2006考研数二真题及解析
考研数学二解答题专项强化真题试卷53(题后含答案及解析)
考研数学二解答题专项强化真题试卷53(题后含答案及解析)题型有：1.1．设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz/dx.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学2．(92年)已知f”(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)成立．正确答案：不妨设x1≤x2，由拉格朗日中值定理可知f(x1)一f(0)=f’(c1)x1 (0＜c1＜x1) f(x1+x2)一f(x2)=f’(c2)x1(x2＜c2＜x1+x2)又f”(x)＜0，则f’(x)单调减少，故f’(c2)＜f’(c1)，而x1＞0则f(x1+x2)一f(x2)＜f(x1)一f(0)又f(0)=0，则f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2) 涉及知识点：一元函数微分学3．(2006年试题，16)求不定积分正确答案：用积分公式求解解析：用分部积分法和换元积分法．知识模块：一元函数积分学4．函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式。
(1)求导数f(x)；(2)证明：当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立．正确答案：[详解1](1)根据题设，有(x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(x)dt ＝0，上式两边对x求导，得(x＋1)f”(x)＝－(x＋2)f’(x)，即。
两边积分，得lnf’(x)＝－x＋ln(x＋1)＋lnC，即有。
在题设等式中令x＝0，得f’(0)＋f(0)＝0，又f(0)＝1，于是f’(0)＝－1，代入f’(x)的表达式，得C＝－1，故有(2)当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)＝1，所以f(x)≤f(0)＝1．设ψ(x)＝f(x)－e－x，则ψ(0)＝0，ψ’(x)＝f’(x)＋ex＝。
当x≥0时，ψ’(x)≥0，即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)＝0，即有f(x)≥e－x．综上所述，当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．[详解2](1)解法同详解1．(2)由于f(x)＝f(0)＋∫0xf’(t)dt ＝，由于当t≥0时，，于是由定积分的性质得，因此，当x≥0时，有e－x≤f(x)≤1．解析：[分析] 含有变限的定积分问题，一般都是先求导，引出一微分方程．本题若直接求导不能消去积分，因此应先乘以x＋1，再求导．(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果，引进适当的辅助函数后，用单调性即可完成证明．[评注1]将方程化为(1＋x)f’(x)＋(1＋x)f(x)－∫0xf(t)dt＝0的目的是通过求导能消去变限积分∫0xf(t)dt，应注意掌握这种技巧．[评注2] 如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质，但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式，则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系，即有f(x)＝f(a)＋∫axf’(t)dx．知识模块：一元函数积分学(2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m，根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．5．根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；正确答案：由题设，设t时刻时液面的高度为y，则此时液面面积S=π[φ(y)]2，由已知=π，即得S=πt+S0=πt+4π因此πt+4π=π[φ(y)]2，从而φ2(y)=4+t(1)此即t与φ(y)之间的关系式；当t时刻液面高度为y时，容器内液体体积为由已知，y=3t，则将式(1)代入此式得涉及知识点：微分方程6．求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分)正确答案：将式(2)两边对)，求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ’(y)，即解此方程得φ(y)=由已知φ(0)=2，则可推知C=2，所以曲线x=φ(y)为解析：考查了应用定积分求旋转体的体积和微分方程的求解方法．知识模块：微分方程7．[2002年] 已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵．(1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．正确答案：将所给等式变形整理为(A一2E)C=E的形式可证A一2E可逆，也可利用命题2．2．1．6证之．进而求解矩阵方程．解一(1)在所给矩阵等式两边左乘A，利用AA-1=E，有2B=AB一4A，(A一2E)B一4A=0．在以上矩阵等式两端同加8E，得到(A一2E)B－4(A一2E)=8E，即(A一2E)[(B一4E)／8]=E．故A一2E可逆，且A一2E=[(B一4E)／8]-1，即A=[(B 一4E)／8]-1+2E．(2)利用命题2．2．1．5(1)易求得(B一4E)-1=则A=2E+8(B 一4E)-1= ①解二利用命题2．2．1．6求之．由所给方程易求得AB一4A一2B=0，因而a=－4，b=－2，c=0，ab—c=8≠0．由该命题即得(A一2E)(B一4E)=8E，A一2E=[(B一4E)／8]-1=8(B一4E)-1，即A=2E+8(B一4E)-1．由解一知式①成立．涉及知识点：矩阵8．(14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换设x=(x1，x2，x3，x4)T，选取x4为自由未知量，则得方程组的一般解：x1=-x4，x2=2x4，x3=3xx4(x4任意)．令x4=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为α=(-1，2，3，1)T(Ⅱ)对矩阵[A┆E]施以初等行变换记E=[e1，e2，e3]，则方程组Ax=e1的同解方程组为，从而得Ax=e1的通解为x=k1α+，k1为任意常数，同理得方程组Ay=e2的通解为y=k2α+，k2为任意常数，方程组Ax=e3的通解为z=k3α+，k3为任意常数，于是得所求矩阵为B=[x，y，z]=+[k1α，k2α，k3α]或k1，k2，k3为任意常数．涉及知识点：线性方程组9．正确答案：10．正确答案：。
2006年考研数学试题详解及评分参考
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(6) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [0， 3] 上的均匀分布，则
P{ max { X , Y } £ 1 } =
【答】 应填 1 / 9 .
【解】 P{ max { X , Y } £ 1} = P{ X £ 1, Y £ 1} = P{ X £ 1} × P{Y £ 1} =
(13) 设 A , B 为随机事件，且 P ( B ) > 0 ， P ( A | B ) = 1 ，则必有 (C) P ( A U B ) = P ( A) . 【答】 应选 (C). 【解】 因 P ( A | B ) = (A) P ( A U B ) > P ( A) . (D) P ( A U B ) = P ( B ) . (B) P ( A U B ) > P ( B ) .
.
【答】 应填 2 . 【解】 因 x ® 0 时， ln(1 + x) : x, 1 - cos x : (2) 微分方程 y ¢ =
1 2 x×x x ，故原式= lim 1 2 = 2 . x 0 ® 2 2 x
y (1 - x) 的通解是 . x 【答】 应填 y = C x e - x （ C 为任意常数）. dy 1 - x 【解】 分离变量，得 = dx . 两边积分，有 ln | y |= ln | x | - x + C1 ，即 y x | y |= eC1 | x | e- x . 记 C = ± eC1 ，则有 y = C x e - x . 由于 y = 0 也是原方程的解，故上式中 C 可以为零，于是得通解 y = C x e - x （ C 为任意常数）. x 2 + y 2 ( 0 £ z £ 1 )的下侧，则 òò xdydz + 2 ydzdx + 3( z - 1)dxdy = .
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc
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（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若 为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )．
考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2.doc
考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 2.(2010年试题，2)设y 1，y 1是一阶非齐次微分方程y " +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．（分数：2.00）3.(2003年试题，二) 2.00）4.(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x 2.00）B.2πC.π5.(2011年试题，一)微分方程y "一λ2 y=e λx +e -λx (λ>0)的特解形式为( )．（分数：2.00）A.a(e λx +e -λx )B.ax(e λx +e一-λx )C.x(ae λx +be -λx )D.x 2 (ae λx +be -λx )6.(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是( )．（分数：2.00）A.y """ +y ""一4y " -4y=0B.""" +y "" +4y " +4y=0C.""" -y "" -4y " -4y=0D.""" -y "" +4y " -4y=07.(2006年试题，二)函数y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x满足的一个微分方程是( )．（分数：2.00）A.y ""一y "一2y=3xe xB.y ""一y "一2y=3e xC.y "" +y "一2y=3xe xD.y ""一y "一2y=3e x8.(2004年试题，二)微分方程y "" +y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为( )．（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.)y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx)C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx9.(2000年试题，二)具有特解y 1=e -x，y 2=2xe -x,y 3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )．（分数：2.00）A.y """一y ""一y " +y=0B.y """ +y ""一y "一y=0C.y """一6y "" +11y "一6y=0D.y """一2y ""一y " +2y=0二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.(2012年试题，二)微分方程ydx+(x一3y 2 )dy=0满足条件y｜x=1 =1的解为y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________11.(2011年试题，二)微分方程y " +y=e -x满足条件y(0)=0的解为y= 1（分数：2.00）填空项1:__________________12.(2008年试题，二)微分方程(y+x 2 e -x )dx一xdy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________13.(2006年试题，一) 2.00）填空项1:__________________14.(2005年试题，一)微分方程xy " +2y=xlnx满足 2.00）填空项1:__________________15.(2004年试题，一)微分方程(y+x 2 )dx一2xdy=0满足 2.00）填空项1:__________________16.(2001年试题，一) 2.00）填空项1:__________________17.(2002年试题，一)微分方程xy "" +y 12 =0满足初始条件 2.00）填空项1:__________________18.(2010年试题，9)三阶常系数线性齐次微分方程y """一2y "" +y "一2y=0通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________19.(2007年试题，二)二阶常系数非齐次线性微分方程y ""一4y "+3y=2e 2x的通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________20.(1999年试题，一)微分方程y ""一4y=e 2x的通解为 1.（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年考研数学二真题
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx== (6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[ ]（A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[ ]（A ）连续的奇函数（B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x eh g +''===则g (1)等于[ ]（A ）ln31-（B ）ln31--（C ）ln 21--（D ）ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[ ]（A ）23xy y y xe '''--= （B ）23xy y y e '''--=（C ）23x y y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[ ]（A ）(,)xf x y dy ⎰（B ）(,)dx f x y dy ⎰（C ）(,)yf x y dx ⎰（D ）(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[ ]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 （B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则（D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是mn 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则0 0 1 (A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P TAP . (D) C =PAP T.三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.（16）求arcsin xxe dx e ⎰.（17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.（18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. （20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，a x1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得Q T AQ=.。
2006年考研数学一数学二试题与解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P AB P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是(0)xy cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1000(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C)(,)(D)(,)yf x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdy x yxydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y xy∂'''=+∂++()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y x f xy x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y y f xy y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0（22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数. （Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyy dx dx y X y P 0434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-yy dx dx y X y P 0141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ）)4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN=最大θ.2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为. ____________.（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=.________.（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B ..（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.[ ]（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SX n (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22（16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cy x x y d ydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式. （20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解..（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰. （4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-.（B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）(,).xf x y dy ⎰⎰（B ）(,).f x y dy ⎰⎰（C ）(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）(,).f x y dx ⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。
考研数学二解答题专项强化真题试卷32(题后含答案及解析)
考研数学二解答题专项强化真题试卷32(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限正确答案：2．(2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3．(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．正确答案：(Ⅰ)设存在一组常数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0 ①用A左乘①式两端，并利用Aα1＝－α1，Aα2＝α2，－k1α1(k2＋k3)α2＋k3α3＝0 ②①一②，得2k1α1－k3α2＝0 ③因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而由③式知k1＝k3＝0，代入①式得k2α2＝0，又由于α2≠0，所以k2＝0，故α1，α2，α3线性无关．(Ⅱ)由题设条件可得AP＝A[α1，α2，α3]＝[Aα1，Aα2，Aα3] ＝[－α1，α2，α2＋α3] ＝[α1，α2，α3] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P-1左乘上式两端，得涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量3．(1999年试题，三)求正确答案：解析：在求极限过程中，应先将非零因子项计算出来，尽量用无穷小量的等价代换进行简化，然后再用洛必达法则求极限，这样比较简便．知识模块：函数、极限、连续4．(2002年试题，五)已知函数f(x)在(0，+∞)内可导f(x)>0，96，且满足求f(x)．正确答案：本题考查由重要极限导出微分方程，再求解微分方程，由题设，因此f’(x)分离变量得两边积分得即又由已知，可求出C=1，所以涉及知识点：函数、极限、连续5．(2006年试题，一)广义积分正确答案：解析：对于广义积分，运用牛顿一莱布尼兹公式求解时，要取极限．知识模块：一元函数积分学6．(2007年试题，三(22))设二元函数计算二重积分，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}正确答案：设区域D1={(x，y)｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1解析：将区域D2转化为区域D减去D1，用以计算．比较简便，因为区域D和D1方便积分．知识模块：重积分7．(91年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内满足f(x)=f(x一π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，计算∫π3πf(x)dx．正确答案：当x∈[π，2π)时，x一π∈[0，π)，由f在[0，π)上的定义知f(x一π)=x一π故f(x)=f(x一x)+sinx=x一π+sinx，x∈[π，2π)当x∈[2π，3π)时，x一π∈[π，2π) f(x一π)=[(x一π)一π]+sin(x一π)=x一2π一sinx故f(x)=f(x一π)+sinx =x一2π—sinx+sinx=x一2π，x∈[2π，3π)则∫π3πf(x)dx=∫π2πf(x)dx+∫2π3πf(x)dx=∫π2π(x一π+sinx)dx+∫2π3π(x一2π)dx=π2一2 涉及知识点：一元函数积分学[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．8．根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；正确答案：液面的面积以πm2／min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为π·22+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ2(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t 时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ2(y)=4π+πt，从而t=φ2(y)一4．涉及知识点：一元函数积分学9．求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分钟)正确答案：液面的高度为y时，液体的体积为π∫0yφ2(y)dy=3t=3φ2(y)一12．该式两边对y求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ′(y)，即πφ(y)=6φ′(y)．解此微分方程，得φ(y)=C，其中C为任意常数，由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为x=2．涉及知识点：一元函数积分学10．[2009年] 设求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；正确答案：可用基础解系和特解的简便求法求解Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1．A ξ2=ξ1，用初等行变换将其系数矩阵化为含最高阶单位矩阵的矩阵，即对应的齐次线性方程组的基础解系只含一个解向量α=[1／2，一1／2，1]T，原方程的一特解为η=[一1／2，1／2，0]T，故满足Aξ2=ξ1的所有向量ξ2=k1α+η=k1[1/2，一1／2，1]T+[一1／2，1／2，0]=[k1／2—1／2，一k1／2+1／2，k1]T，其中k1为任意常数．解方程组A2ξ3=ξ1，易求得A2=，因[A2:ξ1]=对应的齐次线性方程组的一个基础解系含两个解向量α1=[一1，1，0] T，α2=[0，0，1]T，一特解为β=[一1／2，0，0]T，满足A2ξ3=ξ1的所有向量ξ3=k2α1+k3α2+β=[一1／2一k2，k2，k3]T．涉及知识点：线性方程组。
2006年考研数学二真题及解析
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三 、解答题：15－23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
试确定 A, B, C 的值，使得
ex (1 + Bx + Cx2 ) = 1+ Ax + o( x3 ) ，
2…….【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题 .直接利用函数的连续性定义即 可.
【详解】 由题设知，函数 f (x)在 x = 0 处连续，则
lim f ( x) = f (0) = a ，
x →0
∫ 又因为
lim f ( x) = lim
x→ 0
x→ 0
x sin t 2dt
0
x3
=
sin x2
lim
x→ 0
3x2
=
1
.
3
所以
1 a= .
3
【评注】遇到求分段函 数在分段点的连续性问题，一般从 定义入手 .本题还考查了积 分
上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 1 讲第 1 节【例 13】，《数学复习指
南》（理工类）P.35【例 1.51】.88 年，89 年，94 年和 03 年均考过该类型的试题，本题属重
增量， ∆y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 ∆x > 0 ，则
(A) 0 < dy < ∆y .
(B) 0 < ∆y < dy .
(C) ∆y < dy < 0.
(D) dy < ∆y < 0 .
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2006 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、填空题：1-6 小题，每题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定地点上.(1)曲线 y x4sin x的水平渐近线方程为5x2cos x1x2(2)设函数 f ( x)x30sin t dt ,x0在 x 0 处连续，则aa,x0(3)广义积分xdx0 (1 x2 ) 2(4)微分方程 y y(1x)x的通解是xe y确立，则dy(5)设函数 y y( x)由方程 y1dx x 0(6)21B知足 BA B 2E,则 B.设 A1, E为 2 阶单位矩阵，矩阵2二、选择题： 9-14 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数 y f (x) 拥有二阶导数，且 f ( x) 0, f( x)0,Vx 为自变量x 在点 x0处的增量， Vy 与dy分别为 f (x)在点x0处对应增量与微分，若Vx 0，则 ()(A) 0dy Vy(B) 0Vy dy(C) Vy dy0(D) dy Vy0x(8)设 f ( x) 是奇函数，除x0 外到处连续， x0 是其第一类中断点，则 f (t) dt 是( )(A) 连续的奇函数(B) 连续的偶函数(C)在x0中断的奇函数(D) 在x0 中断的偶函数(9)设函数 g(x) 可微， h( x)e1g ( x) ,h (1)1, g (1)2, 则 g (1)等于()(A) ln31(B)ln31(C)ln 2 1(D) ln2 1(10)函数 y c1e x c2e 2x xe x知足的一个微分方程是()(A) y y 2 y3xe x(B)y y 2 y3e x(C) y y 2 y3xe x(D) y y 2 y3e x4 1(11) 设 f ( x, y) 为连续函数，则d f ( r cos , r sin)rdr 等于 ( )2x 22 1 x 221 2(A)dxf ( x, y)dy(B)dxf ( x, y)dyx2 1 y 22 1 y 222(C)dyf ( x, y) dx(D)dyf (x, y)dxy(12) 设 f ( x, y)与 ( x, y) 均为可微函数，且y ( x, y) 0,已知 ( x 0 , y 0 )是 f (x, y) 在拘束条件( x, y)0 下的一个极值点，以下选项正确的选项是( )(A) 若 f x (x 0 , y 0 )(C)若 f x (x 0 , y 0 )0,则 f y ( x 0 , y 0 ) 0 (B) 若 f x ( x 0 , y 0 ) 0,则 f y ( x 0 , y 0 ) 00, 则 f y ( x 0 , y 0 )(D) 若 f x ( x 0 , y 0 ) 0, 则f y ( x 0 ,y 0 )(13) 设 1, 2 , L , s 均为 n 维列向量， A 是 m n 矩阵，以下选项正确的选项是 ( )(A) 若 1, 2,L ,s 线性有关，则A 1,A 2,L ,A(B) 若 1 ,2,L , s 线性有关，则A 1,A 2,L ,A (C)若1 ,2,L , s 线性没关，则 A 1,A2,L ,A(D) 若 1,2,L ,s 线性没关，则A 1,A 2,L ,As 线性有关 .s 线性没关 .s 线性有关 .s 线性没关 .(14) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列1 1 0得C ，记 P 01 0 ，则 ()0 0 1(A) C P 1AP.(B) CPAP 1. (C) C P T AP. (D) C PAP T .三、解答题： 15－ 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的地点上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (15)( 此题满分 10 分 )试确立常数A, B, C 的值，使得 e x (1 Bx Cx 2 ) 1 Ax o(x 3 ) ，此中 o(x 3 ) 是当x0 时比 x 3 高阶的无量小 .(16)( 此题满分 10 分 )求 arcsin e x dxe x(17)( 此题满分 10 分 )设地区 D{( x, y) | x2y21, x0} ，计算二重积分I12xy2 dxdyD 1 x y(18)( 此题满分12 分)设数列 { x n } 知足 0x1， x n 1sin x n (n1,2,L)1x n x n2(I) 证明lim x n存在，并求该极限 ;(II)计算 lim1.x nn n(19)( 此题满分10 分)证明：当0 a b时， b sin b2cos b b a sin a2cos a a .(20)( 此题满分12 分)设函数 f (u)在 (0,) 内拥有二阶导数，且Z f x2y2知足等式 2 z 2 z0x2y2(I) 考证 f (u)f (u);(II) 若f (1)0, f (1)1,求函数 f (u)的表达式. u0(21)( 此题满分12 分)已知曲线 L 的方程x t21,(t 0) , y4t t 2(I)议论 L 的凹凸性;(II)过点 ( 1,0) 引L的切线，求切点 ( x0 , y0 ) ，并写出切线的方程;(III) 求此切线与L (对应x x0的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积.(22)( 此题满分 9 分 )x1x2x3 x41,已知非齐次线性方程组4x13x25x3x41,有3个线性没关的解.ax1x23x3bx41(I) 证明此方程组系数矩阵 A 的秩r ( A) 2 ;(Ⅱ ) 求a, b的值及方程组的通解 .(23)( 此题满分 9 分 )A 的各行元素之和均为T T设 3 阶实对称矩阵3,向量11,2,1 ,20, 1,1 是线性方程组 Ax0 的两个解.(I)求 A 的特点值与特点向量;(II)求正交矩阵Q 和对角矩阵,使得Q T AQ.2006 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题分析一、填空题(1) 【答案】 y 15【详解】 由水平渐近线的定义及无量小量的性质---- “无量小量与有界函数的乘积是无量小量”可知x 4sin x1 4sin x1 01lim ylim limx lim5x 2cos x 2cos x 5 0 5xxxx5xx0 时 1为无量小量， sin x ， cos x 均为有界量 . 故， y 1 是水平渐近线 .x51 (2) 【答案】3【详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故xsint 2sin( x 2)x 21lim f ( x)lim洛 lim limx 32 2x 0x 0x 0 3x x 0 3x 3注： 0型不决式，能够采纳洛必达法例；等价无量小量的替代sin x 2 : x 2(3) 【答案】 1 2【详解】xdx1 dx 21 11(1 x 2 )22(1 x 2 )22 1 x 22x(4) 【答案】 Cxe . 【详解】分别变量，dy y(1x)dy (1 x) dxdy (11)dxdy 1dx dxdxxyxyxyxln yln x x ce ln y e ln xx cyCxex(5) 【答案】 e【详解】题目观察由方程确立的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令x 0 y(0) 1 .将方程两边对 x 求导得 ye y xe y y ，令 x0 得 y (0)e(6) 【答案】 2【详解】由已知条件BA B 2E 变形得， BA 2E BB( A E)2E , 两边取队列式, 得B( A E) 2E 4 E 4 211 0 1 1 此中，AE20 1 1 2， 2E 22E 41 12E 4 2.所以， BE2A二、选择题 . (7) 【答案】 A 【详解】方法 1： 图示法 .因为 f (x)0, 则 f (x) 严格单一增添；因为 f ( x) 0, 则 f ( x) 是凹函数，又Vx 0 ，画 f ( x) x 2 的图形yy=f(x) ydy联合图形剖析，就能够明显得出结论： 0dy Vy .方法 2：用两次拉格朗日中值定理Vy dyf ( x 0 Vx) f ( x 0 ) f ( x 0 )Vx (前两项用拉氏定理 )f ( )Vxf (x 0 )Vx(再用一次拉氏定理 )f ( )(x 0)Vx ,此中 x 0 x 0 Vx, x 0因为 f ( x) 0 ，进而 Vydy0 . 又因为 dyf ( x 0 )Vx 0，应选 [A]方法 3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：f ( x)f (x 0 )f ( x 0 )(x x 0 ) f( x 0 )(xx 0 ) 2Lf (n)(x 0 )( xx 0 )nR n ，2!n!( n 1)此中 R nf( x 0 )( x x0 )n . 此时 n 取 1 代入，可得(n 1)!y dyf ( x 0x)f ( x 0 ) f ( x 0 ) x1f ( )( x) 22又由 dyf ( x 0 ) x 0，选 (A) .(8) 【答案】 ( B ) 【详解】方法 1：赋值法1, x 0x x,x0 特别选用 f ( x)0, x0 ，知足全部条件，则f (t)dtx .1,xx, x它是连续的偶函数 . 所以，选 ( B )方法 2：明显 f ( x) 在随意区间a, b记 x上可积，于是 F (x)f (t)dt到处连续，又F ( x)xx s t xF (x)f (t)dt0 f ( t) dtf (s)ds 0即 F (x) 为偶函数 . 选 ( B ) .(9) 【答案】 (C )【详解】利用复合函数求导法h( x) e 1 g( x) 两边对 x 求导h ( x) g ( x)e 1 g ( x)将 x 1 代入上式，1 2e1g (1)g(1) ln 11ln 2 1 . 应选 ( C ).2(10)【答案】 ( C )【详解】 题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项.因为 yc 1e x c 2e 2 xxe x 是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应的齐次方程的特点根为 1 和 -2，于是特点方程为 22 0 ，对应的齐次( 1)( 2)微分方程为 yy - 2 y 0所以不选 ( A )与 ( B )，为了确立是 ( C )仍是 ( D )，只需将特解 yxe x 代入方程左侧，计算得 (y ) ( y ) - 2 y3 xe ，应选 ( D ).(11) 【答案】 (C )【详解】记4 d1f (r cos , r sin )rdrf (x, y)dxdy ，则地区 D 的极坐标表示是：Dr 1 ， 04 . 题目观察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间， 联合图形y xx 2 y 2能够看出，直角坐标的积分范围（注意与1 在第一象限的交点是 （2， 2）），于是D : 0 y2, y x1y 222221 y 2所以，原式02dy f (x, y)dx .所以选(C )y(12) 【答案】 D 【详解】方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。