第21章《二次根式》复习
21.4第二十一章《二次根式》小结与复习(陈沃根)
∴原式＝
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1， 且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
知能迁移2
2012 10＋3)]
ห้องสมุดไป่ตู้
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2012 ＝(10－9)2010＝1
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
|6－3m|＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6， ∴m－3＝0且n－5＝0，
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
思想方法 感悟提高
方法技巧
1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合 并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
新人教版九年级数学第21章同步练习题及答案全套第二十一章 二次根式(复习课)
第21章 二次根式(复习课)◆随堂检测1、下列各式有意义的范围是x>3的为( ) A.3+x B.3-x C.31+x D.31-x2、计算的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43、mm m m m m 15462-+的值( ) A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负4、已知y<0．5、比较大小: ◆典例分析观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121=--1，32=-，同理可得从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算:+的值． 分析:由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解:原式……×=(2009-1)(2009+1)=2009-1=2008.◆课下作业●拓展提高1、下列二次根式中，最简二次根式是( )2、下列化简中，正确的是( )3、计算:2008200923)(23)⋅=_________．4、化简3232-+点拨:利用(32)(32)1=，可将分母化为有理式.53131+-a ，小数部分为b ，求22a ab b ++的值. 注意:正确求出a 和b 是解好本题的关键.6、已知53,53a b b c -=-=222a b c ab bc ca ++---的值.提示:由已知可先求出a c -(或c a -)的值,再将222a b c ab bc ca ++---转化为2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦代入即可得解. ●体验中考1、(2021年，荆州)已知a 为实数,2284a a a +--.(提示:首先要依据二次根式有意义的条件判定a 的值，然后再进行二次根式的加减运算.)2、(2021年，烟台)已知2,2a b ==,的值为( )A ．3B ．4C ．5D ． 6(点拨:222()2a b a b ab +=+-,而a b +=2)1ab ==,即,a b 的和与积比较简单,容易计算.)参考答案:◆随堂检测1、1、D 综合考虑被开方数是非负数且分母不为零,故选D.2、A 利用平方差公式即可.3、B 由题意得:0m >，∴原式350=+=-<，故选B.4、23x y - ∵y<02323x y x y ===-.5、解:=====∵3314172<<，∴<< ◆课下作业●拓展提高1、B 只有B 符合最简二次根式的要求.2、D 选项A 中0a <时不成立；选项B 和C 中，等号两边的值不相等.只有选项D 正确，故选D.3原式2008⎡⎤=⎣⎦=2008(1)-⋅=4、解:原式=+=5、解:2=又∵324<，∴3,(231a b ==+-=.∴2222()(21)433)10a ab b a b ab ++=+-=+-=+-=6、解:∵a b b c -=-=∴()()a b b c -+-=+=a c -=∴2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦=22211((53)(53)201822⎡⎤⎡⎤++-=++-+=⎣⎦⎣⎦. ●体验中考1、解:∵20a +≥且840a -≥且20a -≥,∴0a =,∴原式==2、C ∵a b +=2)1ab ==,∴2222()22118a b a b ab +=+-=-⨯=,5==.故选C.。
课题：第21章二次根式综合复习课件
若最简二次根式 2a b x 3a 2 与 x 1b 可以合并，求a，b的值。 若最简二次根式 162m n 与m n 1 m 7 是同类二次根式，求 求 m n 的值。
经 典 数 学
2.已知 x 3 2，y 3 2 ，求 （ 1） x2 y2
x y （ 2） y x
3.已知x y 2，z y 2 ，求x 2 y 2 z 2 xy yz xz 4.已知 x 1 3 ，求 x 12 4x 1 4 的值。
a a a 0，b 0 b b
二次根式的乘除法 二次根式的运算 二次根式的加减法
典例解读
二次根式的相关概念 例 1 已知a是任意实数，则下列各式中：① a 2；② a 2 6a 9 ；
③
2a 4
；④ a 2 3 ；⑤ a 2 3 ,其中一定是二次根式有（ C ） B、2个 C、3个 D、4个
1 1 1 1 2019 2 3 2018 2019 1 2
学以致用
例12 在进行二次根式化简时，我们有时会碰到如
实我们还可以将其进一步化简：
2
3 1
这样的式子，其
2 3 1
1 以上化简的步骤叫做分母有理化。 2 2 3 1 还能这样化简： 3 1 3 1 3 1
x y 2 y x
z 12
0，试求 x y z
2018
的值；
3.已知a，b为等腰三角形的两边，且满足等式
2 3a 6 3 2 a b 4
第21章 二次根式单元复习(2)[
基础题A组
1.计算或化简：
①
2 6 _____ 2 3
1 6 _______
2
6 ② 216
③
5 4 ________ 3
2
④在直角坐标系中，点P（1， 3 ）到原点的 距离是_________ 2
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4、计算：
4 9 1. 4 11 11 7 4 7 2. 14 6 5 3 5
5
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探索性练习：
5、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
9 3 7 12 5 48 1 1 12 4 3 4 0.5 8 3 2 2 3 3 2 2 3 b 1 a b
3
a b
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设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
拓展1
a 2， b 2 （1）求a -2 2a+2+b 的值.
2 2
解： 1 2 a 0, b 2 0 而 2 a b2 0
2 a 0 ， b2 0 a 2， b 2
原式 (a 2) b ( 2 2)2 22
基础题B组 2.化简下列各式
① ②
( 3) ( 3 2 )
2
2
24÷ 3 2
1 ③ 27 （ 12 3 ） 3
④
( 2 3)(2 2 1并概括二次根式的 运算的一般 步骤：
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例1、计算
1 1 (1)2 18 18 32 2 4
1 (2)2 12 4 3 48 27 (3) a b ab a
2 2 2
b ab a
3、二次根式的混合运算 例2、计算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
3、已知x、y是实数，且
y
x 4 4 x 1 x2
2 2
求3x+4y的值。
三、二次根式的性质
1.( a ) a (a 0) ( a 0 ) a 2 2. a ( a 0 ) a
2
例3、计算
2 2 (1)( ) 3
1 2 (2)( 6) 2
2
第21章《二次根式》复习
一、二次根式的意义 二、典型例题
3 例1、找出下列各根式： 27
(4)
4
2
a 2a 1
2
1 2 a 1( a ) 2
a 2
中的二次根式。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有
意义。
(1) 2 x 3
(2) 1 3x
3 (5) 2x 1
0
(3)(2 3)
(4)(3 x )
2
变式应用 1、式子
( a 1) a 1
2
成立的条件
是（ D ）
A.a 1 C .a 1
B.a 1 D.a 1
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且
ac
，那么
c a ( a c b)
2
等于（ D ）
A、2a-b
3 (5) 2ห้องสมุดไป่ตู้
(2) 48
1 (6) 8
1 (10) 2 1
(3) 125
3 (7) 3 5
(4) 800 (8) 0.4
3 (9) 24
3 (11) 2 5
五、二次根式的加减 1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，
如果被开方数相同，这几个二次根就叫 做同类二次根式 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
例2、计算
(1)(3 2 4 5 )
2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5) (2 3 5)
2 2
(4)(3 10)
2005
(3 10)
2005
变式应用 1、比较
7 5与 5 3
的大小。
3 2 2、已知 x , 3 2
6 5
4 2
5、最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式；
例4、判断下列各式中哪些是最简二次 根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a b
(3) x y
2 2
2
(2) 1.5ab (4) a b
练习：把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
(3) ( x 5)
2
(4) x 1
2
2 (6) 1 x
(7) x 5 ( x 6)
变式练习：
1、能使二次根式
( x 2)
2
有意义的实数
x的值有（ B
A、0个 2、已知
）
C、2个 D、无数个
B、1个
y x7 7 x 9
求 ( xy 64) 2 算术平方根。
(4) 10 x 10 xy
1
变式应用 1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条
件是
x4
。
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) b b
4、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
例3、计算
40 (1) 45
(2)3 m n 5 m n
求
3 2 y , 3 2
x y xy
2
2
的值。
3、如图，四边形ABCD中， ∠A=∠BCD=Rt∠，已知∠B=450，
AB= 2 6
CD= 3
求（1）四边形ABCD的周长；
（2）四边形ABCD的面积。
D A
C
B
2
2
四、二次根的乘除
1、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
例1、化简 例2、计算
(1) 16 81
(2) 2000
(1) 21 7
(2)3 5 2 15
1 (3) 4 15 ( 5) 2
C、b-2a
B、2c-b
D、b-2C
例4、把下列各式写成平方差的形式，
再分解因式；
(1)4 x 5
2
(2)a 9
4
(3)3a 10
2
(4)a 6a 9
4 2
例5已知
a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。 例6、化简
( x 4 ) ( x 2)