金融经济学基础第三章中文文字版

第三章 资产组合前沿边界的数学分析

3.1 在第二章我们证明了当风险资产A 二阶随机占优于风险资产B 时，风险资产A 的期望收益率必然等于风险资产B 的风险收益率，方差则小于B 的方差。当存在两个以上的资产并且可以无限制地构造投资组合时，如果存在一个资产的投资组合二阶随机占优于所有与其期望收益率相同的投资组合，则这个占优的投资组合的方差必然最小。这一结果是我们论述在不同的期望收益率水平下具有最小方差的投资组合的动机之一。

3.2 资产选择的均值-方差模型自从马科维茨(Markowitz,1952)发展以来，已经被广泛地应用在金融领域。个体效用函数的单调性和严格凹性意味着投资者对预期收益的偏好和对方差的厌恶。不过，对任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益和方差决定。然而，资产选择的均值-方差模型仍然流行是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。除3.1节指出的一个动机之外，还存在两个技术上的动机，简要回顾如下。

3.3 个体的效用函数可以在期望财富附近泰勒展开，

///231()([])([])([])([])([]),2

u w u E w u E w w E w u E w w E w R =+-+-+ 其中

()331([])([])([])!

n n n R u E w E w w E w n ==-∑

()n u 表示u 的n 阶导数。

假设这个泰勒级数收敛，并且取期望和求和的过程是可以互换的，则个体期望效用可以表示为

//231[[]]([])([])()[],(3.3.1)2!

E u w u E w u E w w E R σ=+

+ （3.3.1） 其中 ()33

1[]([])()!n n n E R u E w m w n ==∑ （3.3.2） ()n m w 表示的w 的n 阶中心矩。

关系式（3.3.1）指出了一个对期望财富偏好和对分差厌恶的个体，其效用函数是递增并严格凹的。除了期望与方差，关系式（3.3.2）还含有高阶矩的项，它说明

了对于任意的分布和偏好，期望效用不能仅仅由财富的期望值和方差确定。

3.4 对任意分布，均值-方差模型在二次效用的假设下有效。二次效用的三阶和更高阶导数为零，因此对任意的分布，3[]E R =0。所以，个体的期望效用函数被他的期末财富w 的前二阶中心矩决定，

/2[[]][][[]][][])()22b b E u w E w E u w E w E w w σ--=-+ 这样，当期望收益率和方差有限时，对于依据期望效用的均值和方差形式决定的偏好关系来完全地描述资产选择，二次效用是足够的。然而，因为二次效用函数具有满足性和递增的绝对风险厌恶这两种性质，所以其表现也不尽如人意。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减小。递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣等品。因此，在二次效用假设基础上的经济结论经常与直觉相悖，并且不适用于那些偏好更多的财富和将风险投资视为正常商品的个体。

3.5 对任意的偏好，均值-方差模型在风险资产收益率服从多元正态分布的假设下有效。正态分布被它的均值和方差完全确定。在正态分布下，3[]E R 所含的三阶和更高阶矩可以由前二阶矩的方程表示，3[]E R 因此完全是均值和方差的函数。正态分布具有可加性，也就是说，一个由收益服从多元正态分布的资产构成的资产组合，其收益也服从正态分布。对数正态分布也可以由其均值和方差完全确定，但它不是可加的。这意味着一个由服从多元对数正态分布收益的资产构成的资产组合并不是对数正态分布的。这样，对于定义在正态分布的期末财富之上的效用函数，资产收益满足多元正态分布的假设意味着对风险资产的需求是由资产组合收益的均值和方差决定的。然而，对于其他形式的效用函数，如()ln()u z z =，期望效用并不是在非正的财富水平上定义的。遗憾的是，正态分布的两端是无穷的，这与有限责任和经济理论不一致，后者认为负的消费是没有意义的。好在多元正态分布仅仅是所有个体选择均值-方差有效资产组合的一个充分的分布条件。

3.6 基于以上论述，均值-方差模型并不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要角色，是因为它具有数量分析的简易型和丰富的实证检验。本章发展了关于可行的投资组合收益率的均值和方差之间的解析关系，这将为第四章扩展均值-方差资产选择和资产定价模型的更一般条件奠定基础。

3.7 除非另外提到，我们假设在一个无摩擦的经济系统中有2N ≥种风险资产，

可以无限制的卖空，并且这些资产的收益率具有有限的方差和不同的预期。我们还假设任何资产的随机的收益率不能表示为其他资产收益率的线性组合。在这个假设下，资产收益是线性独立的，并且方差-协方差矩阵V 是非奇异的。因为对于所有i 和j ，(,)(,)i j j i Cov r r Cov r r =，所以方差-协方差矩阵又是对称的。这样的对称阵被称为正定的，如果对任意N 维，常向量w ，满足0≠w ，0T ≠w Vw ，其中T 表示转置，0≠w 意味着在w 中至少有一个元素非零。V 是一个正定矩阵，因为T w Vw 是一个投资组合的方差，即使投资组合的权重之和不为一，并且风险资产组合的方差是严格大于零的。

3.8 在具有相同期望收益率的资产组合中，具有最小方差的资产组合称为前沿边界的资产组合。一个资产组合p 是一个前沿边界的资产组合，当且仅当N 维资产组合权重向量p w 是以下二次规划的解：

{}1min 2

T w w Vw （3.8.1） 给定

[]T p E r =w e

1T =w 1

其中，e 表示这N 项资产的N 维期望收益率等于[]p E r ，且投资组合权重之和为1，使资产组合的方差最小化。注意，卖空（即负的资产组合权重）是允许的。因此，可行的资产组合的期望收益的范围是无界的（这是资产具有不同的期望收益率的假设而来的）。

由拉格朗日解法，p w 是下式的解：

{,,}1min ([])(1)2

T T T p w L E r λγλγ=+-+-w Vw w e w 1 （3.8.2） 其中，λ和γ是两个正的常数。一阶条件是

0p L λλ∂=--=∂Vw e 1w

（3.8.3a ） []0T

p p L E r ∂=⋅=∂w e w

（3.8.3b ） 10T

p L ∂=-=∂w 1w

（3.8.3c ）