实数(1)概念和分类
6.2实数-实数的概念及分类-教案
第六章 实数6.2实数第1课时 实数的概念及分类一、教学目标1.理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数；2.理解实数的概念，会把实数进行分类．二、教学重点及难点重点：理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数.难点：理解实数的概念，会把实数进行分类．三、教学用具多媒体教室四、相关资料微课，动画.五、教学过程【情景引入】1.我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？.119591144273532251）；（）；（）；（）；（）（答案：（1）2.5；（2）-0.6；（3）6.75；（4）1.2；（5）0.81.2.整数能写成小数的形式吗？ 3可以看成是3.0吗？答案：3=3.0.【探究新知】根据以上问题我们可以得出：1.任何分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.2.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.即：小数形式的有理数包括有限小数或无限循环小数两类.3.任何有理数均可写成分数的形式（整数可看作是分母为1的分数），也就是说有理数总可以写成mn （m 、n 是整数，且m ≠ 0）的形式.如：212=，5.021=. 【合作探究】活动一：探究无理数.问题1：2是一个有理数吗?解析：∵1²=1, 2²=4，∴1 <2< 2，∵1.4²=1.96, 1.5²=2.25，∴1.4 <2< 1.5，∵1.41²=1.9881, 1.42²=2.0164∴1.41 <2< 1.42，∵1.414²=1.9881, 1.415²=2.002225∴1.414 <2< 1.415 ……2=1.414213562373…总结1：（1）我们把这种无限且不循环的小数叫做无理数.开不尽方的数都是无理数.像7、3、12-这样的数是无理数.注意:带根号的数不一定是无理数.如25=5，25是有理数.（2）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数.例如：0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）-168.3232232223…（两个3之间依次多1个2）0.12345678910111213 …（小数部分有相继的正整数组成）问题2：π是无理数吗？含π的一些数是无理数吗？解析：π=3.14159265...它们都是无限不循环小数，是无理数.总结2：常见的无理数的三种形式：（1）含π的一些数；（2）开不尽方的数；（3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…总结3：无理数也像有理数一样广泛存在着. 无理数也有正负之分，例如：2、-3.活动二：探究实数的分类.问题1：（1）你还记得有理数的分类吗？分类的基本原则是什么？⎩⎨⎧分数整数有理数， ⎪⎩⎪⎨⎧负有理数正有理数有理数0分类的原则：不重不漏.问题2：你能对我们学过的数进行合理的分类吗？（1）（2）总结4：有理数和无理数统称为实数.设计意图：设置问题让学生通过自主练习、合作探究等方法自主总结出关于有理数、无理数的定义和实数的概念及分类等知识点，在探究的过程中加深了学生对重要知识点的理解与记忆.【新知应用】1.在下列实数中：157，3.14，0，9，π，3，0.1010010001…，无理数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，3，0.1010010001….故选C.2.设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( ).A ．5B ．6C ．7D ．8解：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵64＜65＜81，∴8＜65＜9.∵n ＜65＜n ＋1，∴n ＝8.故选D .设计意图：促进学生在练习的过程中熟练掌握有理数和无理数的概念，加深学生对实数的理解.【随堂检测】1.把下列各数分别填到相应的集合内：－3.6，27，4，5，3－7，0，π2，－3125，227，3.14，0.10100…. (1)有理数集合{ …}；(2)无理数集合{ …}；(3)整数集合{ …}；(4)负实数集合{ …}．解：(1)有理数集合{－3.6，4，5，0，－3125，227，3.14，…}； (2)无理数集合{27，3－7，π2，0.10100…，…}； (3)整数集合{4，5，0，－3125，…}；(4)负实数集合{－3.6，3－7，－3125，…}．2.判断.（1）实数不是有理数就是无理数.（√）（2）无理数都是无限不循环小数.（√）（3）无理数都是无限小数.（√）（4）带根号的数都是无理数.（×）（5）无理数一定都带根号.（×）（6）两个无理数之积不一定是无理数.（√）设计意图：针对本节课学习的内容进行巩固，让学生在练习的过程中熟练掌握实数的性质及分类.六、课堂小结本节课主要学习了哪些知识?1.什么是有理数？任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.2.什么是无理数？无限且不循环的小数叫做无理数.3.实数的概念及分类.有理数和无理数统称为实数.设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识.七、板书设计第1课时实数的概念及分类1.有理数与无理数2.实数的概念3.实数的分类。
实数的有关概念
第1讲┃实数的有关概念
2．按正负分类： 正整数 正有理数 正分数 正实数 正无理数 零 实数 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数
22 3 [注意](1)任何分数都是有理数，如 ，－ 等； 7 11 (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数。
A. a的相反数是-a，0的相反数是0，如-2014的 相反数是2014； B.若a、b互为相反数，则a + b=0； C.在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个 点，位于原点两侧，并且到原点的距离相等.
5.倒数 （1）定义：如果两个数的乘积等于1，我们把 其中一个数叫做另一个数的倒数.
1 （2）性质:实数a(a≠0)的倒数为 ，特别地，0 a
第1课时 实数的有关概念
实数：有理数和无理数统称为实数.
有理数和无理数
(1)有理数：整数和分数统称为有理数.
有限小数与无限循环小数。 (2)无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（3）初中阶段常见的几种无理数:
3 A.开方不尽的数，如 2 ，3 ， 2 等； B.有规律但是不循环的无限小数，如
0.30300300030000…（两个3之间依次多一个0）
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
3.数轴：规定了原点、②_正方向 _______和单位长度的
直线叫做数轴.任何实数都可以用数轴上唯一的一 个点来表示，即实数与数轴上的点是一一对应的. 4.相反数 符号 不同，那 （1）定义：如果两个数只有③______ 么其中一个数叫做另一个数的相反数.
4（1）：反数的性质
²² 9 2 3 －7.5， 15，4， ， ， －27，0.31，－π ，0.15。 17 3 ·· 2 3 －7.5，4， ， －27，0.31，0.15 3 (1)有理数集合： { …}； 9 15， ，－π 17 (2)无理数集合： { …}； 9 2 ·· (3)正实数集合： { 15，4， …}； ， ，0.31，0.15 17 3 3 (4)负实数集合： {－7.5， －27，－π …}。
实数的概念的定义
实数的概念的定义实数是数学中的一种数，它可以用来表示物理世界中的量。
实数包括整数、有理数和无理数，它们是实数的三个主要子集。
整数是自然数（包括0）和负整数的集合，即{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
整数可以用来表示没有小数部分的量，例如计数、排名等。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即可以写为分数的数。
有理数包括整数、正分数和负分数。
例如，1/2，-3/4，7/8等都是有理数。
有理数可以用来表示所有带有有限小数部分或者循环小数部分的量。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，即无法写成一个分数的数。
无理数是无限不循环小数，它们的小数部分是无法确定的。
无理数包括开平方、立方根、圆周率π等。
例如，√2，π，e（自然对数的底数）都是无理数。
无理数可以用来表示无法用有限小数表示的量，例如勾股定理中的斜边长。
实数的定义可以用不同的方式来描述。
一种常见的定义是基于柯西序列（Cauchy sequence）的构造。
柯西序列是一个数列，其中的元素趋向于零。
对于给定的精度，只要数列中的元素与零的距离足够小，它们就被认为是相等的。
另一种定义是基于戴德金分割（Dedekind cut）的构造。
戴德金分割将实数划分为两个集合，其中一个集合包含所有比给定实数小的数，另一个集合包含所有比给定实数大的数。
通过这种方式，实数可以用一个左集合和一个右集合的形式来表示。
实数满足各种基本运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
实数的加法法则是交换律、结合律和分配律。
减法可以看作是加法的逆运算。
实数的乘法法则也是交换律、结合律和分配律。
除法可以看作是乘法的逆运算，但要注意除数不能为零。
实数还满足阿基米德性质和连续性。
阿基米德性质指的是对于任意两个实数a 和b，总存在一个自然数n，使得na大于b。
连续性指的是实数轴上没有空隙，对于任意两个实数a和b（其中a小于b），总存在一个实数c，使得a小于c 小于b。
实数概念分类性质讲义(含答案)
实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类： （1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）（5）若x =x =（ ）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________． 【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5． （1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数； （2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ， 由题意得，6y =2y +4， 解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8． 二、比较大小【例4】 ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， ，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-； （2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为 ．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。
第1讲实数的概念
7、 3 的绝对值等于 3 ， 2 4 的平方根等于 3 ， 9
1 3 的倒数是 2
2 7 。
8. 2的相反数是 A． 1 B．
2
9. A
1 2
2
C．-2
D．2
2的相反数是（）
2
B
C -2
1 2
D 2
10、的相反数的倒数是 .
课时训练
1、把下列各数填在相应的大括号内： 5 , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, tg 300 , 1, 7
cos600 ,
3
64, 2.1010010001 .
3
-1，0， 64 整数集合：{ ……}； -1 奇数集合：{ ……}； 5 有理数集合：{ -1，，3.14，0， . 3 3 3，cos60°， 3 64 }； 3
1
；
（2） 3 －2的绝
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y=
3 ; 8; 3 27; 例2、把下列各数填到相应的集合里: 22 ; 3.14; 0.100110001 ; sin 300 ; 7 0 tan45 3; 0.3 21; 3.2
整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }； 3-1；3.14；22/7;sin30°；｜-3.2｜；-0.32· 1· 分数集合：{ }； 有理数集合： 3-1；3 27 ；3.14；22/7；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 无理数集合：{
4、下列运算正确的是
A.
1 1 5 5
2
B. ( 2) 2
1 3 1 D. ( ) 2 8
第1讲 实数的概念和运算
(2)将-0.0003054用科学记数法可表示为：-3.05410-4 .
知 识 点 分 析
（四 ）平方根与立方根
a ，这两个平方根 1.正数a有两个平方根记为： a 和 互为相反数 ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
a
叫做a的算数平方根，0的算数平方根是
3a
0
.Hale Waihona Puke 2. a的立方根2 a 3.
知 识 点 分 析
（二 ）实数的有关概念
1.数轴的三要素： 原点
、 正方向 和
单位长度 .
2. 实数 与数轴上的点一一对应. 3.相反数：只有 符号 不同的两个数，我们称其中一个数是另 一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数 .在数轴上，互 为相反数的两个数所对应的点在 原点 的两侧，且到 原点 的 距离相等. a的相反数是
.
0 ；
a a 0
0 ; a
0
例4.（1） ９ 的平方根是 3 （2） ３ （3）
－８ ＝ -2
３－２ ＝ 2- 3
２
知 识 点 分 析
（五 ）实数的运算
1.实数的运算顺序： 先乘方、开方，再算 乘 除 ，最后算 加 减，同级运算 按 从左到右 的顺序进行；有括号的先算 括 号 里 面 的. 2.
a0 = 1
(a≠0)
3. a-p=
1 a p (a ≠0,p为整数)
负数 ，
4.正数的任何次幂都为 正数 ；负数的奇次幂为 偶次幂为 . 正数 5.若几个非负数的和为0，则这几个非负数
同 时 为 0 .
若 a b2 c 0, 则 a =0，b2 =0 ，c =0
知 识 点 分 析
实数的概念(总复习)
初中数学总复习1.1实数的概念一：【知识梳理】1.实数概念(1)有理数:整数和分数统称为有理数。
（ ） (2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩； 有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）无理数： 小数叫做无理数。
（4）实数： 和 统称为实数。
（5）实数和 的点一一对应。
2.实数的分类: 实数【典型考题】把下列各数填入相应的集合内：1、51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73π-有理数集{ }，无理数集{ }， 正实数集{ }2、在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有_______个无理数3、在4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是_______4、写出一个无理数________，使它与2的积是有理数()()()()()()()()()()()()⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩零3.实数的相关概念（1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，<=====> 。
（2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为<=====>1a。
（4）绝对值：【典型考题】1、___________的倒数是211-；0.28的相反数是_________。
2、0|2|)1(2=++-n m ,则n m +的值为________3、已知21||,4||==y x ，且0<xy ，则yx的值等于________ 4、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A.1个B.2个C.3个D.4个5、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是____数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______。
实数的概念及分类课件.ppt
丛台区第十六中学 王玉芳
议一议
2
都不 是！
是怎样的一个数，你对它有哪些了解？
我们知道，有理数包括整数和分
数，那么 2 是整数吗？是分数吗？
感知概念
事实上，人们已经 证明 2是一个无限不 循环小数，它的值 为: 1.414 213 562 373 095 048 802 688 724 209 7……
（1）尺规可作的无理数
（2）尺规不可作的无理数，只能近似
练一练
判断：
１、所有的有理数都可以用数轴上的点表示（ ） 2、数轴上的所有点都表示有理数（ ） 3、所有的无理数都可以用数轴上的点表示（ ） 4、数轴上的所有点都表示无理数（ ） 5、所有的实数都可以用数轴上的点表示（ ） 6、数轴上的所有点都表示实数（ ）
7
0.6 , 0，
36
,
3
,
3
2
－8 22 7
3.14159265
0.6 0 36
有理数集合
7 32
3
无理数集合
2、把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64
0.6
3 4
3 9 3 0.13
（1）有理数集合： 9
64
0.6
3
3
4
0.13
（2）无理数集合： 3 5
3 9
这就是实数的四种类型
自主探索
实数分类
1、按照定义分 整数
有理数
实
分数
数
无理数
正整数
0 负整数 正分数 负分数
有限小数和 无限循环小数
无限不循环小数
2、按照大小分 正有理数
实数的概念
例3. (1)比较 比较 的是（ 的是（ A ）
−
1 1 1 − ,− , 2 3 4
的大小， 的大小，结果正确
A. 1 1 1 C. 4 < − 3 < − 2
1 1 1 <− < 2 3 4
B. D.
−
1 1 1 < <− 2 4 3 1 1 1 − <− < 3 2 4
例4. (1)实数 实数a,b,c在数轴上的点如图所示，化 在数轴上的点如图所示， 实数 在数轴上的点如图所示 简 a + a + b − c . − b − c . =_________. . .0
初三数学第一轮复习
实数的概念
实数的概念与分类
实数
{ {
有理数 无理数 正实数 0 负实数
{
整数 分数
}
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
实数
实数的有关概念
1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线。 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线。 数轴 数轴的应用： 数轴的应用：
用数轴上的点表示实数（数轴上的点与实数一一对应）； 用数轴上的点表示实数（数轴上的点与实数一一对应）； 比较实数的大小. 比较实数的大小
2.相反数：只有符号不同的两个数。一般地，a的相 相反数：只有符号不同的两个数。一般地， 的相 相反数 反数记为－ 反数记为－a. 3.绝对值：在数轴上表示数 的点到原点的距离叫做 绝对值： 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做 a的绝对值 记作｜a｜ 的绝对值.记作 的绝对值 记作｜ ｜
a>0 a | a |= 0 a=0 − a a < 0
2
6.3.1 实数的相关概念及分类(第一课时)七年级数学下册(人教版)
自学导航
有理数和无理数统称为实数.
（1）按定义分
有理数
正有理数
0
有限小数或者无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
自学导航
有理数和无理数统称为实数.
（2）按性质分
正有理数
正实数
实数
正无理数
0
负有理数
无理数π可以用数轴上的点来表示出.
合作探究
如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形
对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 2，与负半轴的交点就表示
- 2.(为什么)
合作探究
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行分
类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴
上的点表示无理数.（难点）
自学导航
我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，
它们有什么特征？
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
1. 2
9
. .
9
0. 81
11
它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
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第六章 实数 6.2 实数
第1课时：实数概念与分类
教学目标
：1．掌握无理数和实数的概念，掌握实数的两种分类方法．
2．理解实数与数轴之间的对应关系．
3．了解估算与逐步逼近的数学思想方法，培养学生的探究能力．
教学重点
：无理数和实数的概念．
教学难点
：无理数的概念的引入，实数的分类．
教学方法
：探究、讨论．
教学过程
：
一．复习：⒈平方根、算术平方根、立方根的概念．
⒉如果一个数平方是3，那么这个数是多少？如果一个数的立方是3，那么这个数是多少？
⒊3、33究竟是怎样的数，和我们所学习的有理数有之间的关系如何？
⒋有理数的概念：整数和分数统称为有理数．有理数的分类．
⒌分数：有限小数和无限循环小数．无限循环小数化为分数的方法要复习．
设1.3x&，则14133x，0.3x&，103.3x&，1030.3x&，略．
二．新课：
⒈设置问题情景：①在正方形网格中找面积为1、4、9的正方形；②在正方形网格中找面积
为2、5、10的正方形．
说明：通过这项交流和探究活动，培养学生的观察能力，探索能力．
⒉共同研究2、5、10是一个什么范围内的数．
①关于2：2112，2242，所以122，所以2不是整数；
21.41.962，2
1.52.252
，所以1.421.5；1.4121.42，
如此，逐步逼近，可知1.41421.415．即21.4142135L
说明：①研究方法：是逐步逼近的方法；②比较两个数大小的方法：平方法．
⒊例1：求5、10的近似值．
②2245，2395，所以253，所以5不是整数；
③23910，241610，所以3104，所以10不是整数；
例2：比较11与120的大小．
解：方法1：因为11121， 11121120，所以11＞120
⒋无理数的概念：
引入：比较如下的数的区别：0、1、1.414、.09123&&&、0.1001000100001…….、，5等．
⑴有理数、分数与有限小数、无限循环小数之间的关系．
⑵无理数：无限不循环小数叫无理数．
⑶无理数的分类：正无理数的负的无理数．注意：0是有理数．
⑷例举无理数：、2、3、5、120、32、37，316等．
⒌实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
⒍实数的分类：
①按有理数与无理数分②按数的性质分
⒎实数与数轴上的点的对应关系：
①实数与数轴上的点一一对应；②用数轴上的点表示2，，－3．
三．练习：
四．归纳小结：
⒈①研究方法：是逐步逼近的方法；②比较两个数大小的方法：平方法．
⒉无理数的概念．准确找出一组数中的无理数．
⒊实数的概念与分类．
实数（1）练习题
一、选择题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）．
A．3.14 B．12 C．0 D．3
2．下列各组数中，都是无理数的一组是（ ）．
A．带根号的数都是无理数 B．无限小数是无理数
C．数轴上的点都表示实数 D．无理数只含有正无理数和负无理数
3．下列命题中，正确的是（ ）．
A．在实数中没有绝对值最小的实数 B．最小的实数是0
C．64的立方根是±4 D．当||0aa时，a为非负数
4．
下列各数中
3
221
2.3,3.1415,,,,0.9,8,1.010010001782
&
LL
无理数的个数有( ) A． 3个 B．4个 C．5 个 D．6个
5．在13，24，6中，分数的个数是（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．0
6．请你估算10的大小（ ）．
A．1102 B．2103 C．3104 D．4105
7．数轴上所有的点所表示的数是（ ）．
A．全体有理数 B．全体无理数 C．全体实数 D．全体整数
8．下列判断正确的有（ ）个．
A．a是一个实数，则2a的算术平方根为a B．a是一个实数，则2a的算术平方根为a
C．a没有平方根 D．实数a是2a的一个平方根
9．下列各数中最小的数是（ ）．
A．－2 B．2 C．0.01 D．1.2
10．数轴上的原点和原点左边的所有点表示的数是（ ）．
A．负有理数 B．负实数 C．零和负有理数 D．零和负实数
二、填空题
11． 叫做无理数．
12．数轴上的点和 建立了 关系，从而将数和形结合起来．
13．绝对值小于7的自然数有 个．
14．用“＜”或“＞”号填空3 5．
15．用“＜”或“＞”号填空43 34．
16．点M在数轴上与原点相距5个单位，则点M所表示的实数为 ．
17．数轴上到3的点的距离为3的点所表示的数是 ．
18．在实数3、2、0、0.35&&、2、37、0.1010010001L、327中，有理数有 个．
19．1.4（误差小于0.1）≈ ．
20．3250（误差小于1）≈ ．
三、解答题
21．把下列各数填入相应的集合内．
3
2
、16、8、、12、5、36、0、0.5757757775L、（相邻两个5之间
的7的个数逐次增加）、0.3、0.01
有理数 、无理数
整数 、 分数
实数
22．在数轴上画出表示5的点．
23．已知实数x、y满足223(235)0xyxy，求8xy的平方根和立方根．
24．若21.414，14.14a，请你求出a的值．