费马大定理—数学史上著名的定理

猜想内容
当整数 n 2时，关于 x ， y ，的方程 z xn yn zn 没有正整数解。
历史研究
接力证明
1753年瑞士著名数学家欧拉，在给哥德巴赫的信中说，他 证明了n 3时的费马猜想，1770年其证明发表在 《代数指南》 一书中，方法是 “无限下降法” 和形如a 3数系的唯一因子 分解定理，这一方法也被后人多次引用。 1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为 n 是奇素数 的情况，认为费马猜想应该成立，并称为费马大定理(以区别 费马关于同余的小定理)，并为证明者设立大奖和奖章， 费马大定理之谜从此进一步风靡全球。
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证明者经历简介
◆ 1986年，安德鲁 • 怀尔斯决定向费马大定理发动冲击。 他先用18个月的时间，收集了这次战斗所必要的数学 工具，而他全面的估计是：接下来要做的，是可能长 达10年的专心致志的努力。 1988─ 1990年任牛津大学皇家学会研究教授。 1989年，当选为伦敦皇家学会会员。 1993年6月，安德鲁 • 怀尔斯在英国剑桥大学牛顿研究所 做了三次学术报告，在最后一次演讲结束时，他完成 了对费马大定理的证明。这个消息迅速登上世界各大 报纸头版的位置，在数学界更是奔走相告。 《纽约 时报》 在头版以 《终于欢呼 “我发现了！ ” ，久远 的数学之谜获解》 为题报道费马大定理被证 明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上 最著名的数学家，也是唯一的数学家。
历史研究
莫德尔猜想
1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫 做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、 有理系数的二元多项式，当它的 “亏格” 大于或等于 2 时，最 多只有有限个解。记这个多项式为f ( x ， y )，猜想便表示：最 多存在有限对数偶 xi ， yi Q ，使得 f ( xi ， yi ) 0。后来，人们 把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象 代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。 ( n 1)( n 2) n n 而费马多项式 x y 1没有奇点，其亏格为 。 2 当 n ≥ 4 时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如 果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 x n y n z n 本质上最多有有限多个整数解。
费马大定理
— 数学史上著名的定理
中文名： 外文名： 费马大定理 Fermat’ s Last Theorem
别 称： 表达式：
费马最后的定理 x n y n z n (n 2时， 无正整数解)
提出者： 皮耶 • 德 • 费马(法国) 提出时间： 1637年左右 证明者： 安德鲁 • 怀尔斯(英国) 证明时间： 1995年彻底证明
历史研究
谷山丰猜想
1986年美国加州大学伯克利分的肯 • 里贝特教授，为证明 弗雷命题已奋斗了十八个月， 曾亲耳听到弗雷当年演讲的里贝 特深信自己能证明弗雷命题，但久攻未克，这年夏天哈佛大学 教授巴里 • 梅祖尔来伯克利访问并参加国际数学家大会，有一 次里贝特与他起喝咖啡，便研讨起弗雷命题，梅祖尔的一个提 醒让里贝特恍然大悟，里贝特随即完成了弗雷命题的证明， 并 当即在这届国际数学家大会内外传开。世界数学界为之兴奋。
历史研究
证明完成
经过认真考虑以后，1994年 1月怀尔斯邀请在剑桥工作的、他 以前的学生、文章的审稿人之一理查德 • 泰勒到普林斯顿帮他 完善科利瓦金—弗莱切方法解决问题，可是到了9月，依然没 有结果，他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔 斯决定在 9月底作最后一次检查。1994年9月19日， 一个星期一 的早晨，怀尔斯准备再一次寻找失败的原因时， 突然冒出了一 个想法：将(放弃的)岩泽理论与科利瓦金—弗莱切方法结 合起来！问题解法就是这样，怀尔斯绝处逢生，修补了 漏洞。证明最后归结为一个纯代数问题：关于赫克环 的完全交性质。这最后关口是他与泰勒一起共同 完成的。
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历史研究
证明完成
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为 “L函数和算 术” 的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨， 于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以 “模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示” 为题，分三次作了演讲。 听完演讲人们意识到谷山—志村猜想已经证明。由此把法 尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯 • 里贝特证明的弗雷命题和怀 尔斯证明的谷山—志村猜想联合起来就可说明费马大定理 成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔 斯最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。 1993年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理 被证明之后，世界媒体铺天盖地般报道了该喜讯。
历史研究
莫德尔猜想
二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。 借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内， 再是10000以内的值证明了费马大定理，到80年代，这个范围 提高到25000，然后是 400万以内。 1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而 翻开了费马大定理研究的新篇章。法尔廷斯也因此获得 1986年菲尔兹奖。
历史研究
接力证明
1844年，库默尔提出了 “理想数” 概念，他证明了：对于 所有小于100的素指数 n ，费马大定理成立，此一研究告一阶 段。但对一般情况，在猜想提出的头两百年内数学家们仍对 费马大定理一筹莫展。 1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家 拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称 证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔 则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯 入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了 德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数 系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅 和柯西的证明都是错的。
历史研究
谷山丰猜想
1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类 数学家们了解更多的曲线 —— 模曲线之间存在着某种联系； 谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓 “谷山 — 志村猜想” ，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆 曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白， 但它又使 “费马大定理” 的证明向前迈进了一步。 1958年英国数学家贝赫和斯维纳通 — 戴尔构造了椭圆 曲线 E 的 L ( E ， s ) 函数，他们对该函数在 s 1处的零点与 椭圆曲线 E 上的有理点关系给出了一个简称BSD猜想。
费马自己证明了n 4的情形。
历史研究
接力证明
十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当 n 和 2n 1都是素数时费马大定理的反例，x ， y ，至少有一个是 z n的 整倍数。在此基础上， 1825年德国数学家狄利克雷和法国数学 家勒让德分别独立证明费马大定理在 n 5时成立，用的是欧拉 所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进， 并证明了n 7的情形，他的证明使用了跟 7 本身结合得很 紧密的巧妙工具，只是难以推广到n 11的情形；于是， 他又在1847年提出了 “分圆整数” 法来证明，但没有 成功。
历史研究
证明完成
美国 1994年10月25日11点 4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、 俄亥俄州立大学教授卡尔 • 鲁宾向世界数学界发了费马大定理 的完整证明邮件，包括一篇长文 《模椭圆曲线和费马大定理》 ， 作者安德鲁 • 怀尔斯； 另一篇短文 《某些赫克代数的环论性质》 ， 作者理查德 • 泰勒与安德鲁 • 怀尔斯。这两篇论文总共有130页， 是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在1995年5月的 《数学年刊》 (Annals of Mathem atics)第142卷上。至此费马 大定理得证。
历史研究
谷山丰猜想
1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次 数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可 构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化， 也就是说谷山 — 志村 猜想将不成立。 但弗雷构造的所谓 “弗雷曲线” 不可模形式化也 说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为 “弗雷命题” ， 弗雷命题如得证，费马大定理就与谷山 — 志村猜想等价。
证明者经历简介
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安德鲁 • 怀尔斯1953年出生在英国，父亲是一位工程学 教授。 安德鲁 • 怀尔斯10岁时，就被费马大定理吸引住了，并 从此选择了数学作为终身职业。 1974年，毕业于牛津大学默顿学院(Merton学院)，获 数学学士学位。
1977年，在剑桥大学克莱尔学院(Clare学院)获博士 学位，导师约翰 • 科茨(John Coates) 。其后任克莱尔 学院初级研究员及哈佛大学助理教授。 1981年，到美国普林斯顿高等研究院任研究员。 1982年，任普林斯顿大学教授。
历史研究
证明完成
1986年，英国数学家安德鲁 • 怀尔斯听到肯 • 里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到 了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域， 他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的 基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与 模形式通过伽罗瓦表示方法 “排队” 。接下来要将 安德鲁 • 怀尔斯 两种 “排队” 序列对应配对，这一步他两年无进展。 此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年 他的博士导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联 数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法 使其工作有重大进展。
猜想提出
大约1637年左右，法国学者皮耶 • 德 • 费马在 阅读丢番图( Diophatus《算术》 ) 拉丁文译本时， 曾 在第11卷第8命题旁写道： “将一个立方数分成两 个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之 和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同 次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发 现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，皮耶 • 德 • 费马 写不下。 ” 毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献 良多，由此激发了许多数学家对此猜想的兴趣。数学家 们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
历史研究
悬赏求证
1908年，格丁根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡 在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。 提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困 决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅 证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀 时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来 成为大富豪，1908年这位富豪死时，遗嘱将其一半遗产 捐赠设奖，以谢其救命之恩。 从此世界毎年都会有成千上万人宣称证明了费马 大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构， 不得不预写证明否定书。
历史研究
证明完成
一阵热烈兴奋之后，开始了严格的审查。审查人六位， 每人负责一章，其中第三章审查者凯兹在1993年 8 月23日发 现了证明中的一个小缺陷。开始怀尔斯认为容易补救，后来 逐渐认识到采用科利瓦金—弗莱切方法仍有障碍。经过一个 秋天，在各种传闻和情绪的压力下，怀尔斯于1993年12月公 开承认证明有问题，但表示很快会补正。一时间怀尔斯的证 明被认为是历史上拉梅、柯西、勒贝格、里贝特(里贝特也 曾称证明了谷山—志村猜想)错误证明的又一例子。在这 困难的时刻，怀尔斯在普林斯顿的一位同事萨尔纳克 建议他应当找一个他信赖的、而且熟悉科利瓦金 — 弗莱切方法的专家经常一起讨论技术细节， 鼓励他用这种方式再试下去。
历史研究
接力证明
大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到 唯一因子分解是否成立是欧拉、 热尔曼创立的企图证明费马大 定理的方法关键，于是他创立了一种 “理想数环” 理论，据说 这一思想也受其老师高斯启发， 高斯表面上声称对费马大定理 不感兴趣，实际上对n 7久思不解。学生库默尔运用独创 “理 想素数” 理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有 奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。 库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前， 直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了 一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威 声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛 传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家 的分析证明还是错的。