高数第五版答案1-5

习题1-5

1. 计算下列极限:

(1)35lim 2

2-+→x x x ; 解 93

25235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)1

3lim 223+-→x x

x ; 解 01

)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)1

12lim 221-+-

→x x x x ; 解 02

011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x

x x x x x 2324lim 2230++-→; 解 2

123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)h

x h x h 220)(lim -+→; 解 x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim

02220220=+=-++=-+→→→. (6))1

12(lim 2x

x x +-∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x

x x x x . (7)1

21lim 22---∞→x x x x ; 解 211

1211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→x

x x x x x x x . (8)1

3lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim

242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零)

或 012

11

1lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x

x x x . (9)4

586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 3

2142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x

x x x . (10))1

2)(11(lim 2x

x x -+∞→; 解 221)1

2(lim )11(lim )1

2)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x

x x x x x x . (11))21

41211(lim n

n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 22

11)21(1lim )21

41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2

)1( 321lim n n n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 2

11lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim

n n n n n +++∞→; 解 5

15)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或 5

1)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))13

11(lim 31x

x x ---→; 解 112lim )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )13

11(lim 2

12122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 2. 计算下列极限:

(1)22

32)2(2lim -+→x x

x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2

232)2(2lim x x x x .

(2)1

2lim 2+∞→x x x ; 解 ∞=+∞→1

2lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞

→x x x . 解 ∞=+-∞

→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限:

(1)x

x x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x

1sin 是有界变量). (2)x

x x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x

1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).