完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式(课件)八年级数学上册(人教版)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.2完全平方公式
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种
植不同的新品种.
p2+2p+1
P2-2p+1
m2-4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)
(m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
=1002-2×100×1+12
=10000+400+4
=10000-200+1
=10404
=9801
利用完全平方公式简便计算：
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
完全平方公式的6种变形
完全平方公式的6种变形
完全平方公式的6种变形
完全平方公式是数学中用于求解一元二次方程的根的一种公式，它可以表示为：$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
它有六种变形，即：
（1）$$ ax^2 = -bx - c $$
（2）$$ ax^2 = bx + c $$
（3）$$ ax^2 + c = bx $$
（4）$$ ax^2 - c = bx $$
（5）$$ ax^2 + bx = -c $$
（6）$$ ax^2 - bx = c $$
从上述六种变形来看，式子中的$a$,$b$,$c$是变形过程中，满足方程一定性
质的参数，一般情况下$a$,$b$都不能为0，改变其值，可以使方程更好地求解。
当$a$，$b$，$c$具有确定的值时，可以利用完全平方公式来求解方程的根。
例如，方程 $$ x^2+7x+10=0 $$ 的运行结果为$x=-2.5$和$x=-3.5$，可以用完全
平方公式$x^2-7x+10=0$，来检验结果是否正确：
$$ x^2-7x+10=（x-2.5）（x-3.5） $$
从计算结果可以看出，完全平方公式计算的结果是正确的。
总之，完全平方公式是一种重要的数学工具，它可以将一元二次方程改写成特
殊的形式，以便更容易地解决方程。
六种变形使用不同的参数，因此，在求解一元二次方程的过程中，可以根据实际情况选用最合适的形式，从而更容易地获得正确的解。
完全平方公式及各种典型问题ok课件
01
总结：完全平方公式的基本形式 和变形
02
通过简单的例题，让同学们熟悉 完全平方公式的各种形式，包括 基本的、变形的、和其他与完全 平方公式相关的内容。
提高练习题
总结：完全平方公式的应用和扩展
通过一些稍有难度的例题，让同学们 了解完全平方公式的应用和扩展，包 括与其他数学知识的结合、变形后的 应用等。
公式结构
这是一个基本的数学公式，用于计算一个数的平 方。公式中的“$a$”和“$b$”是变量， “$\pm$”表示正负两种情况。
公式的重要性
该公式是代数、几何等领域中广泛应用的工具， 可以帮助我们解决很多数学问题。
完全平方公式的性质
01
02
03
互逆性
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，这个 公式可以正向使用，也可 以逆向使用。
法需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用 ，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例 如，在解决几何问题时，完全平方公式可以 用于计算面积、周长等；在解决代数问题时 ，完全平方公式可以用于因式分解、化简等 。此外，完全平方公式还可以用于解决一些
因式分解
完全平方公式可以用于因式分解 ，将一个多项式分解为若干个因 式的乘积。
完全平方公式的实际应用案例
物理应用
在物理学中，完全平方公式可以用于 计算各种量，如速度、加速度等。
数学应用
在数学中，完全平方公式可以用于解 决各种问题，如代数方程、不等式等 。
05 完全平方公式的练习与巩固
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。
完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。
本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。
完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。
在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。
完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。
完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。
以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。
七下完全平方公式变形
完全平方公式是初中数学中的一个重要概念，它描述了一个二项式的平方的展开形式。
在七年级下册的数学学习中，我们通常会接触到完全平方公式的变形和应用。
下面，我将就完全平方公式的变形进行详细的阐述。
首先，我们来回顾一下完全平方公式的基本形式。
对于一个二项式a+b或a-b的平方，其展开形式分别为(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。
这两个公式揭示了二项式平方后各项系数之间的关系。
接着，我们来探讨完全平方公式的变形。
变形通常涉及到对公式中的各项进行重新组合或调整，以适应不同的解题需求。
例如，我们可以将公式中的2ab项拆分为两个相等的部分，得到(a+b)²=a²+b²+2ab。
这样的变形有助于我们更直观地理解公式中各项之间的关系，并方便我们在解题时进行运用。
除了对公式本身的变形外，我们还需要关注完全平方公式在实际问题中的应用。
在实际问题中，我们往往需要根据题目的要求，对公式进行适当的变形和调整。
例如，在求解某个代数式的值时，我们可能需要将给定的代数式转化为完全平方的形式，然后利用完全平方公式进行计算。
在变形和应用完全平方公式的过程中，我们需要注意以下几点：首先，要熟练掌握公式的基本形式；其次，要理解公式中各项的意义和作用；最后，要根据题目的要求灵活运用公式进行变形和计算。
总之，完全平方公式的变形是七年级下册数学学习的重要内容之一。
通过掌握公式的基本形式和变形方法，我们可以更好地理解和应用完全平方公式，提高解题能力。
同时，我们也需要不断练习和巩固所学知识，以便在实际问题中能够灵活运用完全平方公式进行解题。
完全平方公式4个变形
完全平方公式4个变形
五年级数学课程中，求解完全平方公式是经常涉及到的一个技能，它有四种变形：
1、一元二次一般式。
这个式子有ax^2+bx+c=0，是含有一个未知数x就可以完成完全平方公式，这里是求ax^2+bx+c=0的解，用二次完全平方公式可以写成：x=（-b±√(b^2-4ac))/2a，从这个公式可以看出，在求解的时候只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根就可以求得x的解。
2、展开完全平方式。
展开完全平方式包括
ax^2+2bx+c=0，这是当b≠0时完全平方式可以分解为两个完全平方和的形式，其公式可以表示为x=(-
b±√(b^2-ac))/a，只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根，就可以求得x的解。
3、完全平方比例定理。
这个定理是说，当
y=ax^2+bx+c=0时，x的取值范围是(-
c/b)±√(c^2/b^2−a/b)，所以只要根据这个公式计算出x
的取值范围，就可以求得坐标，并通过坐标表示法确定图形的位置，也可以在图形上做出一些判断。
4、棱锥面完全平方式。
高中数学中最常用的是棱锥面
完全平方式，它的式子有：
z=ax^2+2bxy+y^2+2cx+2dy+e，要是把其中的常数代入
到完全平方的比例定理中去求解，可以求得x和y的值，而且它可以用来画出棱锥面的三维图形。
上述是完全平方公式的四种变形，它们分别有不同的求解方法，每种变形又能应用于不同的场景，学生学习完整括这四种变形，可以更快更有效地完成各种应用题，既可以在计算数学机器上求解，也可以使用绘图系统求解。
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完全平方公式的变形及其应用
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，可以使用完全平方公式来
求解其根。
下面将介绍完全平方公式的变形及其应用。
在进行完全平方公式的变形之前，首先要将一般形式的二次方程进行
变形，使其具有完全平方的形式。
通过配方，将二次项与线性项合并，得
到完全平方的形式。
(a+b)² = a² + 2ab + b²
对于二次项 2ab，可以找到两个数 a 和 b，使得 2ab = bx。
从而将
a 和
b 归纳出来。
利用上面的思路，将二次方程进行配方：
ax² + bx + c = a (x² + bx/a) + c = a (x² + (b/2a)² - (b/2a)²) + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c
再将二次项转化成完全平方的形式，可得：
ax² + bx + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c
在进行完全平方公式的变形之后，我们可以使用该公式来求解二次方
程的根。
例如，对于二次方程x²+6x+9=0，可以采用完全平方公式来求解。
将该方程表示为完全平方的形式，可以得到：
(x+3)²=0
从而可以直接得到方程的解为x=-3
顶点的坐标可以通过完全平方公式得到。
对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点的 x 坐标为 -b/2a，将其代入函数中即可得到 y 坐标。
图像的开口方向可以通过二次项的系数a的符号来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口朝上，当a<0时，二次函数的图像开口朝下。
最值可以通过完全平方公式和顶点坐标来求解。
当二次函数开口朝上时，它在顶点处取得最小值，最小值为该顶点的y坐标。
当二次函数开口朝下时，它在顶点处取得最大值，最大值为该顶点的y坐标。
总之，完全平方公式是一种非常重要的数学工具，可以帮助我们求解二次方程的根、确定二次函数的顶点、图像的开口方向以及最值等问题。
它能够简化问题的求解过程，并帮助我们更好地理解二次函数的性质。