中考数学 新定义题型专题05 四边形中的新定义问题(学生版)
最新通用版九年级中考数学小专题复习新定义问题(解析版)
新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例1 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq.例如2可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F(m)＝________＝________；(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．对应练习：对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x＝－2011，求x的值；(2)若x⊗3<5，求x的取值范围．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例2 如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图③，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH ＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD ＝________，FC ＝______，∠AHE ＝12______，∠CFG ＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH ≌△CGF ，可得________，进而求得AD 的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长． 对应练习：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的． 课后练习：1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533．在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．5．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．答案与解析【例1】【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，∴y＝x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【对应练习】【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x＝﹣2011，解得：x＝2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．【例2】【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积＝△AHE的面积，四边形AHFG的面积＝四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG＝S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90°，∴FH＝＝13，由折叠的性质得：AD＝FH＝13；（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD＝BG，AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM＝FM＝4，∴GM＝CM＝＝＝3，∴AD＝BG＝BM﹣GM＝1，BC＝BM+CM＝7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积＝梯形ABCD的面积，AE＝BE＝AB＝4，DG＝NG，NH＝CH，BM＝FM，MN＝MC，∴GH＝CD＝5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25，∵∠B＝90°，∴FM＝BM＝＝3，设AD＝x，则MN＝FM+FN＝3+x，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×8＝2×25，∴AD+BC＝，∴BC＝﹣x，∴MC＝BC﹣BM＝﹣x﹣3，∵MN＝MC，∴3+x＝﹣x﹣3，解得：x＝，∴AD＝，BC＝﹣＝；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH＝AE＝BE＝BF＝4，CG＝CD＝5，正方形的边长EF＝GF＝4，GM＝FM＝4，CM＝＝3，∴BC＝BF+FM+CM＝11，FN＝CF＝7，DH＝NH＝8﹣7＝1，∴AD＝5．【对应练习】【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．【课后练习】1.A 【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A．2.D【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故选：D．3.﹣【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．4.113°或92°【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．5.【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BOE．∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DG⊥OB，∴BH＝BG＝．在直角△BDH中，利用勾股定理得到：BD＝＝＝．∴BO＝BD＝．∴⊙O的直径是2．。
四边形中“新定义”型试题探究备课讲稿
四边形中“新定义”型试题探究浙江省象山县丹城中学王赛英徐敏贤邮编315700所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力•给“什么”，用“什么”，是“新定义”型试题解题的基本思路•以四边形为背景的几何“新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能•求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质，把握图形的变化规律.一、以特殊点为契机进行“新定义”例1 ( 2007年宁波市中考数学试题)四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图I，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB , PA^ PC, 则点P 为四边形ABCD的准等距点.(1)如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.⑵如图3,作出四边形 ABCD的一个准等距点(尺规作图保留作图痕迹，不要求写作法).⑶如图4,在四边形 ABCD中，P是AC上的点，PA M PC延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F，且/ CDF= / CBE ,CE=CF .求证：点P是四边形ABCD的准等距点.(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不解：(1)如图2,连结AC,在AC上任取除AC中点外的点P点P即为所画点.(2)如图3，连结BD,作BD的中垂线交直线 AC于点P,因点P不是AC的中点，故点P 即为所求作点.(3)如图 4，连结 DB ,在厶 DCF 与厶 BCE 中，/ CDF= / CBE , / DCF= / BCE , CF=CE. •••△DCF ◎△ BCE(AAS) , A CD=CB, /-Z CDB= / CBD, /-Z PDB= / PBD , /• PD=PB , ••• PA M PC, •••点P是四边形ABCD的准等距点.(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个；②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个.必证明).③ 当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为 0个；④ 当四边形的对角线不互相垂直， 又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为 1个；⑤ 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分， 且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为 2个•评析：本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念一一四边形的准等距点•第（1） 小题是新定义的简单应用•第（2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线 与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学， 从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为 0、1、2、无数个•第（3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证•第（4 ）小题则难度极大，对分析 问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求 在（1）、（2）两小题解决后累积的经验，为第（ 4）小题解决铺设了平台，尤其是第（ 2） 题画图时产生的灵感，为第（ 4 ）小题的解决指引着思维的方向 •于是，类比、联想能力强思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、 深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类二、以特殊边为契机边进行 “新定义”例2 （2007年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形•类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1） 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2） 如图，在A ABC 中，点D, E 分别在AB , AC 上，设CD 、1BE 相交于点 O,若Z A=60 ° , / DCB= / EBC= Z A.请你写出图2中一个与Z A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在厶ABC 中，如果/ A 是不等于60°的锐角，点 D , E 分 1别在AB ，AC 上，且/ DCB= / EBC= / A.探究：满足上述条件的2图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（1）平行四边形、等腰梯形等 •（2） 答：与/ A 相等的角是/ BOD （或/ COE ） •四边形DBCE（3） 答：此时存在等对边四边形，是四边形 DBCE.证明：如图 5,作CG 丄BE 于G 点，作BF 丄CD 交CD 延长线于F 点，二/ F=90°= 1/ EGC. •/ DCB EBC — A , BC 为公共边，二 △ BCF CBG . /. BF=CG.2 •••/ BDF= / ABE+ / EBC+ / DCB ,Z BEC= / ABE+ / A ,/-Z BDF= / BEC ，又 / EGC,/. A BDF BA CEG ，•/ BD=CE ，•/四边形 DBCE 是等对边四边形•评析：此题以一组对边相等关系为契机， 创设了一个全新的概念一一等对边四边形精练，设问流畅，层次感强•解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力 •第（1） 是等对边四边形•F= 语言 小题 E O 图5是新定义的简单应用•第（2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想：BD=CE，四边形DBCE为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定可靠，为此大多数考生会设法证明自己的猜想•由公共边 BC, / DCB= / EBC= / A=30 ° ,2/ BOD= / COE=60。
(完整版)中考新定义问题
新定义问题考点一：学习探究类问题根据探索对象不同，探索性题型一般可分为条件探索型和结论探索型两类。
1•条件探索型条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维。
2•结论探索型结论探索型一般可分为猜想型，判断型和是否存在型。
（1）猜想型猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证。
（2）判断型判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。
（3）是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。
若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。
考点二：新定义问题1 •新定义①函数类新定义②距离类新定义③几何类新定义④与圆有关的新定义2 •考察的数学思想解答题一般考查学生综合运用初中三年级所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。
3 •常考题型①高中或大学数学知识的下放②初中数学知识的改编③完全新定义考点一：学习探究类问题1.已知/ MAN=13°，正方形ABCD绕点A旋转.（1 ）当正方形ABCD旋转到/ MAN勺外部（顶点A除外）时，AM AN分别与正方形ABCD勺边CB CD的延长线交于点M N,连接MN①如图1，若BM=DN则线段MN与BM+Df之间的数量关系是______________ ;②如图2，若B佯DN请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3,当正方形ABCD旋转到/ MAN的内部（顶点A除外）时，AM AN分别与直线BD 交于点M, N,探究：以线段BM MN DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由.BC DA2>CC图I图3DABCcBC图图32.【问题探究】(1)如图1,锐角△ ABC 中，分别以AB AC 为边向外作等腰厶 ABE 和等腰△ ACD 使AE=ABAD=AC / BA 匡/CAD 连接BD CE 试猜想BD 与 CE 的大小关系，并说明理由.【深入探究】(2) 如图 2,四边形 ABCD 中, AB=7cm, BC=3cm,Z AB(=Z ACD / ADC 45o ,求 BD 的长. (3) 如图3,在⑵ 的条件下，当△ ACD&线段AC 的左侧时，求 BD 的长.聖25题團3. ( 1)问题如图1,在四边形 ABCD 中，点P 为AB 上一点，/ DPC M A=Z B=90 , 求证：AD ・BC=AP ・ BP. 探究如图2,在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当/DPC M A=Z B=0时，上述结论是否依然 成立？说明理由. (3)应用请利用(1) (2)获得的经验解决问题：如图3,在厶ABD 中，AB=6 AD=BD=5点P 以每秒1个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点B 运动，且满足/ DPC M A,设点 P 的运动时间为t (秒)，当以D 为圆心，以DC 为 半径的圆与AB 相切时，求t 的值.4. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15 °的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路 思路一 如图1，•在Rt △ AB (中, Z C=90，/ ABC=30，延•长CB 至点D,使BD=BA 连接 AD 设 AC=1,则 BD=BA=2 BC 近.tan D=ta n15、计馬=⑵扁 舀—品、=2-思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan (a±B)1+ tan CL t an B •假设a =60°,3 =45° 代入差角正切公式：tan15 ° =tan (60°- 45°)-=2--思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考) . (1) 类比：求出 (2) 应用：如图 ,C 两点间距离为 tan&CT -龙出4区9l+tanGO* tan45e(3)拓展：如图 tan75 ° 的值； 2,某电视塔建在一座小山上，山高 BC 为30米，在地平面上有一点 A ,测得A60米，从A 测得电视塔的视角(Z CAD 为45°，求这座电视塔 CD 勺高度；1 y=" 3，直线 x - 1与双曲线 4y —交于A , B 两点，与y 轴交于点C ,将直线AB 绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.5. 已知直线m// n,点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点.(1) __________________________________________________ 操作发现：直线I丄m, I丄n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图①所示)，连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系：_______________________________________________________ .(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线I向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. —|(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线I绕点A旋转，使得/ APB=90。
专题05新定义问题中考题型训练(原卷版)
专题5 新定义问题中考题型训练1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．5．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．6．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．9．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN 与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG 是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•德州）教材呈现以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．概念理解（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：；（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△F AC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝形”：；（写出一个即可）应用拓展（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．①求证：∠BAC＝∠FEG；②求证：∠AHB＝90°．1．（2023•叙州区校级模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2B．C．﹣2或2D．22．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为．3．（2022•西湖区一模）已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（）A．y1＝x2+1，y2＝B．y1＝x2+1，y2＝2x﹣1C．y1＝x2﹣1，y2＝D．y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣14．（2022•平桂区一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（）A．8B．7C．6D．55．（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为A（8，0），C（0，6）．把横，纵坐标均为偶数的点称为偶点．（1）矩形OABC（不包含边界）内的偶点的个数为．（2）若双曲线L：y＝上（x＞0）将矩形OABC（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有个．6．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为．7．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为．8．（2022•武侯区校级模拟）对于给定△ABC内（包含边界）的点P，若点P到△ABC其中两边的距离相等，我们称点P为△ABC的“等距点”，这段距离的最大值称为△ABC的“特征距离”．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），动点M（m，3），连接OM，AM．则△OAM的“特征距离”的最大值为．9．（2022•金牛区模拟）射线AB绕点A逆时针旋转a°，射线BA绕点B顺时针旋转b°，0°＜a＜90°，0°＜b＜90°，旋转后的两条射线交点为C，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“﹣”，则称（a，﹣b）为点C关于线段AB的“双角坐标”，如图1，已知△ABC，点C关于线段AB的“双角坐标”为（50，﹣60），点C关于线段BA的“双角坐标”为（﹣60，50）．如图2，直线AB：y＝x+交x轴、y轴于点A、B，若点D关于线段AB的“双角坐标”为（﹣m，n），y轴上一点E关于线段AB 的“双角坐标”为（﹣n，m），AE与BD交点为F，若△ADE与△ADF相似，则点F在该平面直角坐标系内的坐标是．10．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．（1）如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．①求证：直线CA与⊙O相切；②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．11．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC 是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC＝，求AD•AB的值．（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为：缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．12．（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．。
初中数学中考复习专题五 新定义型
专题五新定义型【专题精讲】“新定义型”问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念，新运算，新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识和能力进行理解，根据新的定义进行运算，推理，迁移。
最近几年是考试热点。
“新定义型”关键要把握两点：一是掌握问题的原型特点及其解决问题的思想方法，二是根据问题背景变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
“新定义型”问题的类型：规律题型中的新定义，运算题中的新定义，探索题中的新定义，开放题中的新定义，阅读材料题中点的新定义，等等。
【典型例题讲解】考点一规律题中的新定义例1若自然数n使得三个数的加法运算“)2++nnn”产生进位现象,则称n为“连加进位数”。
+(+()1例如：2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象。
如果从0,1,2, (99)100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是()A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.91考点二运算中的新定义定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”。
理解(1)如图1,已知A. B 是⊙O 上两点,请在圆上找出满足条件的点C ,使△ABC 为“智慧三角形”(画出点C 的位置,保留作图痕迹)；(2)如图2,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标。
四边形新定义问题例析
学习指导２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀四边形新定义问题例析◉江苏省徐州市第十三中学㊀王㊀峥㊀㊀四边形新定义问题,是培养学生创造性思维的良好素材,包括 等邻边四边形 问题㊁ 等角相邻点 问题㊁ 妙线 问题㊁ 准等距点 问题等．以下作一分析探讨,以飨读者．１ 等邻边四边形 问题菱形㊁正方形是四边都相等的四边形,它们都是从实际生活中抽象出来的,因为应用广泛而得到推广．等邻边四边形 是指有两组邻边相等的凸四边形． 等邻边四边形 有什么性质?又如何判定呢?下面结合实例进行探讨．例１㊀我们定义:有两组邻边相等的凸四边形叫做 等邻边四边形 ．如菱形㊁筝形都是特殊的 等邻边四边形 ．图１(１)如图１,四边形A B C D中,若øA B C＝øB C D,B CʊA D,对角线B D恰巧平分øA B C,则四边形A B C D等邻边四边形 ．(填是 或 不是 )．(２)在探究 等邻边四边形 的性质时:图２①小红画了一个 等邻边四边形 A B C D(如图２),其中A B＝A D,B C＝C D,若øA＝８０ʎ,øC＝６０ʎ,写出øB,øD的度数．②小红猜想:对于任意四边形,若有一组邻边相等,一组对角相等,则这个四边形为 等邻边四边形 ．你认为他的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例．(３)在锐角三角形A B C中,A B＝A C,在平面内存在一点P,使P B＝B A,P A＝P C,四边形P A B C可能是 等邻边四边形 吗?若可能,画出符合题意的图形,并求øB A C的度数;若不可能,请说明理由．解析:(１)由A DʊB C,øA B C＝øB C D,可知四边形A B C D是等腰梯形,则A B＝C D．由øA D B＝øD B C,øA B D＝øD B C,得øA B D＝øA D B,则A D＝A B,A D＝D C,所以四边形A B C D有两组邻边相等,即四边形A B C D是 等邻边四边形 ．故填答案:是．(２)①如图３,连接A C．因为A B＝A D,B C＝D C ,图３A C＝A C,所以әAB CɸәA D C(S S S),可得øB＝øD．又øB A D＝８０ʎ,øB C D＝６０ʎ,则øB＋øD＝３６０ʎ－８０ʎ－６０ʎ＝２２０ʎ．所以øB＝øD＝１１０ʎ．②小红猜想错误．反例,如图４所示．四边形A B C D中,B A＝B C,øA B C＝øA D C＝６０ʎ,四边形不是 等邻边四边形 ．图４㊀㊀图５(３)①如图５,当C B＝C P时,由P A＝P C,可知四边形A B C D是 等邻边四边形 ．设B P交A C于点O．因为P B＝A C,A B＝B A,P A＝B C,所以әA B PɸәB A C(S S S),可得øP B A＝øB A C,则A O＝O B,P O＝C O,从而可知øO P C＝øO C P＝øO A B＝øO B A．又øO P C＝øC B P,则øA B C＝øA C B＝２øB A C,所以øB A C＝１５ˑ１８０ʎ＝３６ʎ．图６②如图６,当әA B C是等边三角形时,四边形A B C P是 等邻边四边形 ．综上所述,满足条件的øB A C的值为３６ʎ或６０ʎ．２ 等角相邻点 问题平行四边形的对角线互相平分;菱形的对角线互相垂直平分;矩形的对角线相等且互相平分;正方形的对角线相等且互相垂直平分．这些实际上是对应四边形的中心点与四边形的关系, 等角相邻点 问题是指四边形内一点与其四个顶点连接,在四边形内形成的四个角中有两组角相等．那么,如何得到等角相邻点?等角相邻点又有什么性质呢?例２㊀如图７Ｇ１,在四边形A B C D内取一点P,连接A P,B P,C P,D P,如果øA P D＝øA P B＝α,且øB P C＝øC P D＝β,那么P叫做四边形A B C D的一６４Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀个等角相邻点．图７Ｇ１㊀㊀图７Ｇ２图７Ｇ３㊀㊀图７Ｇ４(１)如图７Ｇ２,已知正方形A B C D ,请在其内部找一点P ,使P 为等角相邻点,且αʂβ;(２)如图７Ｇ３,已知任意四边形A B C D ,请在其内部找一点P ,且P 为等角相邻点;(３)如图７Ｇ４,已知任意四边形A B C D ,在它的内部有两个等角相邻点P １,P ２,证明:线段P １P ２上任意一点也是等角相邻点．解析:(１)如图８,所画的点P 在A C 上且不是A C的中点和A C 的端点．图８㊀㊀㊀图９(２)如图９,画点B 关于A C 的对称点B ᶄ,延长D B ᶄ交A C 于点P ,则点P 即为所求．图１０(３)证明:连接P １A ,P １D ,P １B ,P ２C 和P ２D ,P ２B ,如图１０．根据题意,øA P １D ＝øA P １B ,øD P １C ＝øB P １C ,则øA P １B ＋øB P １C ＝１８０ʎ．所以点P １在A C 上．同理可知,点P ２也在线段A C 上．在әD P １P ２和әB P １P ２中,因为øD P ２P １＝øB P ２P １,P １P ２＝P １P ２,øD P １P ２＝øB P １P ２,{所以有әD P １P ２ɸәB P １P ２(A S A ),可得D P １＝B P １,D P ２＝B P ２,于是B ,D 是轴对称点,关于直线A C 对称．如果在P １P ２上任取一点P ,作线段P D ,P B ,根据轴对称的性质,得øD P A ＝øB P A ,øD P C ＝øB P C ．故P １P ２上的任意一点是四边形的等角相邻点．３妙线 问题由于中心对称图形绕中心旋转１８０ʎ后能与原图形重合,所以过中心对称图形对称中心的任一条直线,分中心对称图形成两部分,这部分的面积是相等的．但是对于任意四边形,如何画一条直线把它分成面积相等的两部分呢?下面结合实例对此进行深入的讨论,并将这样一条直线称为 妙线 ．例３㊀我们把能将四边形分成两部分,且这两部分的面积相等,这样的直线称为 妙线 ．下面的图示,是得到 妙线 的过程:如图１１,在四边形A B C D 中,取对角线B D 的中点O ,连接O A ,O C ,显然,折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积,再过点O 作O E ʊA C 交C D 于点E ,则直线A E 即为一条 妙线 ．(１)如图１１,试说明直线A E 是妙线 的理由;图１１图１２图１３(２)如图１２,A E 为一条 妙线 ,F 为A D 边上的一点,请作出经过点F 的 妙线 ,并说明理由;(３)如图１３,已知一块土地是五边形A B C D E ,经过开发,又得到多边形E D C MN ,中间的折线C D E 是一条小路,现要修一条直路,且这条直路经过点E ,使直路右边的面积不作改变,如何画图呢?解析:(１)如图１４,由点O 是B D 的中点,可得S әA O B ＝S әA O D ,S әB O C ＝S әD O C ,则S әA O B ＋S әB O C ＝S әA O D ＋S әD O C ＝１２S 四边形A B C D ,所以S 四边形A B C O ＝１２S 四边形A B C D ．故折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积．设A E 交O C 于点F ．由O E ʊA C ,可知S әA O E ＝S әC O E ,则S әA O F ＝S әC E F ．由于折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积,因此直线A E 平分四边形A B C D 的面积,即A E 是四边形A B C D 的一条 妙线 ．图１４图１５图１６(２)如图１５,连接E F ,过点A 作E F 的平行线交C D 于点G ,连接F G ,则G F 为一条 妙线 ．理由:由A G ʊE F ,可知S әA G E ＝S әA F G ．设A E 与F G 的交点是O ,则S әA O F ＝S әG O E ．又A E 为一条妙线 ,所以G F 为一条 妙线 ．(３)如图１６,连接C E ,过点D 作D F ʊE C 交C M 于点F ,连接E F ,则E F 为所修的直路．本文中从形到点再到线,对四边形内存在的特殊四边形㊁特殊点㊁特殊线作了深入细致的研究,得到了一些创造性的结论,开阔了学生的认知视野,培养了学生创新解决问题的能力,是四边形领域里一道亮丽的风景线．Z７４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
中考数学压轴题重难点突破五 新定义问题(阅读理解) 类型三：定义新概念
1＋3 ×3 是 6 的阶梯三分法，即 F(6)＝ 2 ＝2.若正整数 p 是另一个正整数 q 的立方，则 F(p)＝ 2 .
n)是“相随数对”，则 3m＋2[3m＋(2n－1)]的值为
( A)
A．－2
B．－1
C．2
D．3
9．★(2022·娄底)若 10x＝N，则称 x 是以 10 为底 N 的对数．记作：x＝
lg N．例如：102＝100，则 2＝lg 100；100＝1，则 0＝lg 1.对数运算满
足：当 M＞0，N＞0 时，lg M＋lg N＝lg(MN)．例如：lg 3＋lg 5＝lg 15，
沿直线 l 运动(BD 在直线 l 上)，BD＝2，AB∥y 轴，当矩形 ABCD 是⊙M 的
“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为
13 3－2，－
2
3或
3 3＋2，
23.
19．(2022·南通)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n(n≥0)
的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点31，13是函数 y＝x 图象 的“12阶方点”；点(2，1)是函数 y＝2x图象的“2 阶方点”． (1)在①－2，－12；②(－1，－1)；③(1，1)三点中，是反比例函数 y＝1x图象的“1 阶方点”的有 ②③(选填序号)；
类型三：定义新概念 (省卷 2021T9，2019T17；兰州 2022T27，2016T20)
(2021·永州)定义：若 10x＝N，则 x＝log10 N，x 称为以 10 为底的 N
以四边形新定义为背景的阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
2023年中考数学压轴题专项训练1.压轴题22以四边形新定义为背景的阅读材料压轴题01考向分析1(2022春•玄武区期末)【概念认识】在四边形ABCD中，∠A=∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC=∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．【初步思考】(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为°；(2)如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP=∠CEB．【综合运用】在四边形ABCD中，∠A=∠B=α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系及对应α的取值范围．2(2022•长沙模拟)有一组对角相等的凸四边形称为“对等四边形”，连接这两个相等对角的顶点的线段称为“对等线”．(1)如图1，已知四边形ABCD是“对等四边形”，AC是“对等线”，且AB=BC．求证：AD=CD；(2)如图2，四边形ABCD中，∠ADC=120°，∠ABC=150°．且AD⊥BD，BC=22，BD=4．①求证：四边形ABCD是“对等四边形”；②试求AC2．(3)如图3，对等四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CE，CE=BG．若AD=2，tan∠ADB=32，求：①cos∠F的值；②△DEF的周长，(请选择一个进行解答)．3(2023•秦都区校级三模)【了解概念】定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【理解运用】(1)如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上；(2)如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，∠ABC=90°，BC=33，求CD的长；【拓展提升】(3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC=4，OA= 6，D是OA的中点．在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．02压轴题速练1(2022秋•开江县校级期末)在平面直角坐标系中，P (a ，b )是第一象限内一点，给出如下定义：k 1=a b和k 2=b a 两个值中的最大值叫做点P 的“倾斜系数”k ．(1)求点P (6，2)的“倾斜系数”k 的值；(2)①若点P (a ，b )的“倾斜系数”k =2，请写出a 和b 的数量关系，并说明理由；②若点P (a ，b )的“倾斜系数”k =2，且a +b =3，求OP 的长；(3)如图，已知点A (2，2)，B (4，2)，C (4，4)，D (2，4)，P (a ，b )是四边形ABCD 上任意一点．试说明是否存在使点P 的“倾斜系数”k 为32的点．若存在，请自己写出这样的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023•定远县校级一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．(1)如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹(找出2个即可)(2)①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC=10，求AD•AB的值．(3)如图3，在(2)的条件下，若∠D=∠ACB=90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为5：2缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．3(2022秋•镇海区校级期末)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+5x+1=0(填“是”或“不是”)；②3x2+52x+4=0(填“是”或“不是”)(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；(3)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．4(2022秋•龙岗区校级期末)定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．(1)如图1，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=1，CD=2，∠BCD=∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；(2)如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′，若平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，求BB'的长．5(2023春•义乌市校级期中)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．【概念理解】如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(只写一个即可)【问题探究】如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移，得到△A′B′C′，连接AA′、BC′，若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形，求平移的距离(直接写出答案)．【拓展应用】如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，△BCD为等边三角形，试给出AC和AB的数量关系，并说明理由．6(2023春•江油市月考)定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B=80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF=CE，连结BE、CF．求证：BE=CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=2，∠ABC=45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG=90°，求BC的长．7(2023春•西城区校级期中)平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的四个顶点坐标分别为：A -12，12 ，B -12，-12 ，C 12，-12 ，D 12，12，P 、Q 是这个正方形外两点，且PQ =1．给出如下定义：记线段PQ 的中点为T ，平移线段PQ 得到线段P 'Q '(其中P '，Q '分别是点P ，Q 的对应点)，记线段P 'Q '的中点为T ．若点P '和Q '分别落在正方形ABCD 的一组邻边上，或线段P 'Q '与正方形ABCD 的一边重合，则称线段TT '长度的最小值为线段PQ 到正方形ABCD 的“回归距离”，称此时的点T '为线段PQ 到正方形ABCD 的“回归点”．(1)如图1，平移线段PQ ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段P 1Q 1和P 2Q 2，这两条线段的位置关系为1Q 1∥P 2Q 2 ；若T 1，T 2分别为P 1Q 1和P 2Q 2的中点，则点1 (填T 1或T 2)为线段PQ 到正方形ABCD 的“回归点”；(2)若线段PQ 的中点T 的坐标为(1，1)，记线段PQ 到正方形ABCD 的“回归距离”为d 1，请直接写出d 1的最小值：，并在图2中画出此时线段PQ 到正方形ABCD 的“回归点”T '(画出一种情况即可)；(3)请在图3中画出所有符合题意的线段PQ 到正方形ABCD 的“回归点”组成的图形．8(2022秋•兴化市校级期末)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．9(2021秋•永丰县期末)定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．特例感知：(1)如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果OA=OD=13OB，OB=2，∠OBC=60°，则AD2+BC2=，AB2+CD2=．猜想论证(2)如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．拓展应用：(3)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，∠BAC=60°，求GE长．(4)如图3，∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠CDO=30°，∠BOC=120°，OA=OD，OC=3，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．10(2022秋•东城区校级月考)点P(x 1，y1)，Q(x2，y2)是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k ，使点P ，Q 的坐标满足|y 1-y 2|=k |x 1-x 2|，则称P ，Q 为一对“限斜点”，k 叫做点P ，Q 的“限斜系数”，记作k (P ，Q )．由定义可知，k (P ，Q )=k (Q ，P )．例：若P (1，0)，Q 3，12 ，有0-12 =14|1-3|，所以点P ，Q 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A (1，0)，B (2，0)，C (2，-2)，D 2，12．(1)在点A ，B ，C ，D 中，找出一对“限斜点”：，它们的“限斜系数”为；(2)若存在点E ，使得点E ，A 是一对“限斜点”，点E ，B 也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标；(3)正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH 的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M (0，m )．点T 为正方形上任意一点，若所有点T 都与点C 是一对“限斜点”，且都满足k (T ，C )≥1，直接写出点M 的纵坐标m 的取值范围．11(2022•南京模拟)对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“邻近距离”，记为d(图形M，图形N)，已知点A(-2，-2)，B(3，-2)，C(3，3)，D(-2，3)．(1)d(点O，线段AB)=；(2)若点G在轴上，且d(点G，线段AB)>2，求点G的横坐标a的取值范围；(3)依次连接A，B，C，D四点，得到正方形ABCD(不含图形内部)，记为图形M，点E(t，0)，点 均不与点O重合，线段EO，OF组成的图形记为图形N，若1<d(图形M，图形N)<2，直接F0，12-t写出t的取值范围．12(2022春•海淀区校级期中)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B(点A，B可以重合)，在图形W2上存在两点M，N(点M、N可以重合)使得AM =2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点F在CE上运动(点F可以与C，E重合)，连接OF，DF．①线段OF的最小值为，最大值为；线段DF的取值范围是．②在点O，D中，点与线段CE满足限距关系．(2)如图2，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别与x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹角始终是30°，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标a(a>0)的取值范围；(3)如图3，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上，A(0，b)(b>0)，G，H是正方形边上两点，分别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行．若对于任意的点G，H，以G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．13(2022•汇川区模拟)定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】(1)如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C=3：2：1，则∠D=度．②若∠B=90°．且AB=3，AD=2时．则CD2-CB2=．【类比应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．14(2022春•曾都区期末)定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．(1)在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是(填序号)；(2)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC=DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；(3)如图2，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．15(2022春•长汀县期末)在平面直角坐标系中，如果点p(a，b)满足a+1>b且b+1>a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．(1)判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1(1，0)，p2(2，3)，p3(-1，-5)．(2)如果点N(2x+3，2)不是“自大点”，求出x的取值范围．(3)如图，正方形ABCD的初始位置是A(0，6)，B(0，4)，C(2，4)，D(2，6)，现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下(y轴负方向)平移，设运动时间为t秒(t>0)，当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．16(2022春•北仑区期末)定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．(1)我们学过的对美四边形有、．(写出两个)(2)如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶点作∠CBE=∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．(3)如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，DC∥AB．①若∠AOB=120°，AB+CD=6，求四边形ABCD的面积．②若AB⋅CD=6，设AD=x，BD=y，试求出y与x的关系式．17(2022春•江北区期末)定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是．A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：；．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，(1)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．(2)若AC=2，求AB+CD的最小值．18(2022春•铜山区期末)新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．(1)下列四边形为对直四边形的是(写出所有正确的序号)；①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．(2)如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC=90°，O为AC的中点．①求证：BD的垂直平分线经过点O；②若AB=6，BC=8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．19(2022•赣州模拟)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B=∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A=130°，∠B=120°，则∠D=度．(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E=300°，∠BDC=∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B=∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A=∠ABC，E为AB 边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB=213dm，AD=3dm，BD=37dm．M、N 分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．20(2022春•盐田区校级期末)给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．(1)如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；(3)如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，AD =4，BC=6．求EF的长．。
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专题05 四边形中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型：(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。
这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。
（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。
二、精选考题1．阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是；（写出一种即可）（2）下面图1，图2均为66的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接AD，CD，使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．2．阅读理解：定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”．（1）在“和谐四边形”ABCD中，若135∠=；B∠=︒，则A（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C 处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是“和谐四边形”．3．定义：长宽比为:1(n n为正整数）的矩形称为n矩形．通过下面的操作方式我们可以折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BD．1操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD由折叠性质可知1BG BC ==，90CFE BFE C ∠=∠=∠=︒，则四边形BCEF 为矩形．90A BFE ∴∠=∠=︒．//EF AD ∴． ∴BG BFBD AB =1BF =． ∴BF =∴:BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）已知四边形BCEF 矩形，沿用上述操作方式，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（2）在图②中，求2tan D BC ∠的值．（3）若将矩形沿用上述方式操作m 次后，得到一个矩形，求k 和1tan k D BC -∠的值．（用含m 和n 的代数式表示，直接写出结论即可）4．我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180)︒，则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有 矩形，正方形 ．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若ADB ACB ∠=∠，问四边形ABCD 是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD 是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明AOD BOC ∆∆∽，得到比例式OA OD OB OC =，再证明AOB DOC ∆∆∽，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD 中，AD BD ⊥，AC BC ⊥，AB 与DC 的延长线相交于点E ，BE BD =，5AB =，3AD =，求CE 的长．5．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）矩形 垂等四边形（填“是”或“不是” )；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 边上．若四边形DEFG 是垂等四边形，且90EFG ∠=︒，AF CG =，求证：EG DG =；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC=，25AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ，过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ABC ∆与BDE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．6．阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为1)的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形ABCD 的边AB 上存在强相似点E ，则:AE EB = ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．7．我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图点E 是四边形ABCD 内一点，已知BE EC =，AE ED =，90BEC AED ∠=∠=︒，对角线AC 与BD 交于O 点，BD 与EC 交于点F ，AC 与ED 交于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想四边形ABCD 两组对边AB 、CD 与BC 、AD 之间的数量关系并说明理由；（3）若3BE =，4AE =，6AB =，则CD 的长为 ．8．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，1AB =，2CD ，BCD DBC ∠=∠，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，现将Rt ABC ∆沿ABC ∠的平分线BB '方向平移得到△A B C '''，连接AA '，BC '，若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，求BB '的长．9．我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形问题转化为三角形问题的重要思想．除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形．我们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题．（1）概念理解如图（1），在ABC∆中，CH AB⊥于H，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、EH、DE、FH，写一个图形中的“等邻角四边形”：（不再添加除图形以外的字母）；（2）解决问题如图（2），四边形ABCD是“等邻角四边形”，且DAB ABC∠=∠，延长AB、DC交于点P．求证：AD PC BC PD⋅=⋅；（3）探索研究如图（3），Rt ABCAC=，3AD=，点E是BC边上的一个AB=，4∠=︒，8∆中，90BAC动点，当四边形ADEC成为“等邻角四边形”时，求四边形ADEC的面积．10．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG 是垂等四边形，且90=．∠=︒，AF CGEFG①求证：EG DG =；②若BC n BG =⋅，求n 的值；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，2AC BC =，5AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ．过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ACB ∆与DBE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．11．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，60A ∠=︒，70B ∠=︒，求C ∠，D ∠的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形” ABCD （如图2)，其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =成立．请你证明此结论（3）已知：在“等对角四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，10AB =，8AD =．求对角线AC 的长．12．定义：长宽比为:1(n n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为2矩形．（1）证明：四边形ABCD为2矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM ON⊥，连接MN．求tan OMN∠的值；②若AM AD=，点N在边BC上，当DMN∆的周长最小时，求CNNB的值；③连接CM，作BR CM⊥，垂足为R．若22AB=，则DR的最小值=．13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）①如图2，在四边形ABCD中，80ABC∠=︒，140ADC∠=︒，对角线BD平分ABC∠．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若4BD=，求AB BC⋅的值．运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，30EFH HFG∠=∠=︒．连接EG，若EFG∆的面积为63FH的长．14．新定义：两邻角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）四边形ABDE 是邻余四边形，则下列说法正确的是 （填序号）．①AE ，BD 的延长线的夹角为90︒；②若AB 为邻余线，则AB 是最长边；③若AB 为邻余线，则D ABD ∠>∠．（2）在64⨯的方格纸中，A ，B 在格点上，请在图①，图②中各画出一个符合条件的邻余四边形ABHG ，使AB 不是邻余线，G ，H 在格点上．（3）如图③，四边形ABDE 是邻余四边形，AB 为邻余线，点F 为DE 的中点，连接AF ，BF ，恰有AF ，BF 分别平分EAB ∠，DBA ∠．若8AE BD ⋅=，求DE 的长．15．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC ∆和两个网格四边形ABCD 与ABCE ，其中是被AC 分割成的“友好四边形”的是 ；（2）如图2，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，点B '落在边AC ，过点A 作//AD A B ''交CA '的延长线于点D ，求证：四边形ABCD 是“友好四边形”； （3）如图3，在ABC ∆中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC ∆的面积为63，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，求BD 的长．16．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3BC =．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF 是ABC ∆的内接正方形，则正方形CDEF 的边长1a 等于 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中EDA ∆的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为2a ；继续在图2中的HGA ∆中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，⋯⋯则第n 个内接正方形的边长n a = ．(n 为正整数）17．有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD 是倍角梯形，//AD BC ，100A ∠=︒，请直接写出所有满足条件的D ∠的度数；（2）如图1，在四边形ABCD 中，180BAD B ∠+∠=︒，BC AD CD =+．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC ，当2AB AC AD ===时，求BC 的长．18．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是 ．（填写序号）；①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形（2）如图，在722⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上，连接AC ．①图中ACD ∆中CD 边上的高的长为 ．②请判断四边形ABCD 是否为“奇妙”四边形，说明理由；③请用图中的ABC ∆和ADC ∆拼成一个新的图形（两个三角形不重叠），使得该图形为轴对称图形，在网格图中画出两个你所拼后的图形（全等的图形只能算一个），所拼的两个图形分别为 、 （在原图上作图，或在空余网格处作图均可，注明图形顶点字母并表示在横线上）；（3）已知在“奇妙”四边形ABCD 中，其中一条“奇妙”边2AB =，对角线2BD =，60ADC ∠=︒，请直接写出该“奇妙”四边形的周长．19．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，满足2AC AB AD =⋅，四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是亮线．（1）以下说法正确的是 （填写序号）①正方形不可能是闪亮四边形；②矩形中存在闪亮四边形；③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60︒．（2）如图2，四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，9AD =，12AB =，20CD =，判断哪一条线段是四边形ABCD 的亮线？请你作出判断并说明理由．（3）如图3，AC 是闪亮四边形ABCD 的唯一亮线，90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，请直接写出线段AD 的长．20．我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M ，使得四边形OAMB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到DBE ∆，连接AD ，DC ，CE ．若30DCB ∠=︒，则四边形ABCD 是勾股四边形，为什么？。