惠州市2019届高三第二次调研考试数学试题及答案(理科)

惠州市2019届高三第二次调研考试

数 学 (理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式： 球的体积公式：34

3

V R π=

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．复数2

(1)(1i z i i

-=+为虚数单位）的虚部为（ ）

.A 1

.B 1- .C 1± .D 0

2．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）

.A (1,2) .B [1,2]

.C [1,2)

.D (1,2]

3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3,a a a ==,则9S =（ ）

.A 72- .B 54- .C 54 .D 72

4. 按右面的程序框图运行后,输出的S 应为（ ） .A 26 .B 35 .C 40 .D 57

5.“1a =”是“直线1l :210ax y +-=与2l :(1)40x a y +++=平行”的（ ）

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件

.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是 （ ）

.A 16π .B 14π .C 12π .D 8π

7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）

.A 7 .B 9 .C 10 .D 15

8．已知函数234

2013()12342013

x x x x f x x =+-

+-++且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（

）

.A π .B 2π .C 3π .D 4π

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==则BC = . 10. 若tan()2πα-=，则sin 2α= .

11. 已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪

-≤⎨⎪-≤⎩

则2z x

y =-的最大值为 .

12. 若6(x 展开式的常数项是60，则常数a 的值为 .

13．已知奇函数3(0)

()()(0)

x a x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩则

(2)

g -的值为

.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

正视图

俯视图 左视图

F

B

A

C

P

14．（坐标系与参数方程选做题）已知点A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点A 到直线

sin()4

6

π

ρθ+

=的距离的最小值是________.

15.（几何证明选讲选做题）如图，D 是圆O 的直径AB 延长线上一点，PD 是圆O 的切线，P 是切点，30D ∠=。

，

4AB =，2BD =，PA = ．

三、解答题：（本大题共6小题，满分

80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）

已知函数(2cos 2f x x x =-）

. (1)求函数()f x 的最小正周期和最值； (2)求函数()f x 的单调递减区间． 17．（本题满分12分）

若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

（1） 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率； （2） 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望． 18.（本小题满分14分）

四棱锥P ABCD -底面是平行四边形，面PAB ⊥面ABCD ,

1

2

PA PB AB AD ===

,60BAD ∠=。,E F ，分别为AD PC ，的中点. （1）求证：//EF PAB 面；

（2）求二面角D PA B --的余弦值.

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*1

1()2

n n S a n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设*31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程

122311112551

n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+= 的正整数n 的值．

20．（本小题满分14分）

已知左焦点为(1,0)F -

的椭圆过点E ．过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；

（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．

21．（本小题满分14分） 已知函数2

()ln(1)f x ax x =-+ （1）当4

5

a =

时，求函数()f x 在(0,)+∞上的极值； （2）证明：当0x >时，2

ln(1)x x +<； （3）证明：44

4

111

(1)(1)(1)23e n

+++

< (,2,n N n e *∈≥为自然对数的底数）.