新课标数学教案·必修1_§1.2.3函数的表示法
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法课件新人教A版必修1
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
目标定位
重点难点
1.掌握函数的三种表示方法：解析 法、图象法、列表法. 2.会根据不同的需要选择恰当方法表 示函数.
重点：函数解析式的求法及函数图象 的画法. 难点：求函数的解析式和图象的表示 方法.
1.函数的表示法 (1)解析法：用_数__学__表__达__式__表示两个变量之间的对应关系. (2)图象法：用_图__象___表示两个变量之间的对应关系. (3)列表法：列出_表__格___来表示两个变量之间的对应关系.
【方法规律】待定系数法求函数解析式的步骤如下 (1)设出所求函数含有待定系数的解析式，如一次函数解析 式设为 f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为 f(x)＝kx (k≠0)，二次函数解析式设为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程 组. (3)解方程或方程组，得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代回原式.
(2)把原式中的 x 换为1x得
f1x－2f(x)＝3x＋2，与原式联立，得
fx－2f1x＝3x＋2， f1x－2fx＝3x＋2，
解得 f(x)＝－x－2x－2.
【方法规律】对于形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式， 可采用配凑法或换元法：配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑 成关于g(x)的情势，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝ t，解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求 得f(x).
1.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二 次函数的解析式.
【解析】设二次函数的解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
3.1.2函数的表示法+教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学课题：3.1.2 函数的表示法课型：新授课课时：2课时课标要求：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
学习目标：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象和解析式之间相辅相成的关系；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；3、发展学生直观想象、逻辑推理核心素养。
重点：了解简单的分段函数，并能简单应用。
难点：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学方法：启发式、自主探究式相结合教学准备教师：多媒体课件学生：教学过程一、复习旧知、引入新课引入1：（师）你还记得初中我们学习过的函数的表示方法有哪些？（生）解析法、列表法和图像法引入2：（师）你能分辨下列函数是用什么方法表示的吗？（1）3.1.1的问题3：北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI) I和时间t的关系;（生）图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.（2）3.1.1的问题4：恩格尔系数r与年份y的对应关系;年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（生）列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.（3）3.1.1的问题1：路程和时间的对应关系，s=350t，t{00.5}∈≤≤t t（生）解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.设计意图：学生对初中学过的三种函数表示方法已经比较熟悉了，但是接触的例子有所欠缺，所以教师应引导学生回顾具体的例子，为学生深入研究这3种方法打下基础。
二、创设情境、提出问题x x∈个笔记本需要y元，试用列表法和图情境1某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})像法表示函数y=f(x).解析：用列表法可将y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法发可将y=f(x)表示为追问1（师）你发现图象上这些点有什么特征？（生）这些点好像都经过一条直线。
高中数学-第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课件 新人教版必修1
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题型探究新一代精独品家P教PT教育学资参源考为模你版提，供感，谢tha你nk的浏yo览u 与使用
重点突破
题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； 解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1) 所示.
解析答案
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又∵f[f(x)]＝4x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，
即aa2b＝＋4b，＝－1，
a＝2， 解得b＝－13
或ab＝ ＝－ 1. 2，
∴f(x)＝2x－13或 f(x)＝－2x＋1.
解析答案
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(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x). 解 ∵f(x)是二次函数， ∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1，得c＝1， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x. 左边展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
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自主学习 重点突破 自查自纠
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知识点 函数的三种表示方法
自主学习
表示 法
解析
再由表知x＝1.
解析答案
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新课标人教A版高中数学必修1全册教案完整版
第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
人教A版数学必修一教案：§1.2.2函数的表示法
§1．2．2函数的表示法一．教学目标1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．学法及教学用具1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种） 2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略） 注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ② 象法：是否连线；④列④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略） 注意：①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：②本例能否用解析法？为什么？例3．画出函数||y x 的图象解：（略）例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：（略） 注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②象例3、例4中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（四）巩固深化，反馈矫正． （1）课本P 23 练习第1，2，3题（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g ，付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，每封xg （0＜x ≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）（五）归纳小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
2019-2020年高中数学函数的表示方法教案(第一课时)新课标人教版必修1(A)
2019-2020年高中数学函数的表示方法教案(第一课时)新课标人教版必修1(A)教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法 教学难点：函数三种表示方法的选择 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 1.回忆函数的两种定义； 2.函数的三要素分别是什么？3．设函数，则 ，若，则= 。
（II ）讲授新课 函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。
（III ）例题分析：例1（书P 22）.某种笔记本的单价是5元，买x （个笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函数。
解：这个函数的定义域是数集，用解析法可以将函数表示为 ，。
用列表法可以将函数表示为图象法略。
说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。
例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。
分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。
（IV）课堂练习：课本P27练习1、2。
数学新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.1第1课时 函数的表示法
[注意] 函数的三种表示方法相互兼容和补充， 许多函数是可以用三种方法来表示的，但在实 际操作中，仍以解析法为主．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
◎已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式． 【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4. 【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的 定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而 从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的 定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域 是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全 体实数．
∴f(x)＝x2＋2x－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三：令x－1＝2，
∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B.
答案： B
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对 称，且过点(0,0)，(3,3)则 此二次函数的 解析式为________．
栏目导引
[解题过程] (1)(代入法)：∵f(x)＝x2＋2 ∴f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋3 f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6 (2)方法一(换元法)：令x＋1＝t则x＝t－1 ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1 方法二(配凑法)： ∵x2＋2x＝(x＋1)2－1 ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1
1．2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
1.掌握函数的三种表示方 1.求函数解析式的两
高一数学必修一1.2.2.3《函数的表示法》(3)导学案
1.2.2.3《函数的表示法》（3）导学案班级 姓名 时间_______年_____月____日【学习目标】其中2、3是重点和难点1. 了解简单的分段函数，并能简单应用；2. 理解函数的概念及三种表示；求函数解析式；3. 能熟练地画出函数的图像，领悟学习数形结合思想的重要性.【课前导学】阅读教材第19-23页，找出疑惑之处，完成新知学习1．函数的表示方法有三种:图象法、列表法、解析法2．图象法：在函数y=f （x ）中，以 为横坐标，对应的 为纵坐标的点 的集合，叫做函数y=f （x ）的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法. 3．分段函数：在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数. 关键：“分段函数，分段处理”【预习自测】首先完成教材上P23第3题； P24第7题；然后做自测题1．已知()322+-=x x x f ，则()1f f -⎡⎤⎣⎦= ；【由内及外】 若()6=a f ，则a = .【已知函数值，求自变量的值（解方程）】2．已知()1212+=-x x f ，则()x f = .【换元法（设“1-=x t ”，则“______=x ”，然后用含“t ”的代数式替换式中的“x ”）】3．设()x f为一次函数．．．．且()[]12-=xxff，则()xf= .4．作出函数（1）y=2x(2)y=2x＋1,x∈Z且2x<的图象☆5．已知1()2()3f x f xx+=则()x f= .【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示例1 画出函数0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，，的图象.变式1：分别画出函数2-=x y ，2+=x y ，2+=x y 的图象例2 画出函数223,(03)y x x x =--≤<的图象.☆变式1：画出函数223,y x x =--的图象 提示：2223023x x x y x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩123456-1-2-1123412-1-2-3-4-5-6-1123412345-1-1-2-3-4-5121234-1-2-3-4-1-2-3-4-5121.2.2.2《函数的表示法》（2）【目标检测】姓名_____________ 评价：1. 已知一次函数的图象过点()1,0以及()0,1，则此一次函数的解析式为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．1y x =- D ．1y x =--2. 分别画出下列函数的图象 （1）22≤∈=x z x xy ， （2）1+-=x y （3）()11322，-∈-+-=x x x y3．画出函数2x 0,f(x)=x0,x x ≥⎧⎨<⎩ 的图象，并求f (32+)+f (32-)的值．☆4. 如图，根据y=f(x) (x R ∈)的图象，写出y=f(x)的解析式．12345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-512345123-1-2-3-4-1-2-3-41212345-1-2-1-2-3-4-5-6-7121234-1-2-3-4-1-2-3-4-5-6123。
数学：1.2.2《函数的表示法(1)》教案(新人教A必修1)
1.2.2 函数的表示法（1）教学目的：使学生掌握函数的三种常用表示法：解析法、图象法、列表法，会用这三种方法表示函数；掌握分段函数的概念，会画分段函数。
教学重点：掌握表示函数的三种常用方法，并了解它们的优劣。
教学难点：分段函数的概念和函数解析式的求法。
教学过程：一、新课引入课本P17－18（1）（2）（3）三个实例，结合初中学过的函数表示法，分别说明三个例子中用什么表示法来表示函数，（1）是解析法，（2）是图象法，（3）是列表法。
这三种方法我们在初中学过，高中也学这三种函数的表示法。
二、新课例3、某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）。
分析：解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}列表法：笔记本数x1234 5钱数y510152025图象法：如右图表示。
注意：函数图象既可以是连结的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。
思考：P23。
例4、下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班 级平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。
分析：上面是列表法，从表中不太容易看出每位同学的成绩变化情况，此时可将 “成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来，能比较直观地看到成绩变 化的情况，对我们分析成绩有帮助。
图象与分析P24。
例5、画出函数y ＝∣x ∣的图象分析：由绝对值的概念有：y ＝⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，画出函数的图象有两段。
象这样的函数称为分段函数，在生活中，有很多可以用分段函数描述的例子，如 出租车的计费、个人所得税、水费、电费、通信费等。
高中数学1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法教案新人教A版必修1
第1课时函数的表示法[目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点] 求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：类型一列表法表示函数[例1] 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f(g(1))的值为[分析] 这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[答案] 1 1[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1] (1)在例1中，函数f (x )的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f (1)＝2；若f (x )＝1，则x ＝2或3.(2)已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则g (f (2))＝1；f (g (2))＝3.解析：∵f (2)＝3，g (2)＝2，∴g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (2))＝f (2)＝3.类型二 图象法表示函数[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察,图象 求得值域. [解] (1)列表：当x ∈[0,2][1,5]．(2)列表：当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表：由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：(1)在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2] 作出下列函数图象，并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y ∈[－5,3)．类型三 解析法表示函数[例3] 求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． [解] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法1：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法2：(换元法) 令x ＋1＝t (t ≥1)． 则x ＝(t －1)2(t ≥1)．所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x ＝1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的方法：(1)代入法：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式常用代入法.(2)配凑法：已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式时，可先从f [g (x )]的解析式中拼凑出“g (x )”，即把“g (x )”作为整体，再将解析式的两边的g (x )用x 代替即可求得f (x )的解析式.(3)换元法：已知f [g (x )]的解析式，要求f (x )的解析式时，可令t ＝g (x )，利用t 表示出x ，然后代入f [g (x )]中，最后把t 换为x 即可.注意换元后新元的范围.(4)待定系数法：已知f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.[变式训练3] (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝tt 2－1(t ≠0)，故f (x )＝xx 2－1(x ≠0)．(2)由g (x )为一次函数，设g (x )＝ax ＋b (a >0)， ∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25， ∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25， 即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25， 从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5，故g (x )＝2x －5(x ∈R).1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x ＋1解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，f (x )＝－x ＋1.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))＝( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由函数图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，故f (g (2))＝2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋2. 解析：解法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，∴f (x )＝3x ＋2.解法二：∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是y ＝80x 2＋800x,_x ∈(0，＋∞)．解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0，化简为：y ＝80x 2＋800x ，x ∈(0，＋∞)．5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x (x ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y (元)之间的函数关系．解：用列表法表示如下：用图象法表示，如图所示．用解析法表示为y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．学习至此，请完成课时作业8学科素养培优精品微课堂函数图象对称变换与翻折变换开讲啦函数图象的对称变换与翻折变换是图象变换常见的类型，其规律如下：1．对称变换：(1)函数y＝f(－x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于y轴作对称变换即可得到．(2)函数y＝－f(x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于x轴作对称变换即可得到．(3)函数y＝－f(－x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于原点作对称变换即可得到．(4)函数y＝f(2a－x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a作对称变换即可得到．2．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象由函数y＝f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的图象的x轴及x轴上方部分即可得到．(2)函数y＝f(|x|)的图象由函数y＝f(x)的图象的y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧，替代原y轴左侧部分，并保留y＝f(x)的图象的y轴及y轴右侧部分即可得到．[典例] 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下四个函数y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象和下面四个图象的正确对应关系是( )A．①②④③B．①②③④C．④③②①D．④③①②[解析]所给①②③④四个图象与已知函数图象的关系分别为关于y轴对称；关于x 轴对称；x轴下方的图象以x轴为对称轴进行翻折；y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧，替代原左侧部分，所以正确的对应关系为①②④③.故选A.[答案] A[对应训练] 已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( B )解析：y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )――→向右平移2个单位 y ＝f [－(x －2)]＝f (2－x )――→关于x 轴对称y ＝－f (2－x )．。
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课题：§1.2.3函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？
分段函数的表示及其图象．
教学过程：
一、引入课题
1. 复习：函数的概念；
2. 常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法； （2）图象法； （3）列表法．
二、新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示
法表示函数y=f(x) ．
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可
以是对应值表．
解：（略）
注意：
○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是
否是函数图象的依据；
○2 解析法：必须注明函数的定义域；
○3 图象法：是否连线；
○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
巩固练习：
课本P27练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分
表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
○1 本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
○2 本例能否用解析法？为什么？
巩固练习：
课本P27练习第2题
例3．画出函数y = | x | ．
解：（略）
巩固练习：课本P27练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图
象）之间的关系．
课本P27练习第3题
2
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车
站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行
车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为
19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
5432y
1915151010550x
x
x
x
(*Nx)
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
Oxy543215101519
注意：
○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考
查一下某公交车线路）
说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左
大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
三、归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函
数的表示方法及其图象的画法．
四、作业布置
课本P28 习题1．2（A组） 第8—12题 （B组）第2、3题