年高考第一轮复习数学函数的奇偶性

函数的奇偶性

●知识梳理

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f （x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.

2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f （x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.

3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.

（4）奇函数的反函数也为奇函数.

（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

●点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.

答案：A

2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A

3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

（cos α）＞f （cos β） （sin α）＞f （cos β） （sin α）＞f （sin β）

（cos α）＞f （sin β）

解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，

∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B

4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.

解析：定义域应关于原点对称， 故有a －1＝－2a ，得a ＝3

1.

又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：3

1 0

5.给定函数:①y =x

1

（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.

答案：①⑤ ② ③④

●典例剖析

【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则

（0）＜f （－1）＜f （2） （－1）＜f （0）＜f （2） （－1）＜f （2）＜f （0）

（2）＜f （－1）＜f （0）

剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减， ∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，

∴f （x ）在［0，2］上单调递增. 又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A

【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=|x +1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·

x

x

-+11； （3）f （x ）=2

|2|12

-+-x x ；

（4）f （x ）=⎩⎨

⎧>+<-).

0()

1(),

0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.

解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.

∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由

x

x

-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，

所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.

（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.

由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩

⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且

故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）

= 2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－x

x 2

1-=－f （x ），故f （x ）为奇

函数.

（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数.

评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.

（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.

（1）求f （1）的值；

（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；

（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.

（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.

（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.

令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函