1）小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积是因变量.
（2）由题意可得 y = 12² - 4x² = 144 – 4x².
（3）当x = 1时，y = 144 – 4×1² = 140; 当x = 5时，y = 144 - 4×5² = 44
结合图形可知，阴影部分的面积随着小正方形边长的增大而减小，
所以当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，
阴影部分的面积由140cm²变化到44cm².