第5章3散射-分波法和Born近似

§5.6低能散射―分波法
上面几节所讨论的微扰理论，只适用于求 分立能级的能量和对波函数修正而不适用于处 理体系能量组成连续谱的情况。在第2章讨论势 垒贯穿时我们看到，当粒子被势场散射时，粒 子的能量组成连续谱，这类问题能精确求解的 也很少，因而也需要用微扰理论。
在量子力学中，散射现象也称为碰撞现 象。研究粒子与势场(或粒子与粒子)碰撞的 过程有很重要的实际意义。我们对原子内部 结构的了解就是通过粒子与原子碰撞而取得 的。
入射波的概率流密度：
* i * 1 J ) v N z ( 1 1 2 z z
散射波的概率流密度：
它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒 子数，故单位时间穿过面积dS的粒子数是
* i v * 2 2 2 J ( ) | f ( , ) | r 2 2 2 2 r r r
粒子被另一粒子或势场散射 dS θ A 单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn Z
dS dn~ 2 d r
垂直于入射粒子流前进的方向取一单 位面积S =1，单位时间内穿过S 的粒子 数就是入射粒子流强度N。
0 0
同时，dn还应与入射粒子流强度N成正比 ：
q( ,) 与入射粒子、散射中心的性质以及它们
2 p ( 0 ) H V ( r ) H H 2
ik z
1e ( 2 l 1 ) i kr l 0
l

1 i(kr l ) 2
e 2 i
1 i(kr l) 2
f( ) ikr P ) e l (cos r
A l e l 0 kr

1 i(kr l ) 2
e 2 i
1 i(kr l ) 2
Q 2 q() sind
0

2 2 k l0 4 2 k l0
il il ( 2 l 1 )( 2 l 1 ) P (cos ) P (cos ) e e sinl sinl sind l l l 0 0


(2l 1)(2l 1)
l0
ei(l l ) sinl sinl 2l 1
ll
4 2 (2l 1) sin2 l k l0 Ql
l 0
4 2 Q ( 2 l 1 ) sin l l 2 k
第l个分波的散射截面
4．分波法的应用― 球形势阱与势垒所产生的散射 讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射， 入射粒子能量很小，它的de Broglie波长比势场 作用范围大得多。 以a表示方形势阱的范围，于是粒于的势能 可写为 V 0, r a V(r) , r a 0 只需讨论s散射（l＝0）
2 E p p k 2 , v , U ( r ) V ( r ) 令 k 2 2 2
2
2 2 V ( r ) E 2

2
则有
[ k U ( r )] 0
2 2




观测被散射的粒子都是在离开散射中心 很远的地方，所以讨论r→∞时ψ 的 行为即可。
Rutherford散射 Franck、Hertz电子与原子碰撞实验 原子核、基本粒子的研究 宇宙射线、气体放电、气体分子碰撞
1.散射截面的定义 如果一粒子与另一粒子碰撞的过程中， 只有动能的交换，粒子内部状态并无改变， 则称这种碰撞为弹性碰撞(或弹性散射)； 若碰撞中粒子内部状态有所改变(例如 原子被激发或电离)，则称为非弹性碰撞(成 非弹性散射)。 下面只讨论弹性碰撞的问题。
e Ae f( ) r r
ikz
ikr
(5．42)
du r ) 2 l( k u ( r ) 0 l 2 dr
2
其解为： kr u ( r ) A ) l lsin( l

（r→∞）
由此有：
1 A kr l ) lsin( l A l 2 R ( r ) sin( kr ) l l r r kr
设r→∞时， V(r) →0，则r→∞处波函数 由两部分组成： ikz 1.描写入射粒子的平面波1 Ae ikr e 2.描写散射粒子的球面波2 f (,) r ik r e 故 ik z Ae f ( , ) 1 2 r r (5.39) 取A＝1，则|1 |2 1，这表明单位体积内只有一 个入射粒子。
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为 极轴，这个轴是我们所讨论问题中的旋转对称， 波函数ψ 和散射振幅f都与φ角无关。 ( r ,,) R ( r ) Y ( ,) R ( r ) P (co ) l lm l l



lm
l
R r ) P ) 这个展式中每一项称为一个分波， l( l (cos 是第ｌ个分波，每一个分波都是方程(5．40)的 解。通常称ｌ＝0,1,2,……的分波分别为s，p， d，……分波。
由波函数标准条件， R(r)＝u(r)/r在r＝0处为有限，
0 0

在r＝a处 1 du (r ) 连续得：
kctg ( ka ) k ctg ( k a ) 0
由此得到相移为： k arctg [ tg ( k a )] ka 0 k 由此可得到总散射截面为
讨论：
1.求散射振幅 f ( ) 的问题归结为求
1 2. kr l 2
l
是入射波第l个分波的位相，
1 kr l l 是散射波第l个分波的位相。 2 所以 l 是入射波经过散射后第l个分波
的位相移动(简称相移)。 3. l 的具体数值要解出方程(5．42)后才能 求得。
1 i 2 2 l q ( ) |f ( ) | | ( 2 l 1 ) P (cos ) esin | 2 l kl 0
2 kif ( ) (2 l 1 )P )( e l (cos
l 0 il

2il
1 )
(2 l 1 )P )2 ie sin l l (cos
l 0
1 i l f ( ) ( 2 l 1 ) P (cos ) e sin l l k l 0

l ( 2 l 1 ) i e 可以得到 A l
（5.48）
2 P (cos ) P (cos ) sin d l l l l 0 2 l 1 l i
（或者再一次比较系数得到）
将这结果代入（5.47）式，并利用 i l e
1 i l 2
就得到：
1 kr l A lsin( l) 2 ( r , ) P ) l(cos r l
ik z ik c r os
( 2 l 1 ) ij kr ) P ) l( l(cos
l l 0
1 r
v 2 2 2 dn J dS | f ( , ) | dS v | f ( , ) | d N | f ( , ) | d r 2 r 2
( , ) | f( , ) | 微分散射截面是q



3.中心势场中的弹性散射――分波法
2 2
[ k U ( r )] 0 (5．40)
式中
2 |V 0| k k 0 2
如果散射场不是势阱而是方形势垒，即 V0＞0，
thk a 2 2 0 Q 4 a( 1 ) 4 a V 0 k a 0
2
§5.7 高能散射－Born近似
1. Born近似 如果入射粒子的动能比粒子与散射中 心相互作用的势能大得多，以致势能V(r) 可以看作是微扰时， Born近似法来计算散 射截面。 体系的Hamilton为
P ) l (cos
1 i ( ) ll 2 ik r P (cos ) ] e l
[ 2 kif ( ) ( 2 l 1 ) ie P ) A e l(cos l
l 0 l 0

i l l 2
( 2 l 1 ) ie P ) A e l(cos l
P (co ) l
（5.47）
P (cos ) l
( 2 l 1 ) i eP (cos ) A e
l 0 l l 0 l

i l l 2

1 i ( l ) l 2
) 在（5.48）式两边乘以 P l (cos 对θ 积分,并利用勒让德多项式的正交性
l 0 l 0

i l l 2

1 i ( ) ll 2
ik r P (cos ) ] e 0 l
2 kif ( ) ( 2 l 1 ) i eP (cos ) A e l
l 0 l 0

i l l 2 l

1 i ( l ) l 2
径向波函数Rｌ(r)满足下列方程： 令Rl(r)=ul(r)/r,可将上式化为
dR ( r ) 2 1 d2 l ( l 1 ) l ( r ) [ k U ( r ) 2 ] R ( r ) 0 l 2 drdr r r
2 d u ( r ) 2 l ( l 1 ) l [ k U ( r ) 2 ] u ( r ) 0 l 2 dr r
之间的相互作用和相对动能有关，称之为 散射截面。
dn ~Nd dn q ( , ) Nd
2 Q q ( ,) d q ( ,) sin d d

0 0

Q称为总散射截面。
2.散射截面的计算公式 取散射中心为坐标原点。用V(r)表示入 射粒子与散射中心之间的相互作用势能， 则体系的Schrö dinger方程写为