2019-2020学年上海初三数学竞赛 几何变换(含答案)

2019-2020上海初三数学竞赛 几何变换（含答案）

1. 如图所示，2AA BB CC '''===且共点于O ，60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=︒，

求证：AOB BOC COA S S S '''++<△△△

Q

解析 将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离，得AQR △，将BOC '△沿BB '方向平移BB '长的距离，得B PR ''△．由于 2OP OQ ==，60POQ ∠=︒， 所以2PQ =．

又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==，

故R 与R '重合，且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中， AOB BOC COA S S S '''++△△△ AOB B PR AQR S S S ''=++△△△

2

2OPQ S <△ 2. 如图，由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ，已知KH a =，BD b =，求点B 到

BKH △的垂心的距离． B P

C

H

D K

A

a

H 1

解析 令1H 表示BKH △的垂心．

考虑到1KH BH ⊥，DH BH ⊥，有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥，因而四边形1KDHH ，为平行四边形，平移1BKH △到PDH △位置，显然P 为BC 上一点，所求线段1BH 即PH ，已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形，有PK BD =，于是

1BH PH ===

3. 已知ABC △的面积为S ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点，且

1

BD CE AF DC EA FB n

===，试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． G

C

E

D

B

F A

解析 如图，过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ，则四边形AFCG 为平行四边形，GCA CAB ∠=∠．

又

1

1

CG AF AE AE AB AB AB CA n ====

+， 所以CGE △≌ABC △，CEG ACB ∠=∠，因此GE CB ∥.

又因1=1GE BD BC n BC =

+， 所以GE BD =．

于是四边形GEBD 也为平行四边形，从而GD BE =，即ADG △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形，它的面积为S '． 在梯形GABC 中， 1

111

GABC S GC AB GC S AB AB n +==+=+

+梯形， 所以111GABC S S n ⎛

⎫=+ ⎪+⎝⎭

梯形，

而11ABD S BD S BC n ==

+△， 所以111

ABC CG CD n

S BA BC n n ⋅=

=⋅

⋅++△， 因此()2

111111n S S n n n ⎡⎤

⎛⎫'=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦ ()

22

1

1n n S n ++=

+．

4. 对于边长为1的正ABC △内任一点P

PA PB PC ++．

A

C

B

P

C'

P'

解析 把ABC △绕点B 旋转60︒到CBC '△．则PBP '△为正三角形，且 PC P C ''=，PB PP '=，

因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++≥．

5. 设P 是等边三角形ABC 内一点，3PC =，4PA =，5PB =．试求此等边三角形的边长．

B

A

C

P'P 54

3

解析 如图，把CBP △绕点C 逆时针旋转60︒，到达CAP '△的位置，显然， 60PCP '∠=︒，3P C PP ''==，5AP '=．

在APP '△中，222222345AP P P AP ''+=+==，所以90APP '∠=︒．故 9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=︒+︒=︒. 在APC △中，由余弦定理，得 2222cos150AC AP PC AP PC =+-⋅⋅︒

2234243=+⨯⨯+

25=+

所以，等边三角形ABC

6. 设O 是正三角形ABC 内一点，已知115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，求以线段OA 、OB 、

OC 为边构成的三角形的各角．

解析 以B 为旋转中心，将AOB △按逆时针方向旋转60︒，旋转至CDB △，如图所示． 连结OD ．由于OB OD =，60OBD ∠=︒，所以OBD △是正三角形，故OD OB =． 又CD OA =，故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形． 因此COD BOC BOD ∠=∠-∠ 1256065=︒-︒=︒，

ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠

1156055=︒-︒=︒，

从而180655560OCD ∠=︒-︒-︒=︒．

所以，以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65︒、55︒和60︒． 7. 如图，两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的

中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．

C

D

Q K L

R

M S

A

P

B

解析 设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心，Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点，先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．

连结BK 、DM ，将ADM △绕A 逆时针旋转90︒，则D 、M 分别到B 、K 位置，所以BK DM =，BK DM ⊥．

因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点，所以12PS DM ∥．同理1

2

SR BK ∥．所以PS SR ⊥，

且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．

同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．

8. 正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，3PB =

．PD =ABCD 的面积．