2019-2020 学年北京初中数学竞赛九年级比例与相似专题(含答案)

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2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。

2020北京丰台初三(上)期末数学备考训练相似(教师版)含答案

2020北京丰台初三（上）期末数学备考训练相似（教师版）一．选择题（共14小题）1．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴＝，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．2．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】先逆用比例的基本性质，把3a＝2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解．【解答】解：∵3a＝2b，∴a：b＝2：3，b：a＝3：2，即a：2＝b：3，故A，B均错误，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断．3．已知xy＝mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式，可判断各选项正确与否．【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy＝mn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xy＝mn，与原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xn＝my，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy＝mn，与原式相等；故选：C．【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．4．如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】由DE是△ABC的中位线，可证得DE∥BC，进而推得两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，相似比为，面积比为．故选：D．【点评】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的．5．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中△CEG相似的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．【解答】解：AB∥CD，AE∥FD∴△CEG∽△BAG，△CEG∽△CDH，∵△BFH∽△CDH，∴△CEG∽△BFH，∴与△CEG相似三角形有3对．故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．6．若，则的值是（）A．B．C．D．3【分析】根据比例的合比性质即可得出答案；亦可把变化为b＝3a，代入可求出式子的值．【解答】解：原式＝＝＝．故选：C．【点评】主要考查的是对比例式合比性质的掌握和灵活运用．7．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【解答】解：∵点到圆心的距离d＝3＜5＝r，∴该点P在⊙O内．故选：C．【点评】考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断△AED∽△ABC，再由两角对应相等的两个三角形相似可判断△BCD∽△ABC．【解答】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∵AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°＝∠A，∠C＝72°，∴△BDC∽△ABC，∴有两个与△ABC相似的三角形．故选：B．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．9．若＝，则的值是（）A．B．C．﹣D．【分析】若＝，则可以设a＝2k，则b＝3k．将其代入分式求解．【解答】解：∵＝，∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝＝﹣，故选：C．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．10．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．11．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3∴S△ADE：S△ABC＝4：9故选：A．【点评】熟练掌握三角形的性质．12．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．16 B．8 C．4 D．2【分析】设△DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：设△DEF的面积为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的面积为4，∴＝（）2＝，解得x＝16．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．13．已知2x＝3y（x≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决．【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确，故选：B．【点评】本题考查的是等式的性质：等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等．14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB＝3：2，∴AE：EC＝3：2，∴AE：AC＝3：5．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE与EC的关系是解题关键．二．填空题（共11小题）15．若2m＝3n，那么m：n＝3：2 ．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2m＝3n，∴m：n＝3：2．故答案为：3：2．【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．16．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为10 cm．【分析】由相似三角形判定可得△ABO∽△A'B'O，利用对应边成比例可得点O到A′B′的距离．【解答】解：∵AB∥A'B'，∴△ABO∽△A'B'O，∴＝是相似比，∴点O到A′B′的距离＝，故答案为：10【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝9 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，AE＝3，BD＝4，∴，∴CE＝6，∴AC＝AE+EC＝3+6＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出是解决问题的关键．18．如图，已知ABC，P为AB上一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件∠ACP＝∠B（答案不唯一）．（只要写出一种合适的条件）【分析】要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．【解答】解：①∵∠ACP＝∠B，∠PAC＝∠CAB，∴△ACP∽△ABC；②∵∠APC＝∠ACB，∠PAC＝∠CAB，∴△ACP∽△ABC；③∵∠PAC＝∠CAB，AP：AC＝AC：AB，∴△ACP∽△ABC．（答案不唯一）．【点评】本题利用了相似三角形的判定，答案不唯一．19．两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是9：4 ．【分析】已知了相似三角形的对应边的比即可得出相似三角形的相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比是3：2，∴它们的相似比为3：2；故它们的面积比为9：4．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．20．如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE，BC不平行，若使△ADE∽△ACB，需要添加的条件是∠ADE＝∠C（写出一个即可）．【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【解答】解：由图可得，∠DAE＝∠CAB，要使△ADE∽△ACB，根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠ABC；根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加条件：AB：AC＝AE：AD．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．21．已知四条线段a、b、c、d之间有如下关系：a：b＝c：d，且a＝12，b＝8，c＝15，则线段d＝10【分析】由线段之间的比例以及对应线段的长，代入求解即可．【解答】解：a：b＝c：d，且a＝12，b＝8，c＝15，即＝，解得d＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了比例之间的问题，应能够进行一些简单的计算．22．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是 2 ；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2＝；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长a n＝．（n为正整数）【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值．【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形，∴EF＝FC，EF∥FC，∴△BFE∽△BCA，∴．设EF＝FC＝a，∴，∴a＝2，故答案是：2（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，∴IH＝ID，IH∥AD，∴△EIH∽△EDA，∴，设IH＝ID＝b，AD＝4，DE＝2，∴，故答案是：，如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，∴第4的个正方形的边长为：＝…∴第n个内接正方形的边长a n＝故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．23．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于8 ．【分析】由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，又由AD：AB＝3：4，AE＝6，即可求得AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD：AB＝3：4，AE＝6，∴AC＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．24．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为16 ．【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．【解答】解：∵△DEF与△ABC的相似，且相似比为1：2，∴△DEF与△ABC的面积比为1：4，∴△DEF的面积为4，∴则△ABC的面积为16，故答案为：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键．25．已知，则＝．【分析】根据比例的性质变形即可求解．【解答】解：∵，∴＝．故答案为：．【点评】考查了比例的性质，是基础题型．三．解答题（共25小题）26．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴＝，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴＝，解得：x＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．27．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2，∴＝＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．28．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝ 1 ；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．29．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD＝2，DB＝3，AE＝4，求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝6，∴AC＝AE+EC＝4+6＝10；【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．30．已知：如图，∠1＝∠2，AB•AC＝AD•AE．求证：∠C＝∠E．【分析】先根据AB•AC＝AD•AE可得出＝，再由∠1＝∠2可得出△ABE∽△ADC，由相似三角形的对应角相等即可得出结论．【解答】证明：在△ABE和△ADC中，∵AB•AC＝AD•AE，∴＝（2分）又∵∠1＝∠2，（3分）∴△ABE∽△ADC（4分）∴∠C＝∠E．（5分）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．31．如图，设点D、E分别为△ABC的外接圆的弧AB、弧AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G．求证：AF•AG＝DF•EG．【分析】根据相似三角形的判定定理AA证得△ADF∽△EAG，然后由相似三角形的对应边成比例求得＝，即AF•AG＝DF•EG．【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠E，（等弧所对的圆周角相等）∠CAE＝∠D，∴△ADF∽△EAG（两对应角相等，两三角形相似）∴＝，∴AF•AG＝DF•EG．（说明：不填写理由共扣（1分）．）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．在证明△ADF∽△EAG时，利用等弧所对的弦相等证明AD＝BD，AE＝CE是关键．32．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）．【分析】按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图，C1（3，0），C2（6，4），C3（6，）．【解答】解：过P作PC1⊥OA，垂足是C1，则△OC1P∽△OAB．点C1坐标是（3，0）．（2分）过P作PC2⊥AB，垂足是C2，则△PC2B∽△OAB．点C2坐标是（6，4）．（4分）过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图），则△C3PB∽△OAB，∴．（6分）易知OB＝10，BP＝5，BA＝8，∴，．（8分）∴．（9分）符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）．（10分）【点评】本题实质上就是画直角三角形OAB的相似三角形，只不过所画的相似三角形点P已经确定了，所以就要根据网格找出三边的长，再利用对应边相似比相等，画出相似三角形．33．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，F是DC的中点，BF的延长线交射线AD于点G，BG交AC于点E．求证：．【分析】欲证，可证△GDF∽△GAB，△FCE∽△BAE，得到，，又已知DF＝CF，即证结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△GDF∽△GAB，△FCE∽△BAE，（2分）∴，，（4分）∵DF＝CF，∴．（5分）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形中对应线段成比例．34．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2＝AP•AD．（1）求证：AB＝AC；（2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．【分析】（1）根据AB2＝AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB＝∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB＝∠ACB，即∠ABC＝∠ACB，再根据等角对等边证明结论；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．【解答】（1）证明：连接BP，∵AB2＝AP•AD，∴，又∵∠BAD＝∠PAB，∴△ABD∽△APB，∵∠ABC＝∠APB，∠APB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：由（1）知AB＝AC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵P为的中点，∴∠ABP＝∠PAC＝∠ABC＝30°，∴∠BAP＝∠BAC+∠PAC＝90°，∴BP为直径，∴BP过圆心O，∴BP＝2，∴AP＝BP＝1，∴AB2＝BP2﹣AP2＝3，∵AB2＝AP•AD，∴AD＝＝3．【点评】掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度．35．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．36．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断成立吗？并说明理由．【分析】首先由DE∥BC，得，根据EF∥AB，得，根据等式的传递性即可证明结论．【解答】解：成立．理由如下：∵DE∥BC，∴．∵EF∥AB，∴．∴．【点评】此题主要是运用了平行线分线段成比例定理．37．已知：如图，等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE＝1，，求EF的长．【分析】Rt△ABE中，EF⊥AB，易得∠AEF＝∠B，即cos∠B＝，由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC 的比例关系，根据EC＝BC﹣BE，即可求出BE、AE的长；然后根据∠AEF的余弦值，即可在Rt△AEF中，求出EF的长．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1＝90°；∵EF⊥AB，∴∠1+∠B＝90°；∴∠B＝∠AEF；（1分）∴∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°∴；（2分）设BE＝4k，AB＝5k，∵BC＝AB，∴EC＝BC﹣BE＝BA﹣BE＝k；∵EC＝1，∴k＝1；（3分）∴BE＝4，AB＝5；∴AE＝3；（4分）在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，∵，（5分）∴．（6分）【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识．38．如图，已知：在⊙O中，直径AB＝4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF 交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC；（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD＝1：4，并加以说明．【分析】（1）根据垂径定理得到弧AC＝弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F＝∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠F＝∠ACH，又∠CAF＝∠FAC，∴△ACH∽△AFC．（2）解：AH•AF＝AE•AB．证明：连接FB，∵AB是直径，∴∠AFB＝∠AEH＝90°，又∠EAH＝∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴，∴AH•AF＝AE•AB．（3）解：当时，S△AEC：S△BOD＝1：4．理由：∵直径AB⊥CD，∴CE＝ED，∵S△AEC＝AE•EC，S△BOD＝OB•ED，∴＝＝＝，∵⊙O的半径为2，∴，∴8﹣4OE＝2，∴OE＝．即当点E距离点O时S△AEC：S△BOD＝1：4．【点评】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．39．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．（3）由题目分析可以知道∠B＝90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．∵直线与BC边相交于点D，∴．∴x＝2，故点D的坐标为（2，3）（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，∴解得：∴抛物线的解析式为．（3）∵抛物线的对称轴为x＝3，设对称轴x＝3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，∴∠BAD＝∠AMP1．①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，∴△ABD∽△MP1A．∴P1（3，0）．②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP2．∴∠AP2M＝∠ADB∵AP1＝AB，∠AP1P2＝∠ABD＝90°，∴△AP1P2≌△ABD∴P1P2＝BD＝4．∵点P2在第四象限，∴P2（3，﹣4）．答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．40．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，DC＝5，BC＝3，AC与BD相交于点M，且．（1）求证：△ABM∽△CMD；（2）求∠BCD的正弦值．【分析】（1）AB∥DC，AC、BD相交于点M，即可证明△DFE∽△DAB．（2）由△AMB∽△CMD，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AC、BD相交于点M，∴△AMB∽△CMD（2）解：∵△AMB∽△CMD，∴∴MB＝∴DB＝DM+MB＝4∴BC2+BD2＝DC2∴△DBC为直角三角形（∠DBC＝90°）∴sin∠BDC＝．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，难度适中．41．如图，在5×6的网格图中，△ABC的顶点A、B、C在格点（每个小正方形的顶点）上，请你在网格图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1，B1，C1必须在格点上．【分析】根据位似的定义，先确定位似中心点，然后确定位似比即可画出位似图形．【解答】解：所作图形如下所示：说明：△A1B1C1∽△ABC，相似比为；△A2B2C2∽△ABC，相似比为；△A3B3C3∽△ABC，相似比为2：1．【点评】本题考查位似作图的知识，属于开放型，因为位似中心及位似比没有确定，同学们可以自己选择作图．42．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC＝∠ADE，AB＝7，AD＝3，AE＝2.7，求AC的长．【分析】已知∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．【解答】解：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A∴△ABC∽△ADE（2分）∴（3分）∴＝＝6.3（5分）【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力．43．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．44．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D 作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠FAE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；。

北师大版九年级数学上册相似三角形解答题培优专题(含答案)

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形：（2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ，动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似【解析】【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果．【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==，故答案为：2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==，设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时，可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==．故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝，综上所述，满足条件的BD 的长为355．【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==，故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化，由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=，在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==；（3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形．【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形，易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=，当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-．故答案为：5，1，41045-．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=，而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ，在△ E 和△CED 中，，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ，四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=，解得：80t 41=，综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC，即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP，即8=614x x-，解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

北京第一一九中学九年级数学下册第二单元《相似》测试(有答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1AE BE =，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AG GC的值为（）．A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:5 2．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列判断正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm4．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 5．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个6．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．16 7．如图△BCD 中，BE ⊥CD ，AE ＝CE=3，BE ＝DE=4．BC=5，DA 的延长线交BC 于F ，则AF=（）A ．1B ．0.6C ．1.2D ．0.88．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是BD 上的一个动点，过点P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ，连接OE ，OF ，设BP =x ，△OEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像为（）A ．B ．C ．D ． 9．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（）A ．512 B ．512C ．1D ．2 10．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠ 11．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是（）A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2 12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如果x ：y ＝3：2，那么x y x-的值是__． 14．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）15．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．16．如图，在ABC 纸片中，13AB AC ==，24BC =，D 是BC 边上任意一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，AE 交BC 于点F ，当DEF 是直角三角形时，则BD 的长为________．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 在x 轴上，(2,0)D ，点D 的上方为点(2,1)C ，以原点O 为位似中心，相似比为1:3，在第一象限内把线段CD 扩大后得到线段AB ，则点A 的坐标为___________．18．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．19．如图，BC 为半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，且BF:FC=5:1，若AB=8，AE=2，则AD 的长为__________．20．如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是__．三、解答题21．已知：E 是矩形ABCD 的边AB 上一个动点，直线EF DE ⊥交BC 于点F ．（1）求证：ADE ∽BFE △；（2）若直线EF 经过C 点，且3AD =，10AB =，是否存在这样的点E ，使ADE 和BFE △相似？若存在，请求出AE 的长度；若不存在，请说明理由．（3）连结DF ，若3AD =，2AE =，当ADE 和EFD △相似时，则AB =______． 22．如图，AB 是ABC 的内接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，12∠=∠，过点C 作CF DC ⊥交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（1）当5DF =:1:2AE EC =时，求圆O 的半径．（2）在（2）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则:OMB DGF S S =△△______．（直接写出答案）23．如图，已知ABC 和点A '．（1）以点A '为顶点求作A B C '''，使A B C ABC '''∽，4A B C ABC SS '''=；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）设D 、E 、F 分别是ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的A B C '''三边A B ''、B C ''、A C ''的中点，求证：DEF D E F '''∽． 24．如图，点F 是ABC 中AC 边的中点，//AD BC ，DF 交AB 于点E ，交BC 延长线于点G ．（1）若:3:1BE AE =，8BC =，求BG 的长；（2）若12∠=∠，求证：2FC EF FD =⋅．25．如图，直线EF 与⊙O 相切于点C ，点A 为⊙O 上异于点C 的一动点，⊙O 的半径为4，AB ⊥EF 于点B ，设∠ACF ＝α（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若α＝45°，求证：四边形OCBA 为正方形；（2）当AC ＝4时，求α的度数．（3）若AC －AB ＝1，求AC 的长．26．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO OC =，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AE GC CP=的值．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =，∴AFE △≌△()DFP AAS ，∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，∴3AB CD k ==，5PC k =，∵//AE BC ， ∴2255AG AE k GC CP k ===，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．3．C解析：C【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长约为3.7cm或2.3cm，故此选项错误；故选择：C．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．4．B解析：B【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.【详解】∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OB OD OC==， ∵AD 与BC 相交于点O ，∴∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OA DC OD==， ∵12AB cm =∴CD=12433AB ==cm, 故选B.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.5．C解析：C【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【详解】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．综上，外框与原图一定相似的有3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．6．D解析：D根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AE EFDE AE=，∴EF•ED=AE2，∵AE=4，∴EF•ED的值为16，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据条件和判断Rt△CEB≌Rt△AED，然后得到角相等，证明△BEC∽△BFA，利用比例关系计算．【详解】解：∵AE=3，BE=4∴BA=BE-AE=1∴在Rt△CEB与Rt△AED中AE CE AD CB=⎧⎨=⎩∴Rt△CEB≌Rt△AED∴∠EBC=∠BAF∵∠ADE+∠EAD=90°，∠BAF=∠EAD ∴∠EBC+∠BAF=90°∵∠BEC=∠BFA=90°∴△BEC∽△BFA∴AF BACE BC=即135AF=∴AF=0.6【点睛】本题考查相似和全等的结合，通过全等得到角关系，然后证相似得到比例关系计算边长即可．．8．C解析：C【分析】根据题意易得BO =EF 与x 的关系，进而分两种情况，依情况来判断函数图像即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，∴AC BD ==12BO OD BD ===①当P 在OB 上时，即0x ≤≤∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ， ∴EF BP AC OB=， ∴22EF BP x ==， ∵OP x =，∴)2122y x x x =⨯⨯=-+；②当P 在OD x <≤∵EF ∥AC ，∴△DEF ∽△DAC ， ∴EF DP AC OD =，=，∴)2EF x =，∵BP=x ， ∴OP x =∴(()21242y x x x =⋅=-+-，这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下，故选C ．本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质，关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．9．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC=，然后列方程求解即可．【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC ∴AB BC DA AC= ∴11a a a +=解得，12a +=或152a （舍去）故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．C解析：C【分析】根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得12AD AE AC AB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系．【详解】∵31AD =，30AE =∴21∠<∠∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+= ∴12AD AE AC AB ∵50A ∠=︒∴ADE ACB ∽∴14∠=∠，23∠∠=∴13∠>∠，24∠<∠故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】为了便于计算，可设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y ，利用AG ∥BD ，可得△AGF ∽△BDF ，从而可求出AG ，那么就可求出AE ：EC 的值．【详解】解：如图所示，∵AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1∴设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y∵12//l l ，∴△AGF ∽△BDF ， ∴AG BD ＝AF BF∴3AG y ＝23∴AG ＝2y∴AE ：EC ＝AG ：CD ＝2y ：y ＝2：1故选：C ．【点睛】根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．12．B解析：B【分析】根据相似三角形的判定逐个判断即可得．【详解】①在ADE 和ACB △中，AED B A A ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADEACB ∴，则条件①能满足； ②//DE BC ，ADE ABC ∴，则条件②不能满足；③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ACB ∴，则条件③能满足；④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：AD DE AC BC=，对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；综上，能满足的条件有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．二、填空题13．【分析】根据已知条件得出再把化成然后代值计算即可得出答案【详解】∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查了比例的性质熟练掌握比例的性质是解题的关键解析：13【分析】根据已知条件得出23y x =，再把x y x -化成1y x -，然后代值计算即可得出答案．【详解】∵:3:2x y =， ∴23y x =， ∴211133x y y x x -=-=-=．故答案为：13．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．14．①③④【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可知DF 的长度利用勾股定理可求出AGGFGHHF 的长度结合题意逐个判断即可【详解】①：根据题意可知∴即故①正确；②：∴∴∴∵∴设AG=x 则GH=xGF=8-x解析：①③④【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，可知45EBF GBH ∠+∠=︒，DF 的长度．利用勾股定理可求出AG 、GF 、GH 、HF 的长度，结合题意逐个判断即可．【详解】①：根据题意可知EBC EBF ∠=∠，GBA GBH ∠=∠，90EBC EBF GBA GBH ∠+∠+∠+∠=︒，∴45EBF GBH ∠+∠=︒，即45EBG ∠=︒．故①正确；②：90EFD AFB ∠+∠=︒，90ABF AFB ∠+∠=︒，∴EFD ABF ∠=∠，∴ABF DFE ， ∴AB AF DF DE=，∵8AF ===， ∴8463DE AF DF AB ===．设AG =x ，则GH =x ，GF =8-x ，HF =BF -BH =10-6=4．又∵在Rt GHF 中，222GH HF GF +=，∴2224(8)x x +=-解得x =3，即AG =3， ∴623AB AG ==． ∴AB DE AG DF≠ 故DEF 和△ABG 不相似．故②错误；③：由②得GH =3，1163922ABG S AB AG ==⨯⨯=，1134622GFH S GH HF ==⨯⨯=． ∴:9:6 1.5ABG GFH S S ==．故③正确．④：DF =10-8=2，由②可知AG +DF =3+2=5，GF =8-3=5．∴AG +DF =GF ．故④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题．本题利用勾股定理计算出AG 的长度是解题的关键．15．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ， ∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ， ∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43，故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 16．或7【分析】是直角三角形时有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°通过找相似三角形然后利用对应边成比例即可得到结果【详解】解：如图当∠EDF=90°时过A 作AG ⊥BC 于G 则DE ∥AG ∵AG ⊥B 解析：263或7．【分析】 DEF 是直角三角形时，有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°，通过找相似三角形，然后利用对应边成比例即可得到结果．【详解】解：如图，当∠EDF=90°时，过A 作AG ⊥BC 于G ，则DE ∥AG ，∵13AB AC ==，24BC =，AG ⊥BC ，∴1122BG BC ==，在直角三角形ABG 中，2213125AG -=，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，∵DE ∥AG ，∴∠FAG=∠E=∠B ，∴Rt △AFG ∽Rt △BAG ，∴AB BG AF AG =，即13125AF =， ∴6512AF =∴6591131212EF =-=，由∠B=∠E ，∠EDF=∠ABG=90°，可知△ABG ∽△FED ，∴AB BG EF DE =，即13129112DE =， ∴7DE =，即7BD =；如图，当∠EFD=90°时，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，由于∠EFD=90°，因此AF ⊥BC ，在直角三角形ABF 中，2213125AF =-=，∴1358EF =-=，∵∠B=∠E ，∠AFB=∠EFD=90°，∴△ABF ∽△DEF ，∴AB BF DE EF =，即13128DE =， ∴263DE =，即263BD =；综上，263BD =或7BD =，故答案为：263或7．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定以及折叠问题，找到相似三角形是解题的关键，要注意分类讨论．17．（63）【分析】根据位似变换的性质可知△ODC ∽△OBA 相似比是根据已知数据可以求出点A 的坐标【详解】解：由题意得△ODC ∽△OBA 相似比是∴又∵∴OD=2CD=1∴OB=6AB=3∴点A 的坐标为：解析：（6，3）【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3，根据已知数据可以求出点A 的坐标．【详解】解：由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3， ∴13OD DC OB AB ==，又∵(2,0)D ，(2,1)C ∴OD=2，CD=1，∴OB=6，AB=3，∴点A 的坐标为：（6，3），故答案为：（6，3）．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．18．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE 等高然后由等高三【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE 的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：1又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ， ∴22ABE ECD 551S BE AB CD CES ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AB CE =AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，∴ABEBCE S AB S CE == BCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．19．【分析】连接BEDE则BE⊥AC由勾股定理可求得BE再证明△EBF∽△CBE 列比例式可求得CF的长即BC的长由勾股定理求得CE的长进而可求得AC的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE∽△【分析】连接BE，DE，则BE⊥AC，由勾股定理可求得BE，再证明△EBF∽△CBE，列比例式可求得CF的长，即BC的长，由勾股定理求得CE的长，进而可求得AC的长，再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE∽△ACB，则有AD AEAC AB=，即可求得AD的长．【详解】解：连接BE，∵BC为半圆O的直径，∴BE⊥AC，即∠AEB=∠BEC=90°，在Rt△ABE中，AB=8，AE=2，由勾股定理得：=∵EF⊥BC，∴∠EFB=∠BEC=90°，又∠EBF=∠EBC，∴△EBF∽△CBE，∴BE BFBC BE=，∵BF:FC=5:1，∴BF=5FC，BC=6CF，∴=，解得：，∴在Rt△BEC中，==∴∵∠DAE=∠CAB，∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB,∴AD AEAC AB=，即28223AD =+，解得：AD=2(223)1382⨯++=，故答案为：132+．【点睛】本题考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．20．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线解析：125【分析】过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，证明DE DG MN ==（设为)λ，得到AM AN λ=-；证明△∽△ADG ABC ，列出比例式446λλ-=，求出λ即可解决问题．【详解】解：如图，过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，四边形DEFG 是正方形，DE DG MN ∴==（设为)λ，则AM AN λ=-；6BC =，ABC 的面积为12，∴16122AN ⨯=， 4AN ∴=，4AM λ=-；//DG BC ，ADG ABC ∴∽， ∴446λλ-=，解得：125λ=．故答案为：125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，1AE =或9；（3）4或132【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）设AE x =，则10BE x =-，利用相似三角形的性质，构建方程求解即可；（3）连接DF ．分两种情形：当ADE EDF ∽△时，当ADE △∽EFD △时，分别构建方程求解即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形∴90A B ∠=∠=︒，∵EF DE ⊥∴90DEF ∠=︒，∴AED BFE ∠=∠ ∴ADE ∽BFE △；（2）设AE x =，则10BE x =-，由题意得：3BF BC AD ===∵ADE ∽BFE △ ∴AD AE BE BF=， ∴3103x x =- 解得：1x =或9 经检验，1x =或9是分式方程的根，∴1AE =或9；（3）连接DF ．当ADE ∽EDF 时则AD AE DE EF = ∴32DF AD EF AE == ∵ADE ∽BEF ∴32AD DE EB EF == ∵3AD =∴2BE =∴224AB AE BE =+=+=当ADE ∽EFD △时则AD AE EF DE = ∴23DE AE EF AD == ∵ADE ∽BEF ∴23AD DE EB EF == ∵3AD = ∴92BE = ∴913222AB AE EB =+=+= 综上所述，满足条件的AB 的值为4或132 故答案为：4或132．【点睛】本题考查了相似三角形、矩形、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、矩形、分式方程的性质，从而完成求解．22．（1）254；（2）544【分析】（1）连接AD ，利用“HL”证明Rt △ADB ≅Rt △ACB ，推出AB ⊥DC ，DE=CE ，再证明BE 为△DCF 的中位线，利用锐角三角函数的定义得到AD1BD2=，再利用勾股定理即可求得⊙O 的半径；（2）同理先求得DE=5， DC=10，利用勾股定理可求得CG=152，证明△OBM~△GCM，推出56OMMG=，推出OBMGBM56SS=，设OBM5S a=，则GBM6S a=，利用三角形的中线平分此三角形的面积，即可推出DGF44S a=，即可求得答案．【详解】（1）连接AD，∵∠1=∠2，∴AD=AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90︒，∴Rt△ADB≅Rt△ACB(HL)，∴DB=CB，∠1=∠3，∴AB⊥DC，∴DE=CE，∵CF⊥DC，∴BE∥FC，∴BE为△DCF的中位线，∴DB=12DF=5∵AE：EC=1：2，∴AE AD1tan3tan1EC BD2∠∠====，∴552∴()222252555522AD BD⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，∴⊙O的半径为254；（2）连接BG，∵CF ⊥DC ，∴∠ACG=90︒，∴DG 为⊙O 的直径， ∵DE 1tan 3EB 2∠==， ∴EB=2DE ，∵222DE EB BD +=，即(222455DE DE +=， ∴DE=5，则DC=2DE=10，∵222DC CG GD +=，即22225102CG ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴CG=152， ∵BO ∥GC ，∴△OBM ~△GCM ， ∴OM OB MG CG=，则25541562OM OB MG CG ===， ∴OBM GBM 56S S =，设OBM 5Sa =，则GBM 6S a =， ∴GBO 5611Sa a a =+=， ∵点O 为直径DG 的中点， ∴DBO GBO 11SS a ==， ∴DBG GBO 222S S a ==， ∵点B 为线段DF 的中点，DGF DBG 244S S a ==，∴OBM DGF 554444S a S a ==．故答案为：544．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形中位线的判定和性质，三角形的中线的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）分别作A'B'=2AB、A'C'=2AC、B'C'=2BC得△A'B'C'即为所求．（2）根据中位线定理易得DE=12AC，DF＝12BC，EF＝12AB，D'E'=12A'C'=AC、D'F'=12 B'C'=BC、E'F'=12A'B'=AB，于是''2''''DD E D F E FDE F EF===，故可证△DEF∽△D'E'F'．【详解】解：（1）如图1，①作线段A'B'=2AB；②分别以A'、B'为圆心，以2AC、2BC为半径作弧，两弧交于点C'；③连接A'C'、 B'C'得△A'B'C'．△A'B'C'即为所求．证明：∵A'B'=2AB、A'C'=2AC、B'C'=2BC，∴''2''''AB AA B A C B CC BC===，∴△ABC∽△A′B′C′，∴2()4A B CABCS A BS AB'''''∆∆==．（2）证明：如图2，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE= 12AC ，DF ＝12BC ，EF ＝12AB ， ∵D '、E '、F '分别是A B C '''三边A B ''、B C ''、A C ''的中点， ∴D'E'=12 A'C'=AC 、D'F'=12 B'C'=BC 、E'F'=12 A'B'=AB ， ∴''2''''D D E D F E F DE F EF===， ∴△DEF ∽△D'E'F'．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．24．（1）BG=12,；（2）证明见解析【分析】（1）根据AD ∥BC ，点F 是AC 边上的中点，可证△ADF ≌△CGF ，得AD=CG ，再由BE ：AE=3：1及AD ∥BC ，得BG=3AD ，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG ；（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG ，又对顶角∠AFE=∠GFC ，可证△AFE ∽△GFC ，利用相似比证题．【详解】(1)解：∵AD ∥BC ，∴∠D=∠G ，又∠AFD=∠CFG ，AF=FC ，在△ADF 和△CGF 中D G AFD CFG AF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△CGF(AAS)，∴AD=CG ，FG=FD ，又∵AD ∥BC∴△ADE ∽△BGE ∴BE BG AE DA= 又BE ：AE=3：1，∴BG=3AD ，又AD=CG∴BC=2AD=8，解得AD=4，∴BG=3AD=12；（2）证明：∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠AEF=∠FCG ，又∵∠AFE=∠GFC，∴△AFE∽△GFC，EF AFFC FG=，又AF=CF，DF=GF，即EF CF CF FD=，∴FC2=FE•FD．【点睛】本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．25．（1）见解析；（2）α的度数为30°或150°；（3）422AC=+或422-【分析】（1）连接OA，OC，先证明△ABC是等腰直角三角形，然后证明△OAC是等腰直角三角形，可得四边形OCBA是矩形，再根据OA＝OC，即可证明结论；（2）连接OA，OAꞌ，可证明△AꞌCO与△ACO是等边三角形，可得∠AꞌCO＝∠ACO＝60°，根据在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2，即可得出答案；（3）连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD，先证明△DCA∽△CAB，可得DC AC AC AB=，设AC＝a，则AB＝a−1，根据⊙O的半径为4，CD＝8，可得出结论．【详解】（1）如图，连接OA，OC，∵∠ACF＝α＝45°，AB⊥EF∴△ABC是等腰直角三角形∵EF与⊙O相切于C∴∠OCB＝90°∴∠OCA＝45°∵OA＝OC∴△OAC是等腰直角三角形∴∠OCB＝∠CBA＝∠COA＝90°∴四边形OCBA是矩形∵OA＝OC∴矩形OCBA是正方形；（2）如图，当AC＝AꞌC＝4时，AB＝2，连接OA，OAꞌ，则△AꞌCO与△ACO是等边三角形∴∠AꞌCO＝∠ACO＝60°在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2∴∠ACB＝30°∴∠AꞌCB＝150°∴α的度数为30°或150°；（3）如图2，连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD∵CD为⊙O的直径∴∠DAC＝90°∴∠D+∠DCA＝90°∵∠DCA+∠ACB＝90°∴∠D＝∠ACB又∵∠DAC＝∠ABC＝90°∴△DCA∽△CAB∴DC AC AC AB设AC＝a，则AB＝a−1∵⊙O的半径为4∴CD＝8∴81a a a =-解得：14a =+24a =- ∴4AC =+或4-【点睛】本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，正方形的判定，等边三角形的判定和性质等，掌握这些知识点是解题关键．26．(2,4P -【分析】根据正方形的性质求出BO 和BQ 的长，再由COQ PBQ ，利用对应边成比例列式求出BP 的长，从而算出AP 的长，就可以得到点P 的坐标．【详解】解：∵正方形OABC 的边长是2，∴2OC BC QO ===，根据勾股定理，BO =，∴2BQ BO OQ =-=，∵//CO BP ，∴COQ PBQ ， ∴CO OQPB BQ =，即2PB =，解得2PB =，∴224AP AB BP =-=-=-∴(2,4P -．【点睛】本题考查平面直角坐标系和图象，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例列式求线段长．。

2019—2020年北京课改版九年级数学第一学期《相似三角形》章节检测题.docx

相似三角形章节题检测一、耐心填一填：(每空格2分，共14×2=28分)1、如果4x ＝5y ，那么x y ＝。

2、若340x y -=，则x y = , ______,=-+yx y x 3、在比例尺为1∶5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是______________km 。

4、如右图3，铁道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点下降0.5m ，长臂端点升高_________m 。

5、如图2所示（在上面），DE ∥BC ，AB ＝6，AD ＝4，AE ＝3，则AC ＝。

6、如图3所示（在上面），要使△ACD ∽△ABC ，需要增加的一个条件是。

M?0.5m图3EAB CD O7、如果两个相似三角形的相似比为5:3，则周长比是___________；面积比是_________.8、如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的周长为_______________________9、两个相似三角形的相似比为4：5，其中较小的三角形面积为16，则较大三角形面积是_____. 5,2,3，△A ’10、如果△ABC ∽△A ’B ’C ’,且△ABC 的三边长分别为B ’C ’的两边长分别为10,6，△A ’B ’C ’的第三边长为。

11、如右图，ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 交BD于点O ，212DOE S cm ∆=，则AOB S ∆=12. 如图，将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .二、细心选一选：(每题3分，共30分)13．下列各组长度的线段，是成比例线段的是（）( A ) 2 cm , 8 cm , 4 cm , 10 cm ( B ) 6 cm , 8 cm , 15 cm , 25 cm ( C ) 1.5cm 、3cm 、4cm 、1cm ( D ) 1cm 、2cm 、2cm 、4cm 14.下列说法正确的是（）A 、有一个角为40°的两个等腰三角形相似B 、有一个角为120°的两个等腰三角形相似C 、底角是35°的两个等腰梯形相似D 、邻边之比是4的两个平行四边形相似15.如图6，DE ∥BC ，在下列比例式中，不成立的是 ( ) (A)AB AE AC AD =；(B)DC AD BC DE =；(C)CD AC BE AB =；(D)ACABAD AE =；OABCDE16．如右图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（） A.0对 B.1对 C. 2对 D.3对17．如图，△ABC 中，若BC ∥DE ，AD=2，DB=3，则BCDE的值是（） A .32 B ．52 C ．25 D ．23 18．顺次连接三角形各边中点所得三角形面积与原三角形面积的比是（）（A ）1:2 （B ）2:1 （C ）1:4（D ）4:119．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD=8，DB=2，则CD 的长为（）A. 4B. 16C. 25D. 4520．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）④③②①A.①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④ 21．如图，已知DE // BC , CD 与 BE 相交于点 O ，并且S △DOE ：S △COB =4：9则 AE : AC =（）.( A ) 4:9 ( B ) 16: 81 ( C ) 2: 3 ( D ) l : 2FDBCAEO AB CDA 1B 1C 1A 2C 2B 2 xy22. 如图，△ABC 中，AD 为BC 边的中线,F 是AD 上的一点,且AF:DF=1:5,连接CF 并延长交AB 于点E,则AE:EB 等于( )A. 1:6B. 1:8C. 1:9D. 1:1023．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 ( )A ．2009235⎪⎭⎫⎝⎛B ．2010495⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．2008495⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．4018235⎪⎭⎫ ⎝⎛四、用心想一想：(共59分)24、如图所示，△ABC 在网格A 中，请在网格B 中画出与△ABC 相似的一个三角形，要求所画的两个三角形相似比不等于1，并求出相似比。

精品北师大版2019-2020九年级数学上册第四章图形的相似单元检测卷答案解析

第四章图形的相似单元检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知7x ＝9y(y ≠0)，那么下列比例式中正确的是( )A.7x ＝9y B.9x ＝7yC.y x ＝97D.7x＝y 92．下列各组图形中有可能不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形3．如图，直线a ，b ，c 被直线l 1，l 2所截，交点分别为点A ，C ，E 和点B ，D ，F .已知a ∥b∥c ，且AC ＝3，CE ＝4，则BDBF 的值是( ) A.34B.43C.37D.47(第3题) (第4题) (第6题) (第7题)4．如图，在平面直角坐标系中，有点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( ) A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)5．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ ＝P ′Q ′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( ) A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．位似6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( ) A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (6，0)，B (0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE ，使它与△AOB 位似，且相似比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( ) A ．(0，0)，2 B ．(2，2)，12 C ．(2，2)，2D ．(1，1)，128．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF 等于( ) A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.259．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF 等于( ) A ．2∶5∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．4∶10∶2510．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，且AB ＝8，AE ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，连接PC ，PE ，若△P AE 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第8题) (第9题) (第10题) (第13题) (第14题) 二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________．12．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k (a ＋b ＋c ≠0)，则k ＝________.13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC .若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE于点G ，CF ＝1，则BC ＝________，△ADE 与△ABC 的周长之比为________，△CFG 与△BFD 的面积之比为________．15．如图，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得到正方形A ′B ′C ′D ′，则点C 的对应点C ′的坐标为________．(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4 m 宽的区域DE ，已知点E 到窗口下的墙脚C 的距离为5 m ，窗口AB 高2 m ，那么窗口底端B 距离墙脚C ________m. 17．如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB ＝3，BF ⊥BP ，垂足是点B ，若在射线BF 上找一点M ，使以点B ，M ，C 为顶点的三角形与△ABP 相似，则BM 的长为________．18．如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正三角形AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1，再以正三角形AB 1C 1的边B 1C 1上的高AB 2为边作正三角形AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2，……，以此类推，则S n ＝________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，矩形ABCD 为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB 边上的点E 处有一小孔，光线从点E 处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D 处的小孔射出．已知AD ＝26 cm ，AB ＝13 cm ，AE ＝6 cm. (1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．(第19题)20．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，2)，B (3，1)，C (2，3)，以原点O 为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．(第20题)21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第21题) 22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．(第22题)23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s 的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在R t△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1.B 2.A3．C 点拨：因为a ∥b ∥c ，所以BD BF ＝AC AE ＝33＋4＝37.4．A 5.D6．B 点拨：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE . ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010. ∴AB ＝40 m . 7．B8．B 点拨：由∠A ＝90°，CF ⊥BE ，AD ∥BC ，易证△ABE ∽△FCB . ∴AB BE ＝CF BC .由AE ＝12×3＝1.5， AB ＝2，易得BE ＝2.5， ∴22.5＝CF3.∴CF ＝2.4. 9．D10．C 点拨：设AP ＝x ，则BP ＝8－x ，当△P AE ∽△PBC 时， AE BC ＝P A PB ，∴AE ·PB ＝BC ·P A ，即3(8－x )＝4x ，解得x ＝247. 当△P AE ∽△CBP 时，AE PB ＝P A BC ，∴AE ·BC ＝P A ·PB ，即3×4＝x (8－x )，解得x ＝2或6. 故满足条件的点P 的个数为3个．二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160. 12．2 点拨：∵a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k ，∴2a ＋2b ＋2ca ＋b ＋c＝k ，故k ＝2.易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件． 13．S 1＝S 2 点拨：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ，∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2. 14．2；；15．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得正方形A ′B ′C ′D ′，根据图形可得点C ′的坐标为(2，1)或(0，－1)．(第15题)易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论．16．2.5 点拨：由题意得CE ＝5 m ，AB ＝2 m ，DE ＝4 m.∵AD ∥BE ， ∴BC AB ＝CE ED ， ∴BC 2＝54，解得BC ＝2.5 m ，即窗口底端B 距离墙脚C 2.5 m.17.163或3 点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ， ∴BB 1＝12BC ＝1.在R t △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S .同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，…. 又∵S ＝12×1×3＝32， ∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n. 三、19.(1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD . 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF .(2)解：设CF ＝x cm ，则BF ＝(26－x )cm ， ∵AB ＝13 cm ，AE ＝6 cm ， ∴BE ＝7 cm ，由(1)得，△BEF ∽△CDF ， ∴BE CD ＝BF CF ，即713＝26－xx ，解得x ＝16.9，即CF ＝16.9 cm.20．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.(第20题)21．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠ADE ＝∠DEC .又∵∠AFE ＝∠B ，∠AFE ＋∠AFD ＝180°， ∴∠AFD ＝∠C ， ∴△ADF ∽△DEC .(2)解：在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝8. ∵△ADF ∽△DEC ， ∴AF CD ＝AD DE ，即438＝63DE ，解得DE ＝12. ∵AE ⊥BC ，AD ∥BC ， ∴AE ⊥AD .在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE ＝122－（63）2＝6. 22．解：由题意得，CD ＝DG ＝EF ＝2，DF ＝52，FH ＝4.∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ， ∴∠ABH ＝∠CDG ＝∠EFH ＝90°. 又∵∠CGD ＝∠AGB ，∠EHF ＝∠AHB ， ∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG BG ，EF AB ＝FH BH ，即CD AB ＝DGDG ＋BD，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD ， ∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝44＋52＋BD， ∴22＋BD ＝44＋52＋BD，解得BD ＝52， ∴2AB ＝22＋52，解得AB ＝54. 答：建筑物AB 的高度为54米．23．解：(1)由题意知AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时，△QAP 是等腰直角三角形，所以6－t ＝2t ，解得t ＝2.(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ ·CD ＋12AP ·BC ＝(36－6t )＋6t ＝36(cm 2)．在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQ AB ＝AP BC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t 6，即t ＝1.2；②当QA BC ＝AP AB 时，△P AQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3.所以当t ＝1.2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝4 5.∴AE ＝CE ＝2 5.∴AE BD ＝254＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC ＝45，CE ＝25，CD ＝4，∴AE BD ＝AC ＋CE BC ＋CD ＝45＋258＋4＝52.(第24题)(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .∴CE CA ＝CDCB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CE CA ＝CD CB 仍然成立．又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△ACE ∽△BCD .∴AE BD ＝AC BC .由(1)可知AC ＝4 5.∴AC BC ＝458＝52.∴AE BD ＝52.∴AE BD 的大小不变．(3)当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，如图②，∴BD ＝AC ＝45；当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD ＝AC 2－CD 2＝8.又易知DE ＝2，∴AE ＝6.∵AE BD ＝52，∴BD ＝1255.综上，BD 的长为45或1255.。

北京市海淀区2019届中考数学《相似多边形》专项复习训练含答案

北京市海淀区普通中学2019届初三数学中考复习相似多边形专项复习训练1．下列图形不相似的是( )A ．所有的圆B ．所有的正方形C ．所有的等边三角形D ．所有的菱形 2．下列说法中，错误的是( )A ．正六边形都相似B ．等腰直角三角形都相似C ．矩形都相似D ．正方形都相似 3．如图，下列各组图形是相似形的是( )A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②④ 4．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按如图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对5．如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( )A ．∠E ＝2∠KB ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL6．如图，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是( )A.x y ＝1B.x y ＝a bC.x y ＝ba D ．以上答案都不对 7. 两个相似多边形的周长之比为3，面积之比为m ，则3m等于( )A ．3 B.13 C.19D ．无法确定8. 两个相似多边形的最长边分别为10 cm 和25 cm ，它们的周长之差为60 cm ，则这两个多边形的周长分别为．9. 在一个矩形中剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长与宽之比为 . 10. 在如图所示的两个相似的四边形中，求x ，y ，∠α的值．11. 公园里有块草坪，其平面图如图所示，∠A ＝90°，其比例尺为1∶2000，根据图中标注的数据(单位：cm)，求该草坪的实际周长和面积．12. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10，在EF 上取一点M ，分别以EM ，MF 为一边作矩形EMNH ，矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD.令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？13. 某村有两个形状相似的鱼塘，承包金分别为9000元和15000元，王老汉准备承包其中一个，在没有任何测量工具的情况下，不知道承包哪个合算(单位面积的承包金越低越合算)．他让孙子小华给他计算一下，于是小华想了一个办法，以同样的速度绕鱼塘转一周，分别用了10分钟和15分钟，你知道小华会给爷爷提出什么建议吗？说明理由．14．如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝a ，BC ＝2a ，点F 在AD 上，四边形AEFG∽四边形ABCD ，且AE ＝23a.(1)求AG 的长；(2)求证：△ABE∽△ADG；(3)如果S 矩形ABCD ＝630 cm 2，求S 矩形AEFG .答案：1---7 DCBAB BB 8. 40cm 100cm9.1＋5210. 解：x ＝20，y ＝12，α＝80°11. 解：640 m 14400 m 212. 解：当x ＝52时，S 最大＝25213. 解：两鱼塘的周长之比为10∶15＝2∶3，故其面积比为4∶9，而两鱼塘的承包金为9000元与15000元，故大鱼塘单位面积的承包金低，承包大鱼塘较为合算 14. 解：(1)四边形AEFG∽四边形ABCD ，∵ABCD 是矩形，∴四边形AEFG 是矩形，∴AE AB ＝AGAD ，∵AE ＝23a ，AB ＝a ，AD ＝2a ，∴AG ＝43a(2)∵∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，又∵AB AD ＝AEAG， ∴△ABE ∽△ADG (3)S 矩形AEFG ＝280(cm 2)2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac ；②a(b ﹣c)＝ab ﹣ac ；③(b ﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，直线y ＝kx+b 交坐标轴于A 、B 两点，则不等式kx+4＜0的解集是（）A.x ＜﹣3B.x ＞﹣3C.x ＜﹣6D.x ＞﹣63．下列运算正确的是（） A.624a a a -=B.235(a )a =C.235a a a ⋅=D.623a a a ÷=4．如图，在反比例函数y ＝-2x的图象上有一动点A ，连结AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝kx的图象上运动，若tan ∠CAB ＝3，则k 的值为（）A ．23B ．6C ．8D ．185．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）A ．甲的速度是4km/hB ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．甲比乙晚到B 地3h6．如图，AB∥CD，直线L交AB于点E，交CD于点F，若∠2=75°，则∠1等于（）A.105°B.115°C.125°D.75°7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m8．下列运算正确的是( )＝﹣5 B.(x3)2＝x5C.x6÷x3＝x2D.(﹣14)-2＝169．如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为90°，120°．让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是（）A．14B．13C．512D．无法确定10．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，求这两年的年利润的平均增长率，设企业这两年的年利润平均增长率为x，则可列方程为（）A．300（1+x）2＝507 B．300（1﹣x）2＝507C．300（1+2x）＝507 D．300（1+x2）＝50711．不等式组5243xx+>⎧⎨-≥⎩的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．112．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC二、填空题13．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________14．使代数式3xx +有意义的x 的取值范围是_______ . 15．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：则2019在第________行．16．如果2(2+（a ，b 为有理数），那么a+b 等于_____． 17．如图，点A （1，a ）是反比例函数y ＝﹣3x 的图象上一点，直线y ＝﹣12x+12与反比例函数y ＝﹣3x的图象在第四象限的交点为点B ，动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，则点P 的坐标是_____．18．若矩形两条对角线的夹角是60°，且较短的边长为3，则这个矩形的面积为____．三、解答题19．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，试求x+y 是10的倍数的概率．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 向右平移2个单位后与双曲线y ＝ax（x ＞0）有唯一公共点A ，交另一双曲线y ＝kx（x ＞0）于B ．（1）求直线AB 的解析式和a 的值；（2）若x 轴平分△AOB 的面积，求k 的值．21．计算：2163()(-+⨯--．22．（1）计算：1020181|21)3tan 30(1)2-︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭（2）解不等式组：11210x x x --⎧->⎪⎨⎪->⎩（3）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两不等实数根，求1211x x +的值 23．观察下列等式：①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：（1）直接写出：第⑤个等式为；（2）猜想：第n 个等式为（用含n 的代数式表示），并证明．24．已知二次函数y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m ＋1（m 为常数），函数图像的顶点为C ．（1）若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C 的坐标；（2）该函数的图像与x 轴分别交于点A 、B ，若以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，求m 的值． 25．如图，AP 平分∠BAC ，∠ADP 和∠AEP 互补． (1)作P 到角两边AB ，AC 的垂线段PM ，PN ． (2)求证：PD ＝PE ．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．14．x≠-3 15． 16．10 17．（4，0） 18三、解答题 19．1 【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对（x ，y ）共有100个．满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）．故“x+y 是10的倍数”的概率为 1100.1100P ==．【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算． 20．（1）y ＝x ﹣2，a ＝﹣1；（2）k ＝3．【解析】【分析】（1）根据平移的性质求出一次函数的解析式，根据无交点求出a 的值，（2）解方程组12y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可求出A 的坐标是（1，﹣1），由x 轴平分△AOB 的面积，可知B 的纵坐标是1，代入一次函数解析式可求出B 的坐标是（3，1），即可求出答案．【详解】（1）直线y ＝x 向右平移2个单位后的解析式是y ＝x ﹣2，即直线AB 的解析式为y ＝x ﹣2，得：x ﹣2＝ax，则x 2﹣2x ﹣a ＝0， △＝4+4a ＝0，解得：a ＝﹣1，（2）由（1）可得方程组12y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得：11x y =⎧⎨=-⎩，A 的坐标是（1，﹣1）， ∵x 轴平分△AOB 的面积， ∴B 的纵坐标是1，在y ＝x ﹣2中，令y ＝1，解得：x ＝3，则B 的坐标是（3，1），代入y ＝kx可得：k ＝3．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，平移的性质，三角形的面积的应用，及待定系数法求反比例函数解析式，题目是一道比较好的题目，难度适中． 21．【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝9(6-,96=-3=-【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键． 22．（1）2-；（2）1＜x ＜3；（3）﹣3．【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算（2）根据不等式组的解法解答，注意去分母（3）先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求未知数，再化简求值. 【详解】解：（1）120181|21)3tan 30(1)2-︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭21312321122=--⨯+-=---=-（2）112x x ---> 11|210x x x --⎧->⎪⎨⎪->⎩ 解不等式112xx --->，得：x ＜3，解不等式x ﹣1＞0，得： 1,310x x x ><->故不等式组的解集为1＜x ＜3；（3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣1，则121212113x x x x x x ++==- ．【点睛】此题重点考察学生对实数的运算，不等式组的解，一元二次方程根与系数之间的关系的理解，掌握实数的运算法则，不等式组和一元二次方程的解法是解题的关键. 23．（1）36﹣35＝2×35；（2）3n+1﹣3n＝2×3n．【解析】【分析】由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式，以及第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n 、n ．【详解】解：（1）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式36﹣35＝2×35；故答案为：36﹣35＝2×35；（2）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n 、n ，即3n+1﹣3n ＝2×3n ．证明：左边＝3n+1﹣3n ＝3×3n ﹣3n ＝3n ×（3﹣1）＝2×3n ＝右边，所以结论得证．故答案为：3n+1﹣3n ＝2×3n ．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题．24．（1）11,24⎛⎫-⎪⎝⎭，（2）m的值为1或－1【解析】【分析】（1）把（0，0）代入y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1可求出m的值，可得二次函数解析式，配方即可得出C点坐标；（2）令y=0，可用m表示出x1和x2，即可表示出AB的距离，根据二次函数解析式可用含m的代数式表示顶点C的坐标，根据以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形可得关于m的方程，解方程求出m的值即可.【详解】（1）解：∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1的图像经过点（0，0）∴2m＋1＝0，∴m＝－12，当m＝－12时，y＝x2－x＝(x－12)2－14，∴顶点C的坐标(12，－14).（2）解：当y＝0时x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝0∴x1＝2m＋1，x2＝1，∴AB＝2m，∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝(x－m－1)2－m2，∴顶点C的坐标(m＋1，－m2)，∵以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，∴2m2＝2m，当2m2＝2m时，m1＝0，m2＝1，当2m2＝－2m时，m1＝0，m2＝－1，当m＝0时，AB＝0（舍）答：m的值为1或－1.【点睛】本题考查二次函数的图象及二次函数与一元二次方程，根据二次函数的解析式表示出顶点C的坐标和AB 的长是解题关键.25．(1)画图见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意作图即可；(2)由PM⊥AB，PN⊥AC，PA平分∠BAC，可得PM＝PN，再求出∠DPM＝∠EPN，证明△PMD≌△PNE，即可求解.【详解】解：(1)线段PM，PN如图所示．(2)∵PM⊥AB，PN⊥AC，PA平分∠BAC，∴PM＝PN∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠MPN+∠MAN＝180°，∵∠ADP+∠AEP＝180°，∴∠DAE+∠DPE＝180°，∴∠MPN＝∠DPE，∴∠DPM＝∠EPN，∴△PMD≌△PNE(ASA)，∴PD＝PE．【点睛】本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在△ABC 中，高AD 和BE 所在的直线交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC 等于( ) A.45°B.120°C.45°或135°D.45°或120°2．马大哈做题很快，但经常不仔细，所以往往错误率非常高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（） A ．a 8÷a 4＝a 2B ．a 3•a 4＝a 12C ．a 5+a 5＝a 10D ．2x 3•x 2＝2x 53．如图，从A 点出发的光线，经C 点反射后垂直地射到B 点，然后按原路返回A 点．若∠AOC ＝33°，OC ＝1，则光线所走的总路线约为( )A ．3.8B ．2.4C ．1.9D ．1.24．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为（3a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（）A.3a ＝﹣b ﹣1B.3a ＝b+1C.3a+b ﹣1＝0D.3a ＝2b5．如图，曲线2C 是双曲线15:(0)C y x x=>绕原点O 逆时针旋转45︒得到的图形，P 是曲线2C 上任意一点，过点P 作直线PQ l ⊥于点Q ，且直线l 的解析式是y x =，则POQ △的面积等于（）A B ．52C ．72D ．56．如图，小明想测量斜坡CD 旁一棵垂直于地面AE 的树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60︒，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30︒，已知斜坡CD 的长度为20m ，斜坡顶点D 到地面的垂直高度10DE m =，则树AB 的高度是（）mA ．B ．C ．30D ．407．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（）A ．4B ．C ．3D ．28．如图，60AOB ∠=，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于,C D 两点，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段6OM =，则M 点到OB 的距离为（）A.3C.6D.9．如图,AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,那么图中与△ABD 面积相等的三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10．若一次函数y ax b =+（,a b 为常数且0a ≠）满足如表，则方程0ax b +=的解是（）A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．3x =11．在平面直角坐标系xOy 中，作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是22(1)1y x =+-，则抛物线A 所对应的的函数解析式是( )A.22(3)2y x =-+- B.22(3)2y x =-++ C.22(1)2y x =---D.22(1)2y x =--+12．将两个等腰Rt △ADE 、Rt △ABC 如图放置在一起，其中∠DAE ＝∠ABC ＝90°．点E 在AB 上，AC 与DE 交于点H ，连接BH 、CE ，且∠BCE ＝15°，下列结论：①AC 垂直平分DE ；②△CDE 为等边三角形；③tan ∠BCD ＝AB BE；④EBC EHC3SS=；正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题13．在矩形ABCD 中，8AD =，14AB =，E 为DC 上一个点，把ADE ∆沿AE 折叠，使点D 落在点'D 处，若以点C 、B 、'D 为等腰三角形时，则DE 的长为_____________ .14．商店里某套衣服原本售价为400元每套，经过连续两次降价后，现价为每套256元，假设两次降价的百分率都为x ，根据题意可列方程为____．15．图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA 1,OA 2,…,OA 25这些线段中有___条线段的长度为正整数.16．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____．17．小明做这样一道题：“计算：|（－4）＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于9，那么“■”表示的数是_____________18．一元二次方程23210x x -+=的根的判别式∆_______0.（填“>”，“=”或“<”）三、解答题19．某公司将农副产品运往市场销售，记汽车行驶时间为t(h)，平均速度为v(km/h)(汽车行驶速度不超过100km/h)，v随t的变化而变化．t与v的一组对应值如表：(1)写出一个符合表格中数据，v(km/h)关于t(h)的函数解析式；(2)汽车上午7：30出发，能否在上午10：00之前到达市场？请说明理由．20．计算：21 12sin452-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21．某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜．通过两次订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元．（1）请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元？（2）该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的冰糖橙箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，但是每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍，请你设计进货方案，并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．23．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．24．为弘扬和传承红色文化，某校欲在暑假期间组织学生到A、B、C、D四个基地开展研学活动，每个学生可从A、B、C、D四个基地中选择一处报名参加．小莹调查了自己所在班级的研学报名情况，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中A、D两部分的圆心角度数之比为3：2．请根据图中信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）求去往A地和D地的人数，并补全条形统计图；（3）小莹和小亮分别从四个基地中随机选一处前往，用树状图或列表法求两人前往不同基地的概率．25．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,动点D从点A出发,沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点E同时从点B出发,以每秒2个单位的速度沿射线BC方向运动,当点D停止时,点E也随之停止,连结DE,当C．D．E三点不在同一直线上时,以ED、EC我邻边作▱ECFD,设点D运动的时间为t(秒).(1)用含t的代数式表示CE的长度。

北师大版九年级上册第四章图形的相似比例的性质专题练习题含答案[1]

北师大版九年级上册第四章图形的相似比例的性质专题练习题1．对于线段a ，b ，如果a ∶b ＝2∶3，那么下列四个选项一定正确的是( )A ．2a ＝3bB ．b －a ＝1C.a ＋2b ＋3＝23D.a ＋b b ＝522. 如图，如果AD AB ＝AE AC成立，下列结论中不正确的是( )A.AB AD ＝AC AEB.AD DB ＝AE ECC.AD AE ＝EC BDD.AD AE ＝AB AC3．已知a b ＝c d ＝e f＝5(b ＋d ＋f≠0)，且a ＋c ＋e ＝10，则b ＋d ＋f ＝________． 4．已知a b ＝c d ＝e f ＝14，且3b ＋d －7f ＝16，则3a ＋c －7e ＝________． 5．若a ＋23＝b 4＝c ＋56，且2a －b ＋3c ＝21.求a∶b∶c.6．若a ，b ，c 为实数，且有a b ＋c ＝b a ＋c ＝c a ＋b＝k ，则k 的值为________． x ＋y 17x8．已知x∶y∶z＝4∶5∶7，则3x －2y ＋z 2x ＋3y －2z＝________． 9 ．已知5x ＋y 3x －2y ＝12，则x ＋y x －y＝________． 10．如图，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝65，且△ABC 与△ADE 周长差为4，求△ABC 与△ADE 的周长．11．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且a －b b ＝b －c c ＝c －a a，则△ABC 为________三角形．12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，且a ＋b ＋c ＝12. (1)试求a ，b ，c 的值；(2)试求△ABC 的面积．答案：1. C2. C3. 24. 45. 令a ＋23＝b 4＝c ＋56＝m ，则a ＋2＝3m ，b ＝4m ，c ＋5＝6m ，∴a ＝3m －2，b ＝4m ，c ＝6m －5.∵2a －b ＋3c ＝21，∴2(3m －2)－4m ＋3(6m －5)＝21，即20m ＝40，解得m ＝2，∴a ＝3m －2＝4，b ＝4m ＝8，c ＝6m －5＝7.∴a ∶b ∶c ＝4∶8∶7.6. －1或127. 898. 19. －31110. ∵AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝65，∴AB ＋AC ＋BC AD ＋AE ＋DE ＝65，即C △ABC C △ADE＝65.又C △ABC －C △ADE ＝4，∴C △ABC ＝24，C △ADE ＝20.11. 等边12. (1)设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k ，得a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8.∵a ＋b ＋c ＝12，∴3k －4＋2k －3＋4k －8＝12，解得k ＝3，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.(2)∵32＋42＝52，即b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形，∴S △ABC ＝12×3×4＝6.。

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2019-2020 北京初中数学竞赛九年级比例与相似专题（含答案）1. 设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152．又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=． 2. 如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．解析设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==．于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3. 在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD之长度(用a 、b 、f 表示)．解析如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． ADEG FB HCAEP BDCG K MNF4. 已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA⊥且交于E ，求证：CE MN =．解析如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ===，1AE ED ==，故2AD =，()112MN AD BC CE =+==．5. 在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =．解析如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．6. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．AB D CADEMN BCAEFGB解析由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===．于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．7. 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形．解析如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==．由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．8.ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==．解析如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值．评注不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．G AE BDCFA E DQGH POB F CF AEB G D C9. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥．解析如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥．10. 如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．解析易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====，于是PR QB ∥． 11. 梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+． AF DOB CEARP Q BDC解析11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC=+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论．12. 设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠．解析由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=．如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．13. 设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．A DE MF GNHBCCABbca DDA FGEHBC K解析延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==．设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 14. AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =．解析如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+，故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．15. 足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则A P h AA H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h '''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．ADF B EG P CA MBCND P图(a)跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h ll PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---，同理B BC CD D PB PC PD'"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．16. 求日高公式．解析如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh HRxDB'A A'hhCB。