微观组织数值模拟——相场法与元胞自动机
球墨铸铁件微观组织的数值模拟
球墨铸铁件微观组织的数值模拟球墨铸铁件微观组织的数值模拟1. 球墨铸铁件的微观组织球墨铸铁是一种具有很高强度和韧性的铸铁品种，其微观组织主要由铸铁基体和球墨石组成。
铸铁基体是由铁素体和珠光体相组成的，而球墨石则是以球状或球状状分布在铸铁基体中的石墨颗粒。
2. 数值模拟在球墨铸铁件微观组织研究中的应用数值模拟技术在球墨铸铁件微观组织研究中具有非常重要的意义。
通过数值模拟，可以模拟出球墨铸铁件在不同工艺条件下的凝固过程，从而预测出微观组织的形貌和分布。
这对于优化球墨铸铁件的工艺参数和改善材料性能具有重要的指导意义。
3. 数值模拟方法在球墨铸铁件微观组织的数值模拟中，常用的方法包括有限元方法和细胞自动机方法。
有限元方法主要是通过对凝固过程的数学建模和数值求解，来预测出球墨铸铁件的凝固过程和微观组织形貌。
而细胞自动机方法则是通过构建一个由细胞组成的模拟区域，并在每个细胞中模拟凝固过程，从而得到微观组织的形貌和分布。
4. 数值模拟研究的现状和挑战目前，国内外对球墨铸铁件微观组织的数值模拟研究已经取得了一些重要的进展，但仍然存在着一些挑战。
球墨铸铁件的凝固过程是一个非常复杂的多物理场耦合过程，因此模拟模型的建立和求解非常困难。
球墨铸铁件的微观组织受到多种因素的影响，包括工艺参数、合金成分、凝固条件等，因此需要进行大量的试验验证，来验证数值模拟的准确性。
5. 我的观点和理解在我看来，球墨铸铁件微观组织的数值模拟是一项非常有挑战性和前景广阔的研究课题。
通过数值模拟，我们可以深入理解球墨铸铁件的凝固过程和微观组织形貌，为优化工艺参数和改善材料性能提供重要的理论依据。
我也认为在未来的研究中，需要加强对球墨铸铁件凝固过程的深入理解，提高数值模拟模型的准确性和可靠性。
总结和展望通过对球墨铸铁件微观组织的数值模拟研究，可以为优化球墨铸铁件的工艺参数和改善材料性能提供重要的理论指导。
目前，国内外已经取得了一些重要的进展，但仍然存在着一些挑战和困难。
Al_Si合金凝固组织的数值模拟(微观组织模拟paper)
摘 要凝固组织对铸件的性能有重要影响，对凝固组织的控制研究，过去一般采用物理实验的方法，浪费了大量的人力和物力，实验周期长，使得该方法在实际应用中的范围受到了一定限制。
随着金属凝固理论的日益完善以及计算机技术在材料科学、冶金学上应用的迅猛发展，使得计算机技术对凝固组织进行准确的模拟成为可能。
本文建立了有限元（Finite Element）和元胞自动机法（Cellular Automaton）相结合的宏微观耦合的CA-FE模型，采用有限元法（FE）计算宏观温度场，元胞自动机法（CA）计算微观凝固组织形成，与宏观传热进行耦合。
在微观计算中，形核计算采用了基于高斯分布的连续形核模型，生长计算采用了扩展的KGT模型，使其适用范围由二元合金扩展至多元合金。
应用CA-FE模型模拟了Al-Si合金的三维凝固组织，并进行了热态验证实验，应用修正的数学模型模拟并分析了原始成分、形核参数、浇注条件和铸模对凝固组织的影响。
研究结果表明：（1）模拟结果能够较为准确地反映出等轴晶和柱状晶的分布位置、比例和大小，并能较好描述凝固过程中晶粒生长情况，说明CA-FE模型是模拟凝固组织的有效模型；（2）降低原始成分Si含量以及提高过冷度是有利于柱状晶的发展，而增大形核密度是有利于等轴晶的发展，且能细化晶粒；（3）提高浇注温度，凝固组织中柱状晶增多，且晶粒明显变得粗大，而铸模外界冷却强度对铸件凝固组织的影响不大；（4）增大铸模厚度和使用冷却能力强的铸模都将使凝固组织中柱状晶比例增大，当使用冷却能力差的硅砂模时，凝固组织没有柱状晶而全为等轴晶。
关键词：有限元；元胞自动机法；数值模拟；凝固组织；等轴晶；柱状晶AbstractSolidification structure has an important influence on the performance of casting. In the past, the method of physical experiment was applied to the research of controling the solidification structure generally, however, a great deal of time and efforts should be put while using this method. so it is limited in the practical application. With the improvement of metal solidification theory and the rapid development of computer technology used in materials science and metallurgy, it has become possible to simulate the solidification structure accurately with computer technology.The CA-FE model was built through coupling the finite element and cellular automaton method. The finite element method was used to calculate macro temperature, and the cellular automaton method was used to simulate solidification microstructure with coupling the macro temperature calculation. In microstructure simulation, the nucleation adopts the continuous nucleation model based on Gaussian distribution, and the growth adopt the extended KGT model which fit complex alloy expanded from binary alloy. The three-dimensional solidification structures of Al-Si alloy was simulated by CA-FE model with hot verification test. In addition, the effects of primitive composition, nucleation parameters, casting conditions and the mold on solidification structures were analysised.The results show as follows:(1) The simulated results can accurately reflect the distribution, proportion, size of equiaxed grain and columnar grain，and can describe the grain growth well in the solidification process, so the CA-FE model is a effective model to simulate the solidification structure.(2) Reducing primitive composition of Si element and increasing undercooling are conducive to the development of columnar grains, but increasing nucleation density is conducive to the development of equiaxed grains, and can fine grains.(3) Raising the casting temperature, the proportion of columnar grain will increase, and the grains become coarse obviously，but the effect of the cooling intensity outside the mold on solidification structure is slight.(4) Enlarging the thickness of the mold or using the mold with strong cooling capacity, the proportion of columnar grain will increase. While using the Silica Sand mold with weak cooling capacity, the solidification structure were composed with all equiaxed grains and without columnar grain.Key words：finite element; cellular automaton; numerical simulation; solidification structure;equiaxed grain; columnar grain目 录第一章文献综述 (1)1.1 引言 (1)1.2 凝固组织的形成与控制 (2)1.2.1 铸件的凝固组织 (2)1.2.2 凝固组织的形成及影响因素 (3)1.2.3 凝固组织对铸件性能的影响 (4)1.2.4 凝固组织的控制 (5)1.3 凝固组织模拟的研究方法 (7)1.3.1 确定性方法(Deterministic Method) (7)1.3.2 随机性（概率）方法( Stochastic Method) (8)1.3.3 相场法(Phase field Method) (10)1.3.4 三种方法的对比 (11)1.4 凝固组织数值模拟的国内外研究进展 (12)1.4.1 国外研究 (12)1.4.2 国内研究 (15)1.4.3 存在问题及今后发展趋势 (16)1.5 本文所研究的主要工作 (17)第二章铸件凝固过程宏微观耦合模型 (19)2.1 宏观温度场计算模型 (19)2.1.1 热传递的基本方式 (19)2.1.2 热传导微分方程 (20)2.1.3 瞬态温度场的有限元解法 (21)2.2 微观动力学模型 (23)2.2.1 形核模型 (23)2.2.2 枝晶尖端动力学模型 (26)2.3 耦合计算模型 (29)2.3.1 耦合计算流程 (29)2.3.2 凝固潜热处理 (31)2.3.3 固相分数的确定 (32)2.4 本章小结 (33)第三章数学模型的计算与验证 (34)3.1 实验 (34)3.1.1 实验材料 (34)3.1.2 实验设备 (34)3.1.3 实验步骤 (35)3.1.4 实验结果 (35)3.2 数值模拟过程 (35)3.2.1 网格划分 (35)3.2.2 热物性参数 (35)3.2.3 初始条件 (36)3.2.4 边界条件 (37)3.2.5 生长系数 (37)3.2.6 形核参数 (38)3.3 模拟结果及分析 (38)3.3.1 模拟结果 (38)3.3.2 柱状晶生长 (40)3.3.3 中心等轴晶生长 (42)3.4 本章小结 (43)第四章 AL-SI合金凝固组织的数值模拟与分析 (44)4.1 原始成分对凝固组织的影响 (44)4.2 形核参数对凝固组织的影响 (45)4.2.1 过冷度对凝固组织的影响 (45)4.2.2 形核密度对凝固组织的影响 (46)4.3 浇注条件对凝固组织的影响 (47)4.3.1 浇注温度对凝固组织的影响 (47)4.3.2 外界冷却强度对凝固组织的影响 (49)4.4 铸模对凝固组织的影响 (50)4.4.1 铸模厚度对凝固组织的影响 (50)4.4.2 铸模材料对凝固组织的影响 (52)4.5 本章小结 (53)第五章：结论 (54)参考文献 (55)致谢 (58)附录：发表的论文 (59)第一章文献综述1.1 引言众所周知，决定铸件产品机械性能的最本质因素是铸件内部晶粒在宏观上的几何形态，即铸件的凝固组织结构，包括晶粒的形貌、大小、取向和分布等情况。
相场法数值 模拟
四、相场方程 (phase-field equations)
Ginzburg-Landau 方程 f 0 k (r , t ) F Lk k k Lk t k (r , t ) k
Cahn-Hilliard 方程
2、凝固-单相场变量
ϵ 2 * 2 F f 0 ( xB , , T ) (xB ) ( ) dr V 2 2
等温凝固，假设摩尔体积不变，即组成梯度项不考虑 ϵ则=0
均质自由能密度
f 0 ( xB , , T * ) f p ( xB , , T * ) g ( )
图1（a）性能不连续
（b）性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
相场量(phase-fields)
两相
多相
p相，相应的变量 k 在系统中任一点 r
1表示在固相中 0表示在液相中 0 1在固液界面
k 1
p
k
1，k 0, k
三、热力学势函数 (thermodynamic energy functional)
经典热力学
F ( xB ,k ) f 0 ( xB ,k ) 1 xB (r , t ) M M xB (r , t ) Vm t xB (r , t ) xB
元胞自动机
除了格子气元胞自动机在流体力学上的成功应用。元胞自动机还应用于磁场、电场等场的模拟，以及热扩散、 热传导和机械波的模拟。另外。元胞自动机还用来模拟雪花等枝晶的形成。
元胞自动机可用来通过模拟原子、分子等各种微观粒子在化学反应中的相互作用，而研究化学反应的过程。 例如李才伟 (1997）应用元胞自动机模型成功模拟了由耗散结构创始人I·Prgogine所领导的Brussel学派提出 的自催化模型---Brusselator模型，又称为三分子模型。Y·BarYam等人利用元胞自动机模型构造了高分子的聚 合过程模拟模型，在环境科学上，有人应用元胞自动机来模拟海上石油泄露后的油污扩散、工厂周围废水、废气 的扩散等过程的模拟。
元胞自动机
格动力学模型
01 基本介绍
03 具体解释 05 应用
目录
02 通俗解释 04 分别描述
元胞自动机(cellular automata，CA)是一种时间、空间、状态都离散，空间相互作用和时间因果关系为局 部的格动力学模型，具有模拟复杂系统时空演化过程的能力。
基本介绍
不同于一般的动力学模型，元胞自动机不是由严格定义的物理方程或函数确定，而是用一系列模型构造的规 则构成。凡是满足这些规则的模型都可以算作是元胞自动机模型。因此，元胞自动机是一类模型的总称，或者说 是一个方法框架。其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态，且其状态改变的规则在时间 和空间上都是局部的。
元胞自动机用于兔子-草，鲨鱼-小鱼等生态动态变化过程的模拟，展示出令人满意的动态效果；元胞自动机 还成功地应用于蚂蚁、大雁、鱼类洄游等动物的群体行为的模拟；另外，基于元胞自动机模型的生物群落的扩散 模拟也是当前的一个应用热点。在信息学中。元胞自动机用于研究信息的保存、传递、扩散的过程。另外。 Deutsch(1972）、Sternberg(1980）和Rosenfeld(1979）等人还将二维元胞自动机应用到图像处理和模式识别 中 (WoIfram.S.，1983）。
CAFF法形核参数对Mg-Y-Zn-Mn-Ca合金凝固组织的影响
CAFF法形核参数对Mg-Y-Zn-Mn-Ca合金凝固组织的影响马晓龙;潘龙伟;宗喜梅;牛晓峰;张金山【摘要】应用CAFE法与实验相结合的方法,对Mg-Y-Zn-Mn-Ca合金凝固组织进行了模拟研究,确定出了该合金凝固组织模拟的数学模型,同时研究了形核参数(?Tv,max、?Tv,σ、nv,max)对合金凝固组织的影响.结果表明,?Tv,max越大,nv,max越小,晶粒生长越粗大,?Tv,σ主要控制晶粒的大小区域,随着其增大,大晶粒区域增加.当形核参数分别为?Tv,max=10 K、?Tv,σ=1 K、nv,max=2×1013m-3时,模拟得到的凝固组织几乎全部为细小的等轴晶,晶粒平均尺寸为约32.25μm,实验中得到的晶粒平均尺寸约为29.76μm.计算得到的凝固组织与实验结果基本吻合.%Effect of nucleation parameters(?Tv,max、?Tv.σ、nv,max) on solidification structure of Mg-Y-Zn-Mn-Ca alloy was investigated based on CAFE method combined with experiment , and determined the mathematical model of solidification microstructure simulation . It was shown that with the?Tv,max increasing andnv,max decreasing , the grain would be large .The?Tv.σ mainly controled the rigion of grain size . The bigger the value of?Tv.σ ,the more large grain region . The simulation showed that almost all solidification structure of the sample was equiaxed grains when the nucleation parameters was?Tv,max=10K,nv,max=2×1013m-3,?Tv.σ=1 K ,and the average grain diameter was32.25 μm . The average grain diameter of laboratory sample was 29.76 μm . The solidification structure by calculation was the same as that of the experiment results.【期刊名称】《中国铸造装备与技术》【年(卷),期】2017(000)004【总页数】4页(P24-27)【关键词】CAFE法;形核参数;Mg-Y-Zn-Mn-Ca合金;凝固组织【作者】马晓龙;潘龙伟;宗喜梅;牛晓峰;张金山【作者单位】太原理工大学,山西太原 030024;太原理工大学,山西太原 030024;太原理工大学,山西太原 030024;太原理工大学,山西太原 030024;太原理工大学,山西太原 030024【正文语种】中文【中图分类】TG146.22凝固过程中形成的组织特性对后续加工和最终材料的性能有很大的影响，因此对金属凝固组织的研究，成为了各国学者感兴趣的热门领域之一[1-3]。
基于CA方法的铝合金铸件微观组织的数值模拟
ＳＨＩ －ｅ ｇ ， ｎ －ａ ’Ｌ ｏ ｇ ｌ ’Ｌ ｉ ｈ ｎ ’Ｗ Ｕ Ｑｉ－ ａ ｇ ， ｆ ｎ ’ＸＵ Ｑｉｇ ｙ ｎ ， Ｉ Ｙｕ Ｚｈ ｎ －ｉ ， Ｉ Ｂａ－ ｅ ｇ ， ｎ Ｕ ｃ ｎＦ ｎ
Ｗ Ｕ Ｗ ｅ． ｉｎ ＹＡＮＧ ｎ ． ｉ ａ ｇ． ｑ Ｈｏ ｇ ｗｅｉ
（ ａ ）
（） ｂ
１浇注系统 ．
２ 冒１ ３ 铸件本体 ． ： ． ３
４ 砂芯 ．
图 １ 铸件铸造 工艺 、测温点和取样点位置示 意图
Ｆｇ １Ｓｈ ｍａｉｆ ｕｅｏ ｔｅｐｏ ｅｓ （） ｈｒ ｃｕ ｌ ｄｍｅａｌｇａ ｈｃｌａ ｌ ｌｃｔ ｎ （） ｉ． ｃｅ ｔ ｇｒ ｆｈ ｒｃｓ ａ ，ｔｅｍｏ ｏｐｅ ｎ ｔｌ ｒｐ ｉａｓｍｐｅ ｏａｉ ｃ ｉ ａ ｏ ｏ ｂ
关 键 词 ：铸 造铝硅合 金 ；微观组 织 ；形核 ；数值模拟 中图分 类号 ：Ｔ ． ．９ 文 献标 识码 ：Ａ Ｇ１３１ ３ １ ２ 文章 编号 ：１０— ９７ （０ １～ ２９０ ０ １４７ ２ １） ２ １０— ５ １
Ｍｉｒ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ Ｓｉ ｌｔ ｎ ｏ ｕ ｎ ｍ ｌｙＣａ ｔ ｇ Ｂ ｓ ｄ ｏ ｃ ｏ ｔｕ ｔ ｒ ｍｕａ ｉ ｆ ｏ ＡＩ ｍｉｕ Ａｌ ｓｉ ａ ｅ ｎ ｏ ｎ
表 １ 试 验 采 用 的铝 合 金 的 主 要 成分
Ｔ ｂｅ１ ａｏ ｏ ｏ ｅ ｔ ｆ ｈ ｘ ｅｉ ｎａ ａ ｌ ｊｒｃｍｐ ｎ ｎ ｅｅｐ ｒｍｅ ｔｌ Ｍ ｏｔ
ａｌ ｉ ｍ ｌｏ ｕｍ ｎｕ ａｌ ｙ
尺 度描述 等轴 晶 、柱状 晶生长 以及柱 状 晶． 轴 晶转变 等
（ ０ Ａ ０Ｚ ４ ） ２ ７ Ａ ４ １ １ ；国家科技重大专项 （０ ９ Ｘ ４ ０ —４ ． ） ０ ２ ０ Ｚ ０ ０ ６０ １ ４ 。 ０ 收稿 日期 ：２ １ － ８ ２ 收到初稿 ，２ １－ ０ １收到修订稿 。 ０１０—９ ０ １ １— ０ 作者 简介 ：石玉 峰 （９ ５ ） １ ８ 一 ，男 ，博士生 ，研究方向为铝合 金微 观组织数值模拟 。Ｅ ｍ ｉ ｈ ｙ ＠ｍ ｉ ｔｉ ｈ ａｅ ｕ＿ｎ － ａ ：ｓｉ ￣７ ａ ｓｓｎｇ ｕ ．ｄ ｃ ｌ ． ｌ
用相场方法模拟二维枝晶生长
东北大学硕士学位论文用相场方法模拟二维枝晶生长姓名：***申请学位级别：硕士专业：材料加工指导教师：***2000.1.1东北大学顶士论文摘要ｆ最近的十年中，铸件凝固过程的数值模拟取得了很大的进展，并逐步应用到实际生产中。
特别是近年来，微观组织的数值模拟也取得了成功。
一般来说，微观组织的数值模拟方法主要有三种：确定性方法，概率方法以及最新的相场方｝｝一直接微观组织模拟方法。
本文对这些方法进行了回顾。
确定性方法和概率方法二者都是用于模拟多个晶粒的生长过程，相场方法则是模拟一个枝晶的生长过程。
大多数情况下，金属材料的力学性能主要取决于凝固期间所形成的微观组织。
最近的研究发现，影响金属材料力学性能的决定因素不仅取决于晶粒的大小，更主要取决于晶粒内枝晶的细化程度、疏松、夹杂以及显微偏折的分布。
技晶是晶体生长的一种主要类型，通常发生在铸造和焊接过程中。
在工程材料中，枝晶的形貌决定材料的最终性能，如裂纹、抗腐蚀性、屈服强度及韧性。
所以，掌握和控制凝固过程的枝晶生长是获得理想产品的关键。
相场方法是模拟一个枝晶生长的新方法。
它是由引入的新变量一相场嘶，ｆ）而得其名，相场是一个序参量，表示系统在时间和空间的物理状态（固态和液态）。
相场理论以Ｇｉｎｚｂｕｒｇ－－Ｌａｎｄａｕ相变理论为基础，通过微分方程反应扩散、有序化势及热力学驱动力的综合作用。
相场方程的解可咀描述金属系统中固液界面的状态、曲率以及界面的移动。
把相场方程与外场（温度场、溶质场、速度场）耦合，则可以对金属液的凝固过程进行真实的模拟斗一ｃ一．本交根据相场理论建立了纯物质过冷溶液中枝晶生长的相场模型。
该模型以熵泛函为基础，通过熵泛函推导出热力学一致性的相场控制方程，并考虑了晶体的各向异性、随机扰动的影响。
同时构造了合理可行的相场和温度场的数值计算方法。
利用上述模型和方法在微机上编制二维凝固模拟程序，并针对各向异性模数为４的纯物质镍（Ｎｉ）进行了数值计算。
成功地模拟了等轴枝晶生长过程的组织演化，并研究了各向异性强度对等轴枝晶形貌的影响。
0334基本方法-相场-元胞
GULP
Thermo-calc 软件
1、热力学——相图、热力学性能、凝固模 拟、液相面、热液作用、变质、 岩石形成 、沉淀、风化过程的演变、腐蚀、循环、 重熔、烧结、煅烧、燃烧中的物质形成 、 CVD 图、薄膜的形成、CVM 计算，化学 有序 - 无序等等。 2、动力学（DICTRA）——扩散模拟，如 合金均匀化、渗碳、脱碳、渗氮、奥氏体/ 铁素体相变、珠光体长大、微观偏析、硬 质合金的烧结等等。
二、量子化学计算方法
1. 从头算起方法
简单化近似的三个假设： • 非相对论近似：求解非相对论性的薛定谔方程，而不是求 解相对论性的狄拉克方程 • 波恩－奥本海默近似：假定电子和核的运动是相对独立的
• 单电子近似或轨道近似：将体系中电子的运动假设在其余 电子的平均势场作用下的运动，从而将多电子薛定谔方程 简化为形式上的单电子方程，单电子方程的解即为单电子 状态波函数，通常称为分子轨道
求解方法：
• 基于上述三个假设的求解单电子薛定谔方程的方法称为 Hartree-Fock方法，该方法仍然偏复杂
• 将单电子波函数用基函数展开可以将Hartree-Fock方法转变 为一组代数本征方程，称为Hartree-Fock-Roothaan方程
精度及校正：
上述计算结构精度不高，需要时可进行校正： • 相对论效应校正：考虑运动速度引起的质量变化和自旋轨道 耦合作用 • 核及电子运动校正：考虑电子－振动相互作用 • 电子运动相关作用校正
最为通用的方法有Cahn-Hiliard和AllenCahn相场动力学模型
• Cahn-Hiliard 模型：采用保守场变量（化学浓度等） • Allen-Cahn 模型：采用非保守场变量（晶体取向、
长程有序等） • 是 Onsager和Ginzburg-Landau冶金学理论的派生方 法 • 是一类具有广泛适用性的唯象连续体相场方法 • 可以用于描述相干和非相干系统中连续或准不连续相 分离现象
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微观组织的数值模拟
——相场法与元胞自动机法相场法和元胞自动机法是材料科学与工程研究中常用的两种数值模拟方法。
相场模型是一种建立在热力学基础上，考虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来建立相场方程描述系统演化动力学的模型。
其核心思想是引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面。
相场法的不足是计算量巨大，可模拟的尺度较小（最大可达几十个微米）。
元胞自动机法是一种用来描述复杂系统在离散空间-时间上演化规律的数学算法。
元胞在某一时间步的状态转变由一定的演化规则来决定，并且这种转变是随时间推移对体系各元胞同步进行的。
元胞的状态受其相邻元胞状态的影响，同时也影响着相邻元胞的状态。
局部之间相互作用，相互影响，通过一定的规则变化而整合成一总体行为。
相场法
相场法的起源与发展
相场法PFM(Phase Field Method)的提出是针对具有十分复杂的界面结构的
问题时，用经典尖锐界面模型去跟踪界面演化，会遭遇到严重的数值困难。
并且真实材料中的相界或晶界实际上并不是严格的零厚度界面，而是具有一定厚度（纳米尺度）的边界层，这层厚度控制材料相变动力学，由此引入一个序参量场Φ来区分两相（如固相和液相），通常称之为相场。
在相场中，Φ在固/液界面的一侧从一个常值逐渐过渡至界面另一侧的某一常值，将这个扩散界面层定义为界面，因此，在相场法中的固/液界面为弥散型界面。
Φ的主要目的是跟踪两相不同的热力学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。
相场模型的想法最初由Langer(1978, 1986)提出的，Collin和Levine (1985)
也引入了类似的相场模型(Phase field model)。
Caginalp(1985-1991)分析了这些相场模型，证明它们在界面层厚度趋于零时可以还原为尖锐界面的自由边界模型，这就从数学上证明了Langer 等人相场模型的有效性。
Fix(1983),Kobayashi(1991)等采用相场模型对具体凝固过程进行数值模拟。
1992年，Wheeler，Boettinger
和McFadden建立了WBM相场模型，1995年Warren等首次对Ni-Cu合金凝固过程组织演化进行了模拟。
1993年Chen，Wang及Khachaturyan等将弥散界面概念用于固态相变模拟，建立了可考虑弹性场作用的相场模型(continuum field model)。
1998年Kim等基于界面局部平衡建立了KKS相场模型。
1998年及2001年Karma建立了纯物质凝固及合金凝固的定量相场模型。
2002年Elder等建立了晶体相场模型（phase field crystal model)。
相场法的原理及过程
相场法的关键是引入一个序参量场Φ来区分两相，通常称之为相场。
在相场中，Φ在界面的一侧从一个常值逐渐过渡至界面另一侧的某一常值，将这个扩散界面层定义为界面，因此，在相场法中的界面为弥散型界面。
Φ的主要目的是跟踪两相不同的热力学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。
通过上述处理，从而使界面位置随空间和时间的变化隐含在相场变量随时间和空间的演化之中。
相场模型的基础是Landau相变理论。
Landau相变理论强调了对称的重要性，对称性的破坏对应着相变的发生。
在Landau相变理论中，对称性由序参量所描述。
对称破缺意味着序参量不为零的有序相出现。
序参量是某个物理量的平均值，描述偏离对称的性质和程度，可以是标量、矢量、复数或更复杂的量。
如果使序参量在空间上是不均匀和连续的，则可以将Landau理论用于描述微观组织的演化。
通过序参量在空间上的依赖关系，可以确定非均匀组分和结构，并可通过序参量的空间分布对结构形态进行模拟。
对于非均匀的连续体系，需要采取弥散界面进行描述，即利用各种守恒和非守恒场变量（如：浓度、结构、取向、长程有序等）的空间梯度描述各相之间的弥散界面。
相变热力学和伴生的结构演化是通过选构一个依赖于保守和非保守参量的自由能密度泛函而实现的。
相变的本质由一组连续的序参量场所描述。
微观组织演化则通过求解控制空间上不均匀的序参量场的时间关联的相场动力学方程而获得。
相场法对相变过程中可能出现的瞬时形貌和微观组织不做任何事先的假设。
相场法的特点及应用
相场法的优点主要有无需跟踪界面、易于处理复杂的生长行为（如各向异性等）、与热力学直接相关，可耦合真实热力学、动力学数据库、易于与一些物理机制关联（如外场）。
缺点主要在于计算量巨大、需构造自由能函数（有时很复杂）、界面不真实、、一些物理参数获取较困难、数学处理复杂。
目前，在材料科学中，相场法被广泛应用于模拟液/固相变（枝晶生长、多元多相凝固、多晶凝固等）、固态相变（沉淀相析出、马氏体相变、铁电相变等）、应力相变（薄膜生长，定向粗化）、结构缺陷相变（裂纹扩展、位错动力学）等。
图1,2,3分别展示了相场法在枝晶生长，沉淀相析出以及微裂纹扩展等方面具体的应用。
图1 Al-4.5wt%Cu 合金枝晶生长演变过程相场法模拟结果[1]
图2 Ni4Ti3沉淀相的二维形貌随时间的演化过程[2]
图3 韧性材料的微裂纹扩展和连通的晶体相场模拟[3]
元胞自动机法
元胞自动机法的提出与发展
元胞自动机法是描述复杂系统在离散的时间和空间上演化规律的一种算法。
元胞自动机法最早由V on Neumann和Stanislaw Ulam提出来。
1970 年，剑桥大学的J. H. Conway利用元胞自动机法编制了一个名为“生命”的游戏程序，并由M. Gardner 通过《科学美国人》介绍到全世界。
该游戏通过几条简单“生死”规则的组合，细胞在网格中就可以出现无法预测的延伸、变形、停止和周期性变化的复杂模式。
这种意想不到的结果吸引了大批计算机科学家研究“生命”程序的特点，最终证明这个程序与Turing 机等价，也就是说给定适当的初始条件，“生命”模
型可以模拟任何一种计算机。
20 世纪80 年代，物理学家、计算机科学家对元
胞自动机模型的兴趣大增。
S. Wolfram对CA 的贡献很大，他引入动力系统的思想理论和研究方法，对元胞自动机进行了系统的研究，用熵来描述其演化行为，并将元胞自动机按动力学行为分为平稳型、周期型、混沌型和复杂型，分别对应
于人们已经熟悉的不动点、周期行为、混沌状态和自组织现象。
1986 年，U. Frish 等人发表了《代替Navier-Stocks 方程的格子气自动机》，这种计算机比常见的Navier-Stocks (N-S)方程数值法快得多，开辟了流体力学的一个全新领域。
随后L. O. Chuan将CA 引入神经网络，建立细胞神经网络模型。
另外，由于元胞自
动机的运算每次不涉及全局的状态，专家们正在考虑按照这种思想设计新一代的计算机，采用大规模并行结构, 最终目的是以较小的代价达到超级计算机的能力。
元胞自动机法的原理及过程
在一个元胞自动机模型中,体系被分解成有限个胞,同时把时间离散化为一定间隔的步,每个胞的所有可能状态也划分为有限个分立的状态。
每个胞在前后时间步的状态转变按一定的演变规则来决定,这种转变是随时间不断地对体系各胞同步进行。
因此一个胞的状态受其邻居胞的状态的影响,同时也影响着邻居胞的状态,局部之间互相作用,相互影响。
通过这一定的规则变化而整合成一总体行为。
如此，利用大量的简单的元件，通过简单的连接和简单的运算规则，在时空中并行地持续运行，以模拟出复杂而丰富的现象。
以晶粒生长为例，元胞自动机的模拟过程主要有确定形核、选择时间步长、计算温度场、计算溶质场、计算界面元胞的生长动力学、确定胞状态、捕捉邻胞、计算曲率等过程组成。
元胞自动机法的特点及运用
元胞自动机法的特点主要是空间是离散的、时间是离散的、状态取值是离散的、演化的运算规则是局域的(一般情形）。
目前，元胞自动机法广泛应用于凝固与结晶、晶粒长大与再结晶、相沉淀与相分解、位错花样的形成等过程。
图4
展现了元胞自动机法在晶粒生长演化过程中的运用。
图4 晶粒生长演化过程[4]
相场法(PFM)与元胞自动机法(CA)的比较
相场法与元胞自动机法的异同点比较如表1所示：
表1 相场法与元胞自动机法的异同点
参考文献
[1]龙文元. 铝合金凝固过程枝晶生长的相场法数值模拟[D]. 华中科技大学,
2004.
[2]柯常波, 马骁, 张新平. NiTi形状记忆合金中共格Ni4Ti3沉淀相生长动力学行
为的相场法模拟[J]. 金属学报, 2010, 46(1):84-90.
[3]高英俊, 罗志荣, 黄礼琳,等. 韧性材料的微裂纹扩展和连通的晶体相场模拟
[J]. 中国有色金属学报, 2013, (7):1892-1899.
[4]何东. 晶粒组织演化的元胞自动机模拟[D]. 哈尔滨工业大学, 2007.。