高中数学反函数例题精讲及练习

试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．

令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．

事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，

因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．

【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函

数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．

解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关

【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d

++解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx a

dx b cx a ax b cx d

-+-+--+-++-()

解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]12121112173

73373

12-----x x x 【例6】解法一若函数＝

，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x

-+-++-+----12

1212112212111系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令

＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12

因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，

∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．

【例1】求下列函数的反函数：

解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，

【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --1

11证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝

，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax a

a x ax ----11

1111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111

(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝

≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝

≤．＝－≤≤－＜≤11

2x x +⎧⎨⎪⎩⎪解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝

≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521

53253232

x x x x y y y y -+-++-+-由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．

解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，

解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，它们的图像如图2．4－2所示．

(1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．

解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝

≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11

111122x x y y x x

++---解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，

得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，

x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，

故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1由＝－，得反函数＝＋＋≥－．

函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．

y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1

--+x 2

3【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113

x x a ++

令x ＝0，∴a ＝－3．

或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是

{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．

反函数与周期函数

1、 y =)1(12≤-x x 的反函数是

2、下列四组函数中互为反函数的一组是（）

A y=x 2与y=x

B y=5+x 与y=5-x

C y=1

1-x 与y=x-1 D y=x 3 与y=3x 3、下列函数中，既是（0，2

4、知f(x)在其定义域（-]0,∞上存在反函数，且f(x-1)=x 2-2x, 则f –1(2

1-)= 5、已知f(x)是定义R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)=x,则

f(1.5)=

6、函数y=)0(≥-x x 的反函数是

7、f(x)= )cos (sin 2

log x x -的最小正周期是解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝

，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313

-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1

若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x

8、函数y=1

1+-x x e e 的反函数的定义域是 9、设h(x)满足h(x+a)=)0()(1)(1≠+-a x h x h ，求证：h(x)的周期为2a

10、求f(x)=)10(log )1(

≠>-a a x a

a 且的反函数。

11、求f(x)=)10(log 11<<-+a x x a 的反函数。

反函数-高中数学知识点讲解

反函数 1．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x ＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 1/ 1

高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件

课题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程：一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-= y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t =；由函数62+=x y 得出

高中数学—16—对数反函数—学生版

一、对数 1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . 易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系： a b =N ?log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。 3、对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m n a M = n m log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =b N a a log log （0