9第九章材料的亚稳态资料
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材料力学第9章-压杆稳定3第8章-能量法1
l
iz
1.3 7 m 55.2103 m
165
9.5 压杆的合理设计 由图9.11查得，Q235钢压杆相应的稳定因数为
＝0.262。
显然，前面假设的＝0.5这个值过大，需重新假设 值再来 试算；重新假设的 值大致上取以前面假设的＝0.5和所得 的＝0.262的平均值为基础稍偏于所得 的值。
重新假设＝0.35，于是有
例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。
设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：
y
y
a
x
l
2
l
2
解：
2 2
C
该挠曲线满足位移边界条件： A
y
y0 yl 0
则任一截面上的弯矩为：
x l
B Fx
M
x
Fcr
y
Fcr
a
x
l 2
2
l 2
2
M 2 EI dx
由：
Fcr
l
y '2 dx
1、分析法/解析法
平衡方程——静力平衡关系 几何方程——变形几何关系 物理方程——应力应变关系
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。
在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
被储存的能量即为应变能或变形能 U。
2l
代入上式有，
yq
x
x
M
第九章材料力学压杆稳定
映承载能力的强弱， Fcr越高，稳定性越好，承 载能力越强；
材料力学
中南大学土木建筑学院
14
（5）临界载荷Fcr与外部轴向压力的大小无关。
②弯曲挠曲线 w Asin kx Asin p x l
（1） wmax = A，数值不能确定，是由于采用了挠曲 线近似微分方程，若采用精确微分方程，可以 确定最大挠度值。
EIw″=－M
导出 欧拉公式
适用条件:材料服从胡克定律；小变形。
因此，应力超过材料的比例极限sp后，
欧拉公式不再成立。
欧拉公式的适用范围是 scr≤sp 。
s cr
p2 E
2
sp
p2 E
sp
p
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31
p
p2 E
sp
压杆 柔度
ml
i
p
大柔度杆细长杆
材料固有柔度值， 与实际压杆无关。
F= Fcr
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l
x
F
y
F
11
M =Fcrw
EIw〞=－M =－Fcrw
w Fcr w 0 记 k 2 Fcr; k2 w = 0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
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x
x
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39
二、稳定（折减）因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]
材料科学基础-材料的亚稳态
材料科学基础-材料的亚稳态(总分：180.00，做题时间：90分钟)一、论述题(总题数：18，分数：180.00)1.从内部微观结构角度简述纳米材料的特点。
（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(纳米材料是指在三维空间中至少有一维处于纳米尺度范围或由它们作为基本单元构成的性能有突变的材料。
按维数分，纳米材料的基本单元可分为3类：(1)零维，指在空间三维尺寸均处在纳米尺度，如纳米粉体材料；(2)一维，指在空间有二维处于纳米尺度，如纳米丝、纳米棒、纳米管等；(3)二维．指在三维空间中有一维处在纳米尺度，如超薄膜、多层膜、超晶格等。
由于纳米微粒的超细尺寸，它与光波波长、中子波长、平均自由程等为同一数量级，因此量子尺寸效应、小尺寸效应、表面效应、宏观量子隧穿效应，以及体积分数超过50%晶界结构的影响使纳米材料呈现出特殊的力学、物理和化学性能。
)解析：2.试分析的Ni3Al粒子尺寸对Ni-Al合金流变应力影响的作用机制。
（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(此例中的Ni3Al纳米颗粒是作为第二相分布于基体中的，故应以第二相微粒的弥散强化机制来分析之。
)解析：3.说明晶体结构为何不存在5次或高于6次的对称轴?（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(5次或高于6次对称轴不能满足阵点周围环境相同的条件，不具有平移对称性，不能实现有规则周期排列的晶体结构。
材料力学：第九章 压杆稳定问题
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
工程力学(材料力学部分第九章)
Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 ， 2， ；
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ；
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力， 所以，应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。
北京科技大学材料力学课件第九章教材
地面未夯实，局部杆受力大； 横杆之间的距离太大 2.2m>规定值1.7m; 与墙体连接点太少； 安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。
2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进 行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载 煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。
对于细长杆，临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复 杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常 用是直线公式：
cr＝a－b
其中， a 和 b 为与材料有关的常数，单位为MPa。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材 料)，故其临界应力即为材料的屈服应力
σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr－λ关系，可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限，得到
＝
P
π 2E
P
对于不同的材料，由于E、σ P 各 不相同， λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P，即可算得λP。
Pcr
Pcr
Pcl/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由，一端固定
♣ 一端铰支，一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大；
2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进 行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载 煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。
对于细长杆，临界应力公式
cr
π2E
2
对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复 杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常 用是直线公式：
cr＝a－b
其中， a 和 b 为与材料有关的常数，单位为MPa。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材 料)，故其临界应力即为材料的屈服应力
σp
cr
2E 2
粗短杆
中长杆
细长杆
O
λS
λp
λ
根据临界应力总图中所示之σcr－λ关系，可以确定区分 不同材料三类压杆的柔度极限值λs、 λP 。
令细长杆的临界应力 等于材料的比例极限，得到
＝
P
π 2E
P
对于不同的材料，由于E、σ P 各 不相同， λP 的数值亦不相同。一旦 给定E、 σ P，即可算得λP。
Pcr
Pcr
Pcl/4 l/2 l/4
l 2l l 0.7l
1.0 0.5
2.0
♣ 一端自由，一端固定
♣ 一端铰支，一端固定
P π2EI
cr (l)2
0.7
P π2EI cr (2l)2
P π2EI cr (0.7l)2
欧拉公式的一般形式
Pcr =
2EI (μl)2
1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大；
四个亚稳态的解析
：化学反应通常会在能量最低的状态下进行，但在某些情况下，反应产 物可能是亚稳态的。例如，某些反应可能受到动力学限制，导致产物处于亚稳态。这些亚稳 态产物可能比平衡态产物更不稳定，可能会发生进一步的转化或分解。
以上是四个常见的亚稳态及其解析。亚稳态的存在对于理解物质的性质和反应过程具有重 要意义，同时也为材料科学和化学领域的研究提供了新的挑战和机遇。
四个亚稳态的解析
亚稳态是指系统处于一个比其平衡态更低能量的状态，但由于存在能垒或其他限制，系统 无法直接转变到更稳定的状态。下面是四个常见的亚稳态及其解析：
1. 亚稳态晶体结构：晶体结构通常被认为是稳定的，但在某些情况下，晶体可以出现亚稳 态结构。例如，在快速冷却或高压下，晶体可能形成非平衡的结构。这些亚稳态结构可能具 有不同的晶格参数、晶胞形状或原子排列方式。通过实验和理论模拟，可以研究这些亚稳态 结构的性质和稳定性。
四个亚稳态的解析
2. 亚稳态化合物：化合物通常具有稳定的组成和结构，但在某些条件下，可以形成亚稳态 化合物。这些亚稳态化合物可能具有不同的比例、晶体结构或化学键。例如，某些金属合金 在快速冷却或特定温度下可以形成亚稳态相，具有不同的物理和化学性质。
3. 亚稳态液体：液体通常被认为是非常不稳定的，因为它们没有固定的结构。然而，在某 些情况下，液体可以形成亚稳态。例如，通过快速冷却或添加特定的添加剂，可以形成亚稳 态玻璃。亚稳态液体具有高密度和高粘度，具有独特的物理和化学性质。
以上是四个常见的亚稳态及其解析。亚稳态的存在对于理解物质的性质和反应过程具有重 要意义，同时也为材料科学和化学领域的研究提供了新的挑战和机遇。
四个亚稳态的解析
亚稳态是指系统处于一个比其平衡态更低能量的状态，但由于存在能垒或其他限制，系统 无法直接转变到更稳定的状态。下面是四个常见的亚稳态及其解析：
1. 亚稳态晶体结构：晶体结构通常被认为是稳定的，但在某些情况下，晶体可以出现亚稳 态结构。例如，在快速冷却或高压下，晶体可能形成非平衡的结构。这些亚稳态结构可能具 有不同的晶格参数、晶胞形状或原子排列方式。通过实验和理论模拟，可以研究这些亚稳态 结构的性质和稳定性。
四个亚稳态的解析
2. 亚稳态化合物：化合物通常具有稳定的组成和结构，但在某些条件下，可以形成亚稳态 化合物。这些亚稳态化合物可能具有不同的比例、晶体结构或化学键。例如，某些金属合金 在快速冷却或特定温度下可以形成亚稳态相，具有不同的物理和化学性质。
3. 亚稳态液体：液体通常被认为是非常不稳定的，因为它们没有固定的结构。然而，在某 些情况下，液体可以形成亚稳态。例如，通过快速冷却或添加特定的添加剂，可以形成亚稳 态玻璃。亚稳态液体具有高密度和高粘度，具有独特的物理和化学性质。
材料力学 第09章 压杆稳定
Fcr
A
二阶常系数线性微分方程的通解
w A sin kx B cos kx
w
式中A，B为积分常数，
Fcr
n
d
n w n
x
n
M(x)
由边界条件确定
l
l/2
x0 w0
B0
14/80
B
w
B
x
w
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
边界条件
x
xl w0
A sin kl 0
Fcr
A
A 不为 0 若A=0，表明杆为直线， 这与压杆处于微弯平衡状态不符。
柔度满足ls≤ l ＜lp 的压杆，称为中柔度杆或中长压杆。也就是 说，中长压杆不能用欧拉公式计算临界应力，但可以用直线公式计算。 对于脆性材料只需把以上各式中的ss改为sb， ls改为lb。
33/80
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
9.4.2 经验公式 2 抛物线公式
我国钢结构规范中采用如下抛物线经验公式
π 2 EI Fcr (0.5l ) 2 π 2 EI Fcr (0.7l )2
π 2 EI Fcr 2 l π2 EI Fcr (2l )2
20/80
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
π2 EI Fcr 2 ( ml )
上式即为欧拉公式的一般形式。
l
2l
π2 EI Fcr (2l )2
同样用比较变形的办法(与两端铰支细长压杆比较)，可求 出其他约束情况下压杆的临界力Fcr的欧拉公式。
26/80
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
材料力学第9章 压杆稳定(土木)
2.1922年冬天下大雪，美国华盛 . 年冬天下大雪， 年冬天下大雪 顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结 构中的一根压杆超载失稳，造成 构中的一根压杆超载失稳， 一根压杆超载失稳 剧院倒塌， 余人。 剧院倒塌，死98人，伤100余人。 人 余人
3.2000年10月25日 . 年 月 日 上午10时 分 上午 时30分，在南京 电视台演播中心演播厅 屋顶的浇筑混凝土施工 顶的浇筑混凝土施工 中，因脚手架失稳，造 脚手架失稳， 成演播厅屋顶模板倒塌， 成演播厅屋顶模板倒塌， 死5人，伤35人。 人 人
欧拉公式与精确解曲线 精确解曲线
F =1.152F 时，
cr
δ ≈ 0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
y
适用条件： 适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力与 理想压杆（轴线为直线， 理想压杆 轴线重合，材料均匀） 轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 线弹性， 线弹性 •两端为铰支座 两端为铰支座
hb3 Iz = = 32cm 4 12
µl
iz =
Iz 32 = = 1.155cm A 4× 6
x
h
µ z = 0.5,
0.5 × 2 λz = = = 86.6 −2 iz 1.155 ×10
A3钢的λs= 61.6， λs＜λ＜ λp，属于中 钢的 ， 长压杆稳定问题。 长压杆稳定问题。 由表9-2查得 由表 查得: 查得
挠曲线的近似微分方程 挠曲线的近似微分方程
d w M =− dx EI
2
2
d w Fw =− 2 dx EI
引入记号
2
F w′′ + w = 0 EI
F k = EI
2
w′′ + k w = 0
材料科学基础-材料的亚稳态(3)
材料的亚稳态（3）
马氏体转变
马氏体转变是一类无扩散型的固态相变，马氏体为亚稳相。 将钢加热至奥氏体后快速淬火，所形成的高硬度的针片状组织。
转变特点: (1)无扩散性 (2)切变共格与表面浮凸 (3)惯习面及位向关系 (4)转变是在一个温度范围内进行的 (5)转变不完全
马氏体转变
性能:高强度、高硬度 相变强化 固溶强化 细晶强化
钢的化学成分对马氏体点的影响 变温马氏体相变，与温度有关，瞬间（几分 之一秒内）剧烈地 形成大量马氏体，有的高达70%M。
高镍钢中马氏体等温转变曲线（Ni: 23wt％） 等温马氏体转变：FeNiMn, FeNiCr, CuAu, CoPt
马氏体转变动点测量
❖ 膨胀法：利用母相与马氏体之间比容的不同 ❖ 电阻法：利用两相间电容的不同 ❖ 磁性法：奥氏体不具有铁磁性，马氏体具有铁磁性。只可用于钢
高碳马氏体
球墨铸铁淬火 G球+M+Aˊ
低碳马氏体
15钢淬火组织 M低
应力（磁、电）驱动的马氏体相变
形状记忆效应和形状记忆合金
在发生了塑性变形后，经过合适的热过程，能够回复到变形前的形状， 这种现象叫做形状记忆效应（SME）。 具有形状记忆效应的金属，称为形状记忆合金（SMA）。
形状记忆合金可以分为三种 （1）单程记忆效应 形状记忆合金在较低的温度下变形，加热后可恢复变形前的形状，这 种只在加热过程中存在的形状记忆现象称为单程记忆效应。
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
马氏体片形成时产生的浮凸示意图
不变平面应变
❖ 倾动面一直保持为平面
马氏体转变
马氏体转变是一类无扩散型的固态相变，马氏体为亚稳相。 将钢加热至奥氏体后快速淬火，所形成的高硬度的针片状组织。
转变特点: (1)无扩散性 (2)切变共格与表面浮凸 (3)惯习面及位向关系 (4)转变是在一个温度范围内进行的 (5)转变不完全
马氏体转变
性能:高强度、高硬度 相变强化 固溶强化 细晶强化
钢的化学成分对马氏体点的影响 变温马氏体相变，与温度有关，瞬间（几分 之一秒内）剧烈地 形成大量马氏体，有的高达70%M。
高镍钢中马氏体等温转变曲线（Ni: 23wt％） 等温马氏体转变：FeNiMn, FeNiCr, CuAu, CoPt
马氏体转变动点测量
❖ 膨胀法：利用母相与马氏体之间比容的不同 ❖ 电阻法：利用两相间电容的不同 ❖ 磁性法：奥氏体不具有铁磁性，马氏体具有铁磁性。只可用于钢
高碳马氏体
球墨铸铁淬火 G球+M+Aˊ
低碳马氏体
15钢淬火组织 M低
应力（磁、电）驱动的马氏体相变
形状记忆效应和形状记忆合金
在发生了塑性变形后，经过合适的热过程，能够回复到变形前的形状， 这种现象叫做形状记忆效应（SME）。 具有形状记忆效应的金属，称为形状记忆合金（SMA）。
形状记忆合金可以分为三种 （1）单程记忆效应 形状记忆合金在较低的温度下变形，加热后可恢复变形前的形状，这 种只在加热过程中存在的形状记忆现象称为单程记忆效应。
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
马氏体片形成时产生的浮凸示意图
不变平面应变
❖ 倾动面一直保持为平面