《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第一章 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.2(一)
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
问题 3
本 课 时 栏 目 开 关
依据棱柱底面多边形的边数如何分类？如何用棱柱
各顶点的字母表示棱柱？
答 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三 棱柱、四棱柱、五棱柱……；图 1 中的六棱柱用各顶点字母 可 表 示 为 棱 柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 或 棱 柱 AD′.
小结 如果一个几何体有两个平面平行，其它平面都是四 边形，并且每相邻两个侧面的公共边相互平行，这个几何 体就是棱柱．
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1.1.2（一）
跟踪训练 2 正方体集合记为 A， 长方体集合记为 B， 直棱柱
本 课 时 栏 目 开 关
集合记为 C，棱柱集合记为 D，写出这四个集合之间的关系．
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1.1.2（一）
例 2 如图， 截面 BCEF 将长方体分割成两部 分，这两部分是否为棱柱？
本 课 时 栏 目 开 关
解 从图中看出，EF 与 BC 平行，所以分割成的两部分都 是棱柱，因为都有两个面互相平行，而且夹在这两个平行 平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．
本 课 时 栏 目 开 关
体．(1)棱柱有两个面 互相平行 ，(2)其余每相邻两个面 的交线都 互相平行 ．棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱
的底面 ，其余各面叫做 棱柱的侧面 ，两侧面的公共边叫
做棱柱的侧棱． 棱柱两底面之间的 距离 ， 叫做棱柱的高． 4．棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 斜棱柱 ，侧 棱与底面垂直的棱柱叫做 直棱柱 ，底面是正多边形的直 棱柱叫做 正棱柱 .
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1.1.2（一）
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.2(一)
本 课 时 栏 目 开 关
∵F 为 CC1 的中点，
∴BG 綊 C1F.
∴四边形 BGC1F 为平行四边形．
∴BF 綊 GC1. 又∵EG 綊 A1B1，A1B1 綊 C1D1，
∴EG 綊 D1C1.
∴四边形 EGC1D1 为平行四边形．
∴ED1 綊 GC1.∴BF 綊 ED1.
－A1B1C1D1 的棱 AD, A1D1 的中点．求证： ∠C1E1B1 ＝ ∠CEB.
本 课 时 栏 目 开 关
证明 由于 E， 1 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AD, E A1D1 的中点，
所以 EE1∥DD1，且 EE1＝DD1，
又因 DD1∥CC1 且 DD1＝CC1，
∴四边形 MNA1C1 是梯形．
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1.2.2(一)
(2)由(1)可知 MN//A1C1，
又∵ND//A1D1，
本 课 时 栏 目 开 关
∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补． 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的一个锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
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1.2.2(一)
问题 2
你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对
角线Байду номын сангаас？
本 课 时 栏 目 开 关
答 如图，是一个空间四边形， AC、BD 是它的对角线.
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1.2.2(一)
问题 3
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能
画出吗？
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.4doc
3.2.4 二面角及其度量一、基础过关1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定 2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m ＝(－1，2,0)，n ＝(1,0，－2)，且m 、n 都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为( ) A.15 B.245 C.14 D.1543．二面角α—l —β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，2，则二面角α—l —β的大小为 ( ) A ．120°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120° 4.在正方体AC 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的 二面角的余弦值为( )A ．－12B.23C.33D.22 5．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________．6．已知A ∈α，P ∉α，P A →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－2，则直线P A 与平面α所成的角为________．二、能力提升7．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为( )A.13B.12C.233D.32 8．A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，P A 与l 成45°角，P A 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°9.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为________．10.如图，已知四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，P A＝AB＝a，点M是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．11.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD ＝ 2.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．三、探究与拓展12. 如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.(1)证明AD⊥CE；(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C—AD—E的余弦值．答案1．C 2．B 3．C 4．B5．90°7．A 8．C 9.a 2＋b 2＋c 2－d 22ab10．解 (1)建系如图，由已知得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ.∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角的大小为90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)，BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0.又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22. ∴所求的二面角M —DA —C 的大小为45°.11．解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角B —AF —D 的大小等于π2.12. (1)证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系Oxyz .设A (0,0，t )．由已知条件有C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)解 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图所示．设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0.故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°，由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)． 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |. 故G ⎝⎛⎭⎫23，223，33，GC →＝⎝⎛⎭⎫13，－223，－33， GE →＝⎝⎛⎭⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0， 所以GC →与GE →的夹角等于二面角C —AD —E 的平面角．由cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.3(二)
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体，要注意利用平面 图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质．
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1.2.3（二）
跟踪训练 2 如图，在四面体 ABCD 中，BD＝ 2a，AB＝AD＝BC＝CD＝AC＝a.求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
∴△ABD 为正三角形．∴BG⊥AD.
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
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1.2.3（二）
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD.∴AD⊥平面 PBG， 又∵PB⊂面 PBG，∴AD⊥PB.
本 课 时 栏 目 开 关
小结
证明线面垂直，除利用定义和判定定理外，另一种重
所以 AD⊥平面 BDC. 因为平面 ABD 和 ACD 都过 AD， 所以平面 ABD⊥平面 BDC，平面 ACD⊥平面 BDC；
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1.2.3（二）
(2)如图(1)中，在直角△BAC 中，
2 因为 AB＝AC＝a，所以 BC＝ 2a, 所以 BD＝DC＝ a, 2 如图(2)，△BDC 是等腰直角三角形，
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.3（二）
1．两平面垂直的定义：如果两个相交平面的 交线 与第三个
本 课 时 栏 目 开 关
平面垂直， 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交 线 互相垂直 ，就称这两个平面互相垂直．两个平面 α，β 互相垂直，记作： α⊥β . 2． 面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的 一条
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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.1.2
3.1.2 空间向量的基本定理一、基础过关1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 35．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.6．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．二、能力提升7．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D8．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11.如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .答案1．A 2．C 3．D 4．D 5.215 6.12a ＋14b ＋14c7．A 8．C9．210．解 因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.11．解 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →.∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．12．证明如图．EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．13．(1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－AB →＋AD →＋13AA 1→. 所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13. 所以x ＋y ＋z ＝13.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.6
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1.1.6
探究点三
答
本 课 时 栏 目 开 关
圆柱、圆锥、球的表面积
问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？
图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面 圆周长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半 径为 r，母线长为 l，
面面积等于它的大圆面积的四倍．
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1.1.6
[问题情境]
本 课 时 栏 目 开 关
已知 ABB1A1 是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB＝b，P 是 BB1 的中点；一小虫沿圆柱的侧面从 A1 爬到 P，如何求小虫爬 过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开， 本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面 积．
答 涂 100 个这样的花盆需油漆 1 000 毫升.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.6
1．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴
本 课 时 栏 目 开 关
截面面积为 A．8 8 B． π 4 C． π 2 D． π
(
)
解析 围成圆柱有两种方式，一种是以 2 为圆柱的母线， 4 圆柱底面圆的周长为 4，所以圆半径为 ， 2π 4 8 圆柱轴截面面积为 2×2×2π＝π，
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1.1.6
问题 2 下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图，归纳出 直棱柱的侧面面积公式吗？
本 课 时 栏 目 开 关
答
S 直棱柱侧面积＝ch.即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和
高的乘积．
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1.1.6
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.3(一)
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.3（一）
1． 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点， 并且
本 课 时 栏 目 开 关
交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直． 2．如果一条直线 AB 和一个平面 α 相交于点 O，并且和这个 平面内过交点 O 的任何直线都垂直，我们就说这条直线 和这个平面互相垂直． 这条直线叫做平面的垂线， 这个平 面叫做 直线的垂面 ，交点叫做 垂足 ，垂线上任意一点到 垂足间的线段， 叫做这个点到这个平面的垂线段， 垂线段 的长度叫做这个 点到平面的距离 ．
子吗？
答 旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象；大 桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形 象．
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1.2.3（一）
问题 2
在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相
交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能 举例说明吗？
答 不一定．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果
1.2.3（一）
问题 4
结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直
的意义． (1)如图，阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它
本 课 时 栏 目 开 关
在地面上的影子 BC 的位置关系是什么？随 着太阳的移动，旗杆 AB 与影子 BC 所成的 角度会发生改变吗？
答 垂直关系，所成的角度不变，都为 90° .
又因为 m⊂α，n⊂α，m，n 是两条相交直线，所以 b⊥α.
小结 推论 1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面， 那么另一条直线也垂直于这个平面．
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1.2.3（一）
跟踪训练 1 已知：直线 l⊥平面 α，直线 m⊥ 平面 α，垂足分别为 A、B，如图，求证：l∥m.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.1
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.1
1．连接两点的线中， 线段 最短；过两点有 一条 ，并且只 有 一条 直线． 本 课 两点 在一个平面内， 时 2．平面基本性质 1：如果一条直线上的
栏 目 开 关
那么这条直线上的 所有点 都在这个平面内． 这时我们说， 直线在平面内或 平面经过直线 . 3．基本性质 2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有 一个平面．或简单说成：不共线的 三点确定一个平面．
本 课 时 栏 目 开 关
( C )
A．两条直线 C．一个三角形
B．一点和一直线 D．三个点
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.2.1
3．“a、b 为异面直线”是指： ①a∩b＝∅，且 a b；②a⊂面 α，b⊂面 β，且 a∩b＝∅； ③a⊂面 α，b⊂面 β，且 α∩β＝∅；④a⊂面 α，b⊄面 α； ⑤不存在面 α，使 a⊂面 α，b⊂面 α 成立．
小结 我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．
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1.2.1
例 1 如图中的△ABC， AB、 若 BC 在平面 α 内，判断 AC 是否在平面 α 内？
解 ∵ AB 在平面 α 内，∴ A 点一定在平面 α 内，又 BC
本 课 时 栏 目 开 关
在平面 α 内，
∴ C 点一定在平面 α 内，因点 A、点 C 都在平面 α 内，
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1.2.1
问题 8 基本性质 2 中“有且只有一个”的含义是什么？
答
本 课 时 栏 目 开 关
“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，
“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的 三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点 确定一个平面．“有且只有一个平面”也可以说成“确定一 个平面．”
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3． 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体， 则水面在容器中的形状可以是 ①三角形，②菱形，③矩形，④正方形，⑤正六边形， 其中正确的是 A．①②③④⑤ C．②③④⑤ B．②③④ D．③④ ( ) ( )
4． 下面没有多面体的对角线的一种几何体是 A．三棱柱 C．五棱柱 B．四棱柱 D．六棱柱
A．2 3
B．3 2
C．6
D. 6 ( )
10．下列说法正确的是 A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱的几何体中至少有两个面平行 11．如图在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝BC＝ 2，BB1＝2，∠ABC＝ 90° ，E，F 分别为 AA1，C1B1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的 最短路径的长度为________． 12．如图所示，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝3，AA1＝4，M 为 AA1 的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短 路线长为 29，设这条最短路线与 CC1 的交点为 N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和 NC 的长． 三、探究与拓展 13．如图所示，在长方体 A1B1C1D1—ABCD 中，已知 AB＝5，BC＝4，BB1 ＝3，从 A 点出发，沿着表面运动到 C1，求最短路线长是多少？
答案
1．D 2.D 3.C 4．A 5．4 2 6．QMNP 7．解 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 AE⊥BC，DE⊥BC.因为 AE＝ 3 1 1 ×4＝2 3，所以 DE＝ 2 32＋22＝4，所以 S△BCD＝ BC· ED＝ 2 2 2
×4×4＝8(cm2)．所以截面 BCD 的面积是 8 cm2. 8．解 此题相当于把两个正三棱柱都沿 AA1 剪开拼接后得到的线段 AA1 的长，即最短路线 长为 10.
13．解 分三种情况展成平面图形求解． 沿长方体的一条棱剪开，使 A 和 C1 在同一平面上，求线段 AC1 的长即可，有如图所示
的三种剪法： (1)若将 C1D1 剪开，使面 AB1 与面 A1C1 共面，可求得 AC1＝ 52＋3＋42＝ 74. (2)若将 AD 剪开，使面 AC 与面 BC1 共面，可求得 AC1＝ 42＋3＋52＝ 80. (3)若将 CC1 剪开，使面 BC1 与面 AB1 共面，可求得 AC1＝ 5＋42＋32＝ 90. 相比较可得最短路线长为 74.
5． 长方体 ABCD—A1B1C1D1 的一条对角线 AC1＝8 2，∠C1AA1＝45° ，∠C1AB＝60° ，则 AD＝________. 6． M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合之间的关 系为__________． 7． 正三棱柱 ABC—A′B′C′的底面边长是 4 cm，过 BC 的一个平面交侧棱 AA′于 D， 若 AD 的长是 2 cm，试求截面 BCD 的面积． 8． 如图，已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1，高为 8，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为多少？ 二、能力提升 9． 一个长方体，共一顶点的三个面的面积分别为 2， 3， 6，则这个长方 体对角线的长是 ( )
1.1.2
一、基础过关
棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)
1． 下列命题中正确的一个是 A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体 2． 下面关于长方体的判定正确的是 A．直四棱柱是长方体 B．过两条不相邻的侧棱的面是全等的矩形的四棱柱是长方体 C．侧面是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面是矩形的直四棱柱是长方体
9．D 3 2—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线 长为 92＋42＝ 97. (2)如图所示，将侧面沿 A1A 剪开并展开，由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短 路径为线段 MP.设 PC＝x，
在 Rt△MAP 中，有(3＋x)2＋22＝( 29)2⇒x＝2， 4 故 PC＝2，NC＝ . 5