时间序列分析讲义(3)

第四次作业

第1题 已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA (3) 模型（单位：万人）

3212.06.08.0100----+-+=t t t t t Y εεεε，()25,0~N iid t ε。

2002—2004 年的常驻人口数量及1步预测数量下表。 年份 常驻人口数量

预测的常驻人口数量

2002 104 110 2003 108 100 2004

105

109

（1）计算此模型的均值函数t Y E 和自相关函数k ρ。（2）预测未来5年该地区常驻人口数量的95％的置信区间。

第2题 一个销售序列的拟合ARIMA (1, 1, 0)模型为

)2,0(IID ~,)1)(43.01(N a a Z B B t t t =--。

已知观测值9.33,4.335049==Z Z 。计算535251,,Z Z Z 的预报值，以及它们的90%置信的预报区间。

第3题 基于样本100,,2,1y y y 估计模型(c2)，得到

)

0698.0()1543.0()214.7(19013.0188.026.13t u t Y t t Y +-++=. 在通常的检验水平上（=α10%，5%，1%）检验该模型是否存在单位根。

◆ 自回归求和移动平均（ARIMA ）过程的预测

（实际问题中常用到的补充内容，教材没有。期末必考一题）

回忆在教材的第二章第二节我们学习过ARIMA(p,d,q)过程。 定义 设1≥d 为整数。对时间序列{}

Z t t X ∈,，如果它的d 次向后 差分序列t

X d L t Y )1(:-=是因果平稳的ARMA(p,q)过程，则称{}

t X 是

ARIMA(p,d,q)过程，即满足模型

)2,0(~)(0)1)(()(σφWN t

u t u L t X d L L t X L Θ+=-Φ=*Φ。

其中011)(=---=Φp

x p

x x φφ 的p 个根都在单位圆1||=z 以外，并且

0)(=Φx 与011)(=+++=Θq

x q x x θθ 没有公共根。

由于方程0)1)(()(=-Φ=*Φd x x x 有d 重单位根1=x 位于单位圆

1||=z 上，称{}

t

X 是单位根过程，它必然不能是平稳的（既不是因果平

稳的，也不是非因果平稳的）。而ARIMA(p,d,q)过程存在是否可逆的问题。回忆时间序列可逆性的定义。

定义 称（可以是平稳的或非平稳的）时间序列{}

Z t t X ∈,是可逆

的，如果存在数列{}

0,≥j j π满足∞<∑∞

=|0|j

j π以及常数λ，使得

).(0

s m j j

t X j t u ∑∞

=-+=πλ 是白噪声)2,0(σWN 。

可逆性是与因果平稳性没有关联的性质。由于以上ARIMA(p,d,q)

过程可以看作是ARMA(p+d,q)过程

)2,0(~)(0)(σφWN t

u t

u

L t X L Θ+=*Φ，

因此可以通过ARMA 过程可逆性的判定定理去判别ARIMA(p,d,q)过

程的可逆性。

补充推论 以上ARIMA(p,d,q)过程{}

t X 是可逆的，当且仅当方程

011)(=+++=Θq

x q x x θθ 的q 个根都在单位圆1||=z 以外。此时{}

t

X 有唯一的逆转形式

.).(0

)(s m j j

t X j t X L t u ∑∞=-+=*∏+=πλλ，

其中∑=+-=Θ-=q j j

1

10)1(0θφφλ，∑∞=*=*∏0)(j j x j x π满足10=*π和

∞<∑∞=*0

||j j π，由)()1)(()()()(x d x x x x x Θ-Φ=Θ*Φ=

*∏唯一确定。 还注意到由于0)1()11)(1(0

)1(=Θ-Φ=

∑∞=*=*∏d j j π，且10=*π，因此有101

-=*-=∑∞=*ππj j 。

注解 设)(t f 是至多1-d 次确定性的（非随机的）多项式。则对以上ARIMA(p,d,q)过程{}

t X ，有

t

u

L t X d L L t f d L t X d L L t f t X d L L )(0)1)(()]

()1()1)[(()]([)1)((Θ+=-Φ=-+-Φ=+-Φφ，

因为0)()1(=-t f d L 。例如，0]22

10[3)1(=++-t t L βββ。所以，

ARIMA(p,d,q)过程可以表示带有确定性多项式趋势的序列，{}

t X 不能被t

u L t X d L L )(0)1)((Θ+=-Φφ唯一确定。

注解 对ARIMA(p,d,q)过程{}

t X 的建模可以先对它进行d 次差分，然后对差分序列t

X d L t Y )1(:-=建立因果平稳的ARMA(p,q)过程，经

过初步识别、参数估计、用信息准则定阶、诊断式检验的完整步骤。

现在我们开始讨论ARIMA(p,d,q)过程的预测问题。设有ARIMA(p,d,q)过程{}

t X 满足模型

)2,0(~)(0)1)(()(σφIID t

u t

u L t X d L L t X L Θ+=-Φ=*Φ

（加强为独立同分布的白噪声）。其中011)(=---=Φp

x p

x x φφ 与

011)(=+++=Θq

x q

x x θθ 的根都在单位圆1||=z 以外，且没有公共根。

则以上补充推论说{}

t X 是可逆的，并且有唯一的逆转形式（见推论中形式）。由逆转形式可以看出：对∞<≤t 1，如果给定了 ,1

,-t X

t

X （到

无穷远过去）的值，则也给定了 ,1

,-t u

t u （到无穷远过去）的值。