完全平方公式和平方差公式的应用

完全平方公式和平方差公式的应用(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。

公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。

(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、×5、×6、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x- 12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 . 。

公式结构特点：左边： 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。

公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2=(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2+（a-b ）2= 4、(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题： 1、2)(y x + 2、2)23(y x - 3、2)21(b a + 4、2)12(--t5、2)313(c ab +-6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、+2二、利用完全平方公式计算： （1）1022（2）1972三、计算： （1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+-四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4+=++x k x x，求k 值。

2、 若k x x++22是完全平方式，求k 值。

3、已知13a a +=，求221a a+的值巧用平方差公式解题 平方差公式 22))((b a b a b a -=-+ 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。

在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例1、计算：22)111049()11150(- 解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作11150，将b 看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍22)111049()11150(-=11200112100)11104911150)(11104911150(=⨯=-+ 例2、计算：1.1009.991002⨯-解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99⨯变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解1.1009.991002⨯-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222=--=+--例3、计算：2200720052006222-+解析：直接计算，数值较大，可先将分母22007200522-+变形为)12007()12005(22-+-，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=)12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062222-++-+=-+-212006200622006)20082004(2006200620082006200420062006222=⨯⨯=+⨯=⨯+⨯例4、计算：)1011()411)(311)(211(2222----解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+-=20111011211011109454334322321=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。

原式=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(643216842++++++++-=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(6432168422+++++++-=1)13)(13)(13)(13)(13)(13(643216844++++++-=1)13)(13(6464++-= =3232412812881)3(3113===+- 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1所以1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++未位数是1计算：（1）、1.109.9⨯ （2）、2007200520062⨯- （3）、229.91.10-（4）、试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12)(12(643216842++++++++的未位数完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式 （1）ab b a b a 4)()(22+-=+（2）ab b a b a2)(222±=+（3）)(2)()(2222b a b a b a +=-++（4）)()(2222b a b a ab +-+=（5）2)1(1222-+=+a a a a二、完全平方公式变形的应用 例1 已知216,8c ab ba +==+，求2008)(cb a +-的值。

解：由变式（1）得： 222224)16(484)()(c c ab b a b a -=+-=-+=-所以04)(22=+-c b a 所以0,0==-c b a所以0)(2008=+-c b a例2 已知2222,3)(,7)(y x y x y x +=-=+求的值。

解：由变式（3）得：52372)()(2222=+=-++=+y x y x y x 例3 已知,2,122=+=+y x y x 求44y x +的值。

解：由变式（4）得：)()(2222y x y x xy +-+= 212-=1-=所以21-=xy 再由变式（2）得： 22222442)(y x y x y x-+=+22)21(22-⨯-=214-= 27=例4 已知0132=++x x ，求441xx +的值。

解：由题意知0≠x在0132=++x x 的两边都乘以x1得：31-=+xx 由变式（5）得：72)3(2)1(12222=--=-+=+x x xx47272)1(1222244=-=-+=+xx x x例1 若,x y 为有理数，且满足22312120x y y +-+=，求x y 的值．分析：欲求x y 的值，须求出,x y 的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．解：22312120xy y +-+=，223(44)0x y y +-+=， 223(2)0x y +-=，∵220,(2)0x y -≥≥，∴220,(2)0x y =-=，即0,2x y ==，∴x y =20=1．例2 已知2,5a b b c-=--=，求222a b c ab bc ac ++---的值．分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,,a b c 的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．解：∵ 2,5a b b c -=--=，∴3a c -=，∴222a b c ab bc ac ++---=2221(222222)2a b c ab bc ac ++---=()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ =()22212532⎡⎤-++⎣⎦=19．例3 试说明不论,x y 为何值时,代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.分析：本题实质就是证明2246140xy x y ++-+>.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．解: 224614x y x y ++-+=2244691xx y y +++-++=22(2)(3)1x y ++-+∵2(2)x +≥0,2(3)y -≥0,∴22(2)(3)1x y ++-+>0.即代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.平方差公式专项练习题A 卷：基础题一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．B卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少 四、经典中考题5．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3=3a 6B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3D ．（－13a －4b ）（13a －4b ）=16b 2－19a 26．计算：（a+1）（a －1）=______．C 卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，（1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n）=______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+ (2)=______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值 2、已知0136422=+-++y x y x，y x 、都是有理数，求y x 的值。