【精品】2016-2017年河南省信阳市高一(上)期末数学试卷带解析

2016-2017学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B等于（）A．（0，2） B．（2，3） C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．（5.00分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（5.00分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b4．（5.00分）函数，当x=3时，y＜0则该函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（1，+∞）5．（5.00分）设m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出四个命题①m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α⇒α∥β②m⊥α，n⊥α⇒m∥n③m∥α，m∥n⇒n∥α④α⊥β，m⊂α⇒m⊥β其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5.00分）拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5•{m}+1）（元）决定，其中m＞0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元7．（5.00分）函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）8．（5.00分）定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2x⊙1，那么函数y=f（x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5.00分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+1211．（5.00分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，﹣3]C．（﹣4，﹣3]D．[﹣3，+∞）12．（5.00分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2=18 B．（x+1）2+y2=9 C．（x+1）2+y2=18 D．x2+（y+1）2=9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）已知集合A={x|ax+1=0}，B={﹣1，1}，若A∩B=A，则实数a的所有可能取值的集合为．14．（5.00分）log28+lg0.01+ln=．15．（5.00分）若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为．16．（5.00分）如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值为；②AB∥CE；③；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的命题序号为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R．（Ⅰ）若a=0，求A∪B；（Ⅱ）若（∁R A）∩B≠∅，求a的取值范围．18．（12.00分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C （4，3）．（Ⅰ）求AB边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（12.00分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．20．（12.00分）已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心C在直线x+3y﹣15=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）已知点M在线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．22．（12.00分）已知f（x）=log2（4x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设函数g（x）=log2（a•2x﹣a），其中a＞0，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．2016-2017学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B等于（）A．（0，2） B．（2，3） C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：C．2．（5.00分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣log2（3+1）=﹣log24=﹣2，故选：B．3．（5.00分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．4．（5.00分）函数，当x=3时，y＜0则该函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（1，+∞）【解答】解：函数，当x=3时，y＜0，当x=3时，2x2﹣3x+1=10，即log a10＜0，可得：0＜a＜1，令函数2x2﹣3x+1=u，（u＞0）则y=log a u是减函数，函数u=2x2﹣3x+1，开口向上，对称轴为x=，∵u＞0，即2x2﹣3x+1＞0，解得：x＞1或x＜．∴函数u在（1，+∞）单调递增，函数u在（﹣∞，）单调递减，根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为（1，+∞）．故选：D．5．（5.00分）设m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出四个命题①m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α⇒α∥β②m⊥α，n⊥α⇒m∥n③m∥α，m∥n⇒n∥α④α⊥β，m⊂α⇒m⊥β其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①根据面面平行的判定定理可知m，n必须是相交直线，∴①错误．②根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，m⊥α，n⊥α⇒m∥n正确．③若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，∴③错误．④根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β不一定成立．∴④错误．故选：B．6．（5.00分）拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5•{m}+1）（元）决定，其中m＞0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元【解答】解：由{m}是大于或等于m的最小整数可得{5.5}=6．所以f（5.5）=1.06×（0.50×{5.5}+1）=1.06×4=4.24．故选：C．7．（5.00分）函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）【解答】解：函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，∴函数y=f（x+2）在（﹣2，0）上是增函数；又函数y=f（x+2）为偶函数，∴函数y=f（x+2）在（0，2）上是减函数，即函数y=f（x）在（2，4）上为减函数；则函数y=f（x）的图象如图所示，由图知：f（2）＞f（）＞f（1）＞f（）成立．故选：D．8．（5.00分）定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2x⊙1，那么函数y=f（x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=∴f（x﹣1）=∴其图象为B故选：B．9．（5.00分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．10．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．11．（5.00分）已知函数，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，﹣3]C．（﹣4，﹣3]D．[﹣3，+∞）【解答】解：作出函数的图象，如下图：∵关于x的方程f（x）=k有三个不等的实根，∴函数的图象与直线y=k在三个不同的交点，结合图象，得：﹣4＜k≤﹣3．∴实数k的取值范围是（﹣4，﹣3]．故选：C．12．（5.00分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2=18 B．（x+1）2+y2=9 C．（x+1）2+y2=18 D．x2+（y+1）2=9【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，必有，解可得，圆心C到直线3x+4y﹣11=0的距离d==3又由直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，则其半径r2=32+32=18，故其标准方程为：x2+（y+1）2=18，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）已知集合A={x|ax+1=0}，B={﹣1，1}，若A∩B=A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．【解答】解：由于A∩B=A，∴A=∅或A={﹣1}，或{1}，∴a=0或a=1或a=﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}14．（5.00分）log28+lg0.01+ln=2．【解答】解：log28+lg0.01+ln=3﹣2+++1﹣2=2．故答案为：2．15．（5.00分）若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为1或﹣3．【解答】解：∵直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，解得a=1或a=﹣3．故答案为：1或﹣3．16．（5.00分）如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值为；②AB∥CE；③；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的命题序号为①④．【解答】解：∵正方形BCDE的边长为a，已知，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，∴=，AE=，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=，在①中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，∵AB=，BC=a，AC=，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，∴AB与DE所成角的正切值为，故①正确；在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线，故②错误；在③中，=，故③错误；在④中，∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC，又BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ADC，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R．（Ⅰ）若a=0，求A∪B；（Ⅱ）若（∁R A）∩B≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x2﹣2x=0}={0，2}，∴A∪B={x|﹣2＜x≤2}；（Ⅱ）由A={x|a﹣2＜x＜a+2}，得∁R A={x|x≤a﹣2或x≥a+2}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}={a，2}，若（∁R A）∩B=∅，则，解得0＜a＜4，∴使（∁R A）∩B≠∅的a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．18．（12.00分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C （4，3）．（Ⅰ）求AB边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（I）k AB==6，可得AB边上的高所在直线的斜率=﹣，可得AB边上的高所在直线方程为：y﹣3=﹣（x﹣4），化为：x+6y﹣22=0．（II）直线AB的方程为：y﹣5=6（x+1），化为：6x﹣y+11=0，点C到直线AB的距离d==．|AB|==．∴△ABC的面积S=|AB|•d=16．19．（12.00分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣B1CD的体积．【解答】（I）证明：设BC1与CB1的交点坐标为O，连结OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴O是BC1的中点，又D是AB的中点，∴OD∥AC1，又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（II）解：在Rt△ABC中，C到AB的距离h==，又平面ABC⊥平面ABB1A1，∴C到平面ABB1A1的距离为h=．∴V=S•h==16．20．（12.00分）已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心C在直线x+3y﹣15=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15=0的交点，∵AB的中点为（1，2），斜率为k==1，∴AB的垂直平分线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即y=﹣x+3，联立，解得，即圆心C（﹣3，6），∴半径r==2，所求圆C的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40；（Ⅱ）∵点P在圆C上，设P（﹣3+2cosθ，6+2sinθ），∵点A（﹣1，0）和B（3，4），∴AB==4，直线AB为：，即x﹣y+1=0．点P（﹣3+2cosθ，6+2sinθ）到直线x﹣y+1=0的距离：d==，∴当=时，d max=4，∴△PAB的面积的最大值：S===16+．21．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）已知点M在线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，∵AQ∥BC，∴==∵PN∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，∴，综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．22．（12.00分）已知f（x）=log2（4x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设函数g（x）=log2（a•2x﹣a），其中a＞0，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=log2（4x+1）+kx是偶函数，则f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x），则对任意的x∈R，都有：log2（4﹣x+1）﹣kx=log2（4x+1）+kx，据此可得：k=﹣1．（2）令t=2x，则，原问题等价于关于t的方程：（*）在区间上存在唯一的实数解，分类讨论如下：①当a=1时，解得：，不合题意；②当0＜a＜1时，令，其图象的对称轴，函数h（t）在区间（0，+∞）上单调递减，而h（0）=﹣1，故方程（*）在上无解．③当a＞1时，令，其图象的对称轴，此时只需，即，此式恒成立，则此时实数a的取值范围是a＞1．综上可得，实数a的取值范围是{a|a＞1}．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。