中职数学函数的奇偶性教案
中职数学(人教版)： 函数的性质教学教案
第03讲 函数的性质一、奇偶性与周期性 （一）知识归纳： 1．奇偶性：①定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数.如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数.②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 2．周期性：①如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数.注意：f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期. ②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT .（二）学习要点：1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.【例1】讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数[解析] （1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xx x x x xx x x x x =++=++•=++=++=----， ∴f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数； 从这可以看出，化简后再解决要容易得多. （2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx n x x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴<③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ， ∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数； （4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，①当a >0时，)],,0()0,[(||a a aa x ax a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数；,2,2,2)(,0||2122ax a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对 )(,0,03353)2()2(x f a a f af 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数. [评析]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.【例2】解答下述问题：（I ）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式.[解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]，∵f (x )为偶函数， ∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1,②若x ∈[－4，－2) ， ∴4+ x ∈[0，2)，∵f (2+x )+ f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )，∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7; 综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f（II ）已知f (x )的图象关于直线x =a 对称，又关于点（m ,n ）对称（m ≠a ），求证：f (x )是周期函数.[证明] 用第4讲所学的公式将两个条件表示出来，并反复运用这两个条件.由条件得⎩⎨⎧--=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=)2(2)()2()(2)2()()2()(x m f n x f x a f x f n x m f x f x a f x f ， )),(4()]24(2[)24()))]22((2(2[2)]22([2)]2(2[2)2(2)(m a x f x a m a f x a m f m a x m f n n m a x f n x m a f n x m f n x f -+=---=--=-+---=-+-=---=--=∴ ∵a ≠m , ∴f (x )是周期T=4（a －m ）的周期函数.（Ⅲ）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x+1)=－f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )=3－x －1，求 )321(log 31f 的值. [解析] ∵f (x+2)=－f (x+1)= f (x ) ， ∴f (x )是周期为2的周期函数，.81491813213)321(log 8132log 3281log 811log 321log 4321log 4,321log ,13)4()]4([)4()(,]4,3[,,2)(,140041,43,4321log 3,2713218118132log 31331313131314313-=-=-=∴==-=-=-=-=-=--=-=∈∴≤-≤⇒≤-≤-∴≤≤<<∴<<-f x x x f x f x f x f x x f x x x x 时当时当且为偶函数周期为令[评析] 运用数学定义解决问题是学习“奇偶性”与“周期性”的最基本的能力，应熟练训练这种能力.【例3】设函f (x )的定义域关于原点对称，且满足①)()(1))(()(122121x f x f x x f x x f -+=-，②存在正常数a ，使得f (a )=1；求证：（I ）f (x )是奇函数； （II ）f (x )是周期4a 的周期函数. [解析] （I ）令x =x 1－x 2,)(1)(1)(111)(2121)(21)2(,1)(21)(11)()()(1)()()]([)()()(),()()()(1))(()()(1)()()()(211221211212x f x f x f x f a x f a x f x f x f x f x f a f a f x f a x f a x f II x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x f x x f x f -=+-=++--=+-=+∴+-=--+-=--+-=--=+∴-=--=-+-=-+=-=-∴ 为奇函数)(),()2(1)4(x f x f a x f a x f ∴=+-=+∴是周期为4a 的周期函数.[评析] 通过例3（II ）的解答，我们学习了一种很好的解题方法，由于4a 与条件中的a 很难直接挂上钩，因此考虑到逐步逼近结论的方法：由a →2a →4a ，这是值得很好学习的数学思想方法. 二、单调性： （一）知识归纳：1．定义：如果函数y= f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．设复合函数y= f [g(x )],其中u =g(x ) , A 是y= f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集，①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y= f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y= f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是减函数.3．若函数y= f (x )在定义域l 内的某个区间上可导 ， ①若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增函数； ②若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减函数. （二）学习要点：1．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决.注意，在上面第2小点中，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决.2．注意“函数f (x )的单调递增（或递减）区间是D ”与“函数f (x )在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：①函数f (x )的单调递增（减）区间是D ⇔不等式f ′(x )>0（<0）的解集是区间D ； ②函数f (x )在区间D 内单调递增（减）⇔不等式f ′(x )>0（<0）对于x ∈D 恒成立. 【例1】解答下述问题：（I ）讨论函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的单调性. [解析] ∵函数的定义域为),,0()0,(+∞-∞),,(),()(;000)(;0)()(22222+∞--∞∴<<<<-⇒<<'>-<⇒>>'-=-='aba b x f ab x x ab a b x x f abx a bx a b x x f x bax x b a x f 与的单调递增区间是或得令或得令求导).,0()0,(ab a b 与而单调递减区间是-（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示. （II ）.2)(ax x x f -+=[解析] f (x ) 的定义域是),2[+∞-，,22221221)(++-=-+='x x a a x x f①当a ≤0时，)),,2((0)(+∞-∈>'x x f 而f (x )在端点x =2连续， ∴当a ≤0时，f (x )在定义域),2[+∞-内为增函数；②当a >0时，令;2411)2(41220)(22-<⇒<+⇒<+⇒>'ax x a x a x f 令2410)(2->⇒<'ax x f ； ∴当a >0时f (x )的单调递增区间是),241,2[2-a 而单调递减区间是).,241(2+∞-a[评析] 例1 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题，但必须注意，如果函数的解析式含有参数，而且参数的取值影响函数的单调区间，这时必须对参数的取值进行分类讨论.【例2】解答下述问题：（I ）设函数f (x )=k x 3+3(k －1)x 2－k 2+1，（1）当k 为何值时，函数f (x )单调递减区间是（0，4）； （2）当k 为何值时，函数f (x )在（0，4）内单调递减. [解析] 对f (x )求导得：f ′(x )=3 k x 2+6（k －1）x ， （1）∵函数f (x )的单调递减区间是（0，4），∴不等式f ′(x )<0的解集为{x |0<x <4}, 得k x 2+2(k －1)x <0， ∴x =0或4是方程k x 2+2(k －1)x =0的两根，将x=4代入得k=31，由二次不等式性质知所求k 值为31. （2）命题等价于k x 2+2(k －1)x <0对x ∈（0，4）恒成立，设g(x )=k x +2(k －1), ∵g(x )为单调函数，.310)4(0)0(≤⇒⎩⎨⎧≤≤k g g 则（或分离变量）)4,0(22∈+<⇔x x k 对恒成立， 记31,31)4()(,)(,22)(≤∴=>∴+=k g x g x g x x g 为单调减函数 . （II ）已知f (x )=x 2+a ,，且f [f (x )]= f (x 2－2),（1）设g (x )= f [f (x )],求g (x )的表达式；（2）设h (x)= g (x )－λf (x )，若h (x )在（0，1）内为减函数，而在（1，+∞）内为增函数，求实数λ的值. [解答] （1）∵f [f (x )]=（x 2+a ）2+a =x 4+2ax 2+a 2+a ,,24,)1,0(0)4(24,)1,0()(,)4(24)(),24()4()2()44()()2(;44)(,2,0402,0)4()2(2,442,44)2()2(23324224242222422424222x x x x x h x x x h x x x x x x h x x x g a a a x a x a a x x a a ax x a x x a x x f >+∈<++∴++='∴++++=--+-=+-=∴-=∴⎩⎨⎧=-=+∴=-++++-=+++∴++-=+-=-λλλλλλ即恒成立对内为减函数在无关与即224,22)1,0(2-≥⇒≥+∴<∈λλx x 时当 ①； 而h (x)在（1，+∞）内为增函数，,24,),1(0)4(2423x x x x <++∞∈>++∴λλ即恒成立对224,22),1(2-≤⇒≤+∴>+∞∈λλx x 时当 ②；由①、②得λ=6.[评析] 上面讨论了函数单调性的两类问题，其中“函数f (x )在区间D 上单调递增（减）”这类问题的难度要大一些，而且题型也非常广泛，应在后面的学习中注意总结经验.【例3】解答下述问题：（I ）已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论. [解析] 这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决. 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)= f (x 1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1，∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1; ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1, ∴0< f (x 1)f (x 2)<1, ∴)()(1121x f x f -<0, ∴F (x 2)< F (x 1)；②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 , ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)()(1121x f x f ->0, ∴ F (x 2)> F (x 1)； 综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数. （II ）已知函数f (x )的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），且满足条件： ①f (x ·y)= f (x )+ f (y )， ②f (2)=1， ③当x >1时，f (x )>0， （1）求证：f (x )为偶函数； （2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f (x )+ f (x －3)≤2的解集.[解析] （1）在①中令x =y=1, 得f (1)= f (1)+ f (1)⇒ f (1)=0, 令x =y=－1, 得f (1)= f (－1)+ f (－1)⇒ f (－1)=0, 再令y=－1, 得f (－x )= f (x )+ f (－1)⇒ f (x ),∴f (x )为偶函 数； （2）在①中令),()1()1()()1(,1x f xf x f x f f x y -=⇒+==得 先讨论),0()(+∞在x f 上的单调性， 任取x 1、x 2，设x 2>x 1>0， ,1),()1()()()(12121212>=+=-∴x x x x f x f x f x f x f由③知：)(12x x f >0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在（0，+∞）上是增函数，∵偶函数图象关于y 轴对称 ，∴f (x )在（－∞，0）上是减函数；（3）∵f [x (x －3)]= f (x )+ f (x －3)≤2， 由①、②得2=1+1= f (2)+ f (2)= f (4)= f (－4)， 1）若x (x －3)>0 , ∵f (x )在（0，+∞）上为增函数， 由f [x (x －3)] ≤f (4)得;430141304)3(0)3(≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤-><⇒⎩⎨⎧-≤->-x x x x x x x x x 或或2）若x (x －3)<0, ∵f (x )在（－∞，0）上为减函数；由f [x (x －3)] ≤f (－4)得 ;30304)3(0)3(<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧-≥-<-x R x x x x x x∴原不等式的解集为：}.43|{}30|{}01|{≤<⋃<<⋃<≤-x x x x x x[评析] 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.《训练题》一、选择题1．下述函数中，在]0,(-∞内为增函数的是（ ）A ．y=x 2－2B ．y=x3 C ．y=x --21 D ．2)2(+-=x y 2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ）A ．y=－x1 B ．y=－(x －1) C ．y=x 2－2D ．y=－|x |3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A ．)1()43(2+-≥-a a f f B ．)1()43(2+-≤-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f fD ．以上关系均不确定4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5),则a 、b 、c 的大小是（ ）A ．a >b>cB ．a > c > bC ．b>a > cD ．c> a >b5．下列4个函数中：①y=3x －1 ②);10(11log ≠>+-=a a xxy a 且 ③123++=x x x y ④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x 且 则其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足=f (x+2))(1x f -，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ ） A ．5.5 B ．－5.5C ．－2.5D ．2.5二、填空题7．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 . 8．已知f (x )与g (x )的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函 数，且f (x )+g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= . 9．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 .10．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 . 三、解答题：11．已知∈++=c b a cbx ax x f ,,(1)(2Z ）是奇函数，又f (1)=2，f (2)<3, 求a ,b ,c 的值. 12．设定义在R 上的偶函数f (x )又是周期为4的周期函数，且当x ∈[－2，0]时f (x )为增函数，若f (－2)≥0，求证：当x ∈[4，6]时，| f (x )|为减函数.13．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)<f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围. 14．若a >0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.15．设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，（I ）求证：当且仅当a ≥1时f (x )在),0[+∞内为单调函数； （II ）求a 的取值范围，使函数f (x )在区间),1[+∞上是增函数.《答案与解析》一、选择题：1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 二、填空题： 7．x<－1或x>－31; 8．221,11x x x --; 9．3; 10．(－3,0)∪（3，+∞） 三、解答题11．∵f (x )为奇函数，∴f (－x )=－f (x )，.1221)1(,1)(,011222-=⇒=+=∴+=∴=⇒--=+-⇒--+=+-+∴b a b a f bx ax x f c c bx c bx c bx ax c bx ax ,2300232321)12(4,3)2(,1)12()(2<<⇒<-⇒<+-∴<+-=b b b b b f bx x b x f ∵a,b, c, ∈Z ，∴b=1, ∴a =1, 综上 ，a =1, b=1, c=0.12．[证明]这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明. 在[4，6]内任取x 1、x 2，设4≤x 1<x 2≤6,.|)(|,]6,4[|,)(||)(|,0)()(|)(||)(|,64,0)()(),()(,0)()(),()4(,0)2()4()4(,]0,2[)(,04422121212121212112为减函数时故当即有时当内为增函数在x f x x f x f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f x x ∈>>-=-≤<≤∴≥>∴=-≥->-∴=+≥-≥+->+-∴-≤+-<+-≤-∴13．∵)(x f 为R 上的偶函数，,087)41(212,04)1(52),12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称， ∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，,140431252)12()52(22222<<-⇒<-+⇒++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由∴实数a 的取值范围是（－4，1）. 14．,121)(ax xx f +-=' ,0)42(0)(,)(22121,0)(222>+-+⇔>'∴+<⇔+<⇔+>>'a x a x x f a x x a x x a x xx f 得令),1(164)42(,0)42(0)(,2222a a a a x a x x f -=--=∆<+-+⇔<' 同样（1）当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0，∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）为增函数；（2）当a =1时，f (x )在（0，1）及（1，+∞）内都是增函数，而f (x )在x=1处连续，∴f (x )在（0，+∞）内为增函数；（3）当0<a <1时，△>0，解方程x 2+(2a －4)x +a 2=0.)122,122(,),122()122,0()(,0122,0,122,12221221内为减函数而在内都是增函数与在而显然有得a a a a a a a a x f aa a x x a a x a a x -+----+∞-+----∴>-+-=>-+-=---=15．（I ）a x x x f -+='1)(2，①当;),0[)(,11||1,122上单调递增在时+∞∴≤<+≤+≥x f a x x x x a②当0<a <1时，由f ′(x )<0,得;101022aa x x a x -<≤⇒+<≤由f ′(x )>0得;1122aa x x a x ->⇒+>∴当0<a <1时，f (x )在),1(,)1,0[22+∞--aa aa 而在为减函数，为增函为函数，∴当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上不是单调函数；（另证）令f (x ) =12212212,00]2)1[(11aa x x a x a x ax x -==⇒=--⇒+=+⇒当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上存在两点x 1=0 或2212a ax -=使f (x 1)= f (x 2)=1，故f (x )不是单调函数.综上，当且反当a ≥1时f (x )在),0[+∞上为单调函数. （II ）由（I ）①知当a ≥1时f (x )单调递减，不合； 由②知当f (x )在),1[+∞上单调递增等价于：,112≤-aa220≤<∴a ，即a 的取值范围是].22,0(。
中职数学-函数的奇偶性
2、若函数 是奇函数，且在 = 0 处有定义，
则必有 0 = ？函数图象必过？
3、对于定义域内的任意，若 + − =0，则函数
是否具有奇偶性？若 − − =0呢？
1
0
1
2
3
...
可以发现，
当自变量任取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
f x x ，
2
例如对函数
有
f 3 9 f 3 ，f 2 4 f 2 .
思考？
我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表
格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？
比如
− =
思考？
定义中“
”可以删去吗？为什么？
不可以！函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即
它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特
性。
小组讨论
奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？
不同点：
相同点：
① 当自变量取一对相反数时，
① 定义域关于原点对称；
偶函数的函数值相等，
② 都是函数的整体性质.
奇函数的函数值是一对相反数；
（3） = + ；（4） =
（5） = ， ∈ −, .
；
−
+ 了什么？
奇偶性
图像法
f(-x)=-f(x)
奇函数
关于原点对称
f(-x)=f(x)
偶函数
关于y轴对称
思考交流
1、若奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b]，则a+b=？
2、判断定义域是否关
于原点对称
3、求f(-x)与f(x)的关系
4、写出结论
函数的奇偶性教案2篇
函数的奇偶性教案第一篇：函数的奇偶性教案目标：1. 了解函数的奇偶性的定义和性质。
2. 判断函数的奇偶性。
3. 通过练习题加深对函数的奇偶性的理解。
预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以用一个简单的问题引入话题，例如：你知道什么是函数的奇偶性吗？为什么需要关注函数的奇偶性？学生可以自由发言，激发学生们的兴趣。
步骤二：讲解奇偶性的概念（10分钟）教师简要讲解函数的奇偶性的概念，可以借助一些例子来说明。
奇函数和偶函数是对称的关系，奇函数关于y轴对称，而偶函数关于原点对称。
步骤三：奇偶性的判断方法（15分钟）教师讲解奇偶性的判断方法。
一般来说，对于一元函数，可以通过以下两种方法判断函数的奇偶性。
方法1：使用函数的定义式。
对于奇函数，f(-x)=-f(x)成立；对于偶函数，f(-x)=f(x)成立。
方法2：使用函数的图象。
对于奇函数，其图象关于原点对称；对于偶函数，其图象关于y轴对称。
步骤四：练习题（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在纸上完成，然后进行讲解和讨论。
例如：1. 判断函数f(x)=x^3+3x^2-5x是否为奇函数。
2. 判断函数g(x)=2x^2-4是否为偶函数。
3. 利用函数的奇偶性，简化函数h(x)=5x^3-x^2+2x-1的图象。
步骤五：总结（10分钟）教师对本节课内容进行总结，并强调函数的奇偶性的重要性和应用。
第二篇：函数的奇偶性教案（续）目标：1. 掌握奇函数和偶函数的一些常见函数的性质。
2. 进一步加深对函数的奇偶性的理解。
3. 练习函数的奇偶性的判断和应用。
预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以复习上节课的内容，然后提问学生，你还记得什么是奇函数和偶函数吗？奇函数和偶函数有哪些性质？步骤二：常见函数的性质（15分钟）教师讲解一些常见函数的性质，例如：1. 幂函数：对于非负整数n，当n为奇数时，函数f(x)=x^n是奇函数；当n为偶数时，函数f(x)=x^n是偶函数。
语文版中职数学基础模块上册《函数的奇偶性》word教案 (一)
语文版中职数学基础模块上册《函数的奇偶性》word教案 (一)近年来，中职教育的改革和发展已经成为了教育界的一大热门话题。
为了更好地适应社会和市场的需求，中职教育也在不断地升级和更新课程。
其中，语文版中职数学基础模块上册的函数的奇偶性就是一个具有代表性的例子。
下面，我们来细看一下这个教案。
一. 教学背景数学作为一门重要学科，是中职教育中不可或缺的一部分。
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，在数学学习的过程中具有重要的意义和作用。
因此，我们需要在中职数学课程最基础的部分就着重学习这个内容。
二. 教学目标通过学习《函数的奇偶性》这个模块，使学生能够:1. 理解函数的定义和概念;2. 掌握函数的奇偶性性质;3. 学习函数的图像及其特点;4. 解决实际问题时，能够分析并应用函数的奇偶性作出正确的判断。
三. 教学内容1. 函数的定义及概念2. 函数的奇偶性性质3. 函数图像及其特点4. 函数奇偶性在实际问题中的应用四. 教学方法1. 探究式教学法2. 例题分析法3. 组合拓展法五. 教学过程1. 首先，通过引导学生探究式地思考，引入函数的定义及概念，理解什么是函数，如何表示函数等等。
2. 其次，引入函数的奇偶性的概念，让学生了解奇函数和偶函数的定义及性质，并分析一些基本奇偶函数。
3. 接着，通过拓展学生“三角函数”的奇偶性，将学生的数学思维进行拓展，让学生充分认识奇偶函数的重要性及其在数学中的应用。
4. 最后，通过给出一些与函数奇偶性有关的实际问题，让学生进行分析，使学生能够在解决问题中掌握函数奇偶性的应用。
六. 学生学习和巩固教师在课堂上适当安排练习，让学生在练习中巩固和加深理解，例如在文章末尾给出的“练习题”中。
七. 总结在语文版中职数学基础模块上册中，函数的奇偶性是学生必须掌握的知识。
通过对函数的奇偶性的学习和实际运用，学生能够建立习惯性的思考模式，如数学解决问题或解析问题的基本能力。
在教师的指导下，学生能够不断提高数学功底，为以后走向职场打下坚实的基础。
中职数学函数的奇偶性教案
中职数学函数的奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数奇偶性的定义与性质2. 判断函数奇偶性的方法3. 函数奇偶性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的定义与性质，判断函数奇偶性的方法。
2. 难点：函数奇偶性在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题感受函数奇偶性的应用价值。
3. 运用讨论法，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾已学过的函数性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：介绍函数奇偶性的定义与性质，讲解判断函数奇偶性的方法。
3. 案例分析：选取实际问题，让学生运用函数奇偶性进行解决，巩固所学知识。
4. 练习：布置课后习题，让学生进一步巩固函数奇偶性的概念和方法。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后作业：通过学生完成的课后习题，评估学生对函数奇偶性的理解和掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和积极性。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作能力、问题解决能力等。
七、教学拓展1. 引入高阶函数的奇偶性讨论，加深学生对函数奇偶性的认识。
2. 探讨函数奇偶性与图像的关系，让学生更加直观地理解奇偶性。
3. 推荐学生阅读相关的数学文章或书籍，扩展知识面。
八、教学资源1. 教材：选用合适的中职数学教材，提供基础理论知识。
2. 教案：准备详细的教学计划和教案，确保教学过程的顺利进行。
3. PPT：制作直观的PPT课件，辅助教学讲解和展示。
4. 实际问题案例：收集相关的实际问题，用于案例分析和练习。
最新中职数学基础模块上册教案：函数的奇偶性
中职数学基础模块上册教案：函数的奇偶性
3.1.4 函数的奇偶性
【教学目标】
1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．
2. 掌握判断函数奇偶性的方法．
3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．【教学重点】
奇偶性概念与函数奇偶性的判断．
【教学难点】
理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．
【教学方法】
这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．
【教学过程】。
中职数学函数的奇偶性教案
中职数学函数的奇偶性教案第一章：函数的奇偶性概述1.1 函数奇偶性的定义解释奇函数和偶函数的定义举例说明奇函数和偶函数的特点1.2 奇偶性的判定条件讲解奇函数和偶函数的判定条件引导学生理解奇偶性判定条件的应用第二章：奇函数的性质2.1 奇函数的图像特征分析奇函数的图像特点举例说明奇函数图像的性质2.2 奇函数的运算性质讲解奇函数的运算性质引导学生运用奇函数的运算性质解决问题第三章：偶函数的性质3.1 偶函数的图像特征分析偶函数的图像特点举例说明偶函数图像的性质3.2 偶函数的运算性质讲解偶函数的运算性质引导学生运用偶函数的运算性质解决问题第四章：奇偶函数的应用4.1 奇偶函数在实际问题中的应用举例说明奇偶函数在实际问题中的应用引导学生学会运用奇偶性解决实际问题4.2 奇偶函数在数学问题中的应用举例说明奇偶函数在数学问题中的应用引导学生学会运用奇偶性解决数学问题第五章：奇偶性的进一步探究5.1 奇偶性的推广介绍奇偶性的推广概念引导学生理解奇偶性推广的应用5.2 奇偶性与周期性的关系讲解奇偶性与周期性的关系引导学生理解奇偶性与周期性的联系第六章：对称性在奇偶函数中的应用6.1 奇偶函数的对称性解释奇偶函数的对称性概念举例说明奇偶函数的对称性质6.2 奇偶函数在对称变换中的应用讲解奇偶函数在对称变换中的应用引导学生学会运用奇偶函数解决对称性问题第七章：奇偶性在函数极限中的应用7.1 奇偶性在函数极限中的作用解释奇偶性在函数极限中的作用举例说明奇偶性在函数极限中的应用7.2 奇偶性在极限运算中的应用讲解奇偶性在极限运算中的应用引导学生学会运用奇偶性解决极限问题第八章：奇偶性在函数积分中的应用8.1 奇偶性在函数积分中的性质解释奇偶性在函数积分中的性质举例说明奇偶性在函数积分中的应用8.2 奇偶性在积分运算中的应用讲解奇偶性在积分运算中的应用引导学生学会运用奇偶性解决积分问题第九章：奇偶性在函数微分中的应用9.1 奇偶性在函数微分中的性质解释奇偶性在函数微分中的性质举例说明奇偶性在函数微分中的应用9.2 奇偶性在微分运算中的应用讲解奇偶性在微分运算中的应用引导学生学会运用奇偶性解决微分问题第十章：奇偶性在实际问题中的应用案例分析10.1 奇偶性在物理学中的应用案例分析奇偶性在物理学中的应用案例引导学生理解奇偶性在物理学中的应用10.2 奇偶性在其他学科中的应用案例分析奇偶性在其他学科中的应用案例引导学生理解奇偶性在其他学科中的应用重点和难点解析重点一：奇偶性的定义和判定条件奇偶性是函数的重要性质，对于理解函数的图像和性质有着关键作用。
《函数奇偶性》教学案例.doc
课题：函数奇偶性一、教学内容概述《函数奇偶性》是中职数学基础模块上册第三章第二节第二小节的内容，安排一课时，主要包括函数奇偶性的定义、奇偶性判断的步骤、具有奇偶性函数图象的特征、具有奇偶性函数的分类、函数奇偶性的简单应用。
本节也是继函数单调性之后学习的函数的另外一个重要性质，对矗函数、三角函数的性质后续内容起重要作用。
函数奇偶性的实质就是函数图象的对称性，因而本节即可继续培养数形结合的思想，又是数学美的集中体现。
二、教学目标分析1、能力与技能%1通过数形结合引导，使学生理解函数奇偶性概念，学会用图象理解和研究函数的性质，掌握函数奇偶性的判断，深化函数奇偶性的简单应用。
%1通过课件演示、动手实践，培养学生观察能力，主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法。
%1教学重难点：重点是函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。
难点是函数奇偶性概念的理解和奇偶性的简单应用。
2、过程与方法通过留给学生观察、探析、讨论归纳、动手实践的时间以及动脑思考的空间，自主建构奇函数、偶函数等概念，教师通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力，充分发挥学生学习的积极性和主动性，使学生真正成为学习的主人。
3、情感态度与价值观%1让学生感受数学的对称美；%1培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力；%1使学生领会数形结合的数学思想方法；并激发学生学习数学的兴趣，使学生养成乐于求索的精神。
三、学习者特征分析大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高。
因此考虑问题会片面，不严谨。
从学生的思维特点看,学生很难从前面所学的函数的单调性联系到函数图形的对称性反映了函数的奇偶性，这对学生的思维是一个突破。
在遵循教材、利用教材的原则下，结合我校学生的特殊情况，在学法上：我希望通过动手实践，课件演示达到解决一类问题的效果，这就需要学生运用类比、观察、归纳总结等方法，形成“观察一-归纳——检验----应用”这一学习过程，来达到掌握所学知识。
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函数的奇偶性教案
一、条件分析
1．学情分析
函数的奇偶性是函数这个章节的第四节课，通过前三节课的情景教学，学生降低了对函数的恐惧感，所以，在进行教学设计的时候，我们仍然坚持情景教学，从学生身边熟悉的事物入手做到由浅入深，循序渐进。
2.教材分析
教材在处理函数的奇偶性时，基本沿用了处理函数奇偶性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识；然后，通过代数运算，探究数量变化特征对定义域内的“任意”值都成立；最后，在这个基础上建立奇偶函数概念。
二、三维目标
知识与技能目标
A层：
1. 理解奇函数、偶函数的概念；
2. 掌握奇函数、偶函数的图像特征；
3. 掌握判别奇偶函数的推理证明法；
B层：
1. 理解奇函数、偶函数的概念；
2. 掌握奇函数、偶函数的图像特征；
3. 掌握判别奇偶函数的推理证明法；
C层：
1. 了解奇函数、偶函数的概念；
2. 知道奇偶函数的推理证明法；
过程与方法目标
情景教学法、探究法、观察法、讲授法。
通过创设情景让学生观察、合作、探究函数图像的性质，直观感受函数的奇偶性；通过讲授让学生掌握判别奇偶函数的证明方法；通过练习加强对新知识的巩固。
情感态度和价值观目标
通过对奇偶函数定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对奇偶函数的证明，提高学生的推理论证能力；通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
三、教学重点
奇偶函数的概念、判断及证明
四、教学难点
根据定义证明奇偶函数
五、主要参考资料：
中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。
六、教学进程：
创设情景：
请一个学生上讲台，先向左走3米，然后向右走3米，请问他的位置发生了变化吗？如果我们把向左走3米记为-3，向右走3米记为+3，它们的和为多少？ 像这种只有符号不同的两个数称互为相反数。
a 和-a 是一对互为相反数，a 叫做-a 的相反数，-a 叫做a 的相反数。
例如：1和-1，3和-3，4和-4……
和是0的两个数互为相反数。
互为是你是我的相反数，我是你的相反数。
相反数是对于两个数而言的，一个数不能称为相反数。
在数轴上，到原点距离相等的两个点表示的两个数是互为相反数，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称。
注意：a-b 和b-a 是一对互为相反数。
x x --11和互为相反数。
讲授新课：
在我们生活中，有许多对称美的图案、建筑，如天安门、泰姬陵、艾菲尔铁塔、凯旋门、人民英雄纪念碑、天安门城楼、吉隆坡的双塔建筑、埃及金字塔等。
在数学学习中，我们也可以感受到这种对称美，下面就让我们看一看这两个函数的图像有什么共同特征？
1.偶函数
观察法：
观察函数2)(2+=x x f 和函数x x f =)(的图像，你能发现什么规律？
通过观察，我们知道他们的函数图像都关于y 轴对称，上节课我们学习函数的三种表示方法，那么如何用函数的解析式来描述函数图像的这个特征呢？ 探究法：
对于函数2)(2+=x x f ，
1123)3(2=+=f 1123-)3-(2=+=）（f 622)2(2=+=f 622-)-2(2=+=
）（f 321)1(2=+=f 321-)-1(2=+=
）（f 函数2)(2+=x x f 对于R 内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=。
对于函数x x f =)(，
33)3(==f
33-)3-(==f 22)2(==f
22-)2-(==f 11)1(==f 11-)1-(==f
函数x x f =)(对于R 内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=。
讲授法：
偶函数——一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=，那么函数)(x f 就叫偶函数。
2.奇函数
观察法：
观察函数x x f 2)(=的图像，你能发现什么规律？
通过观察，我们知道他们的函数图像关于原点对称，那么如何用函数的解析式来描述函数图像的这个特征呢？
探究法：
212)1(=⨯=f 2-1-2)1-(=⨯=）（f
422)2(=⨯=f
4-2-2)2-(=⨯=）（f 632)3(=⨯=f 6-3-2)3-(=⨯=）（f
函数x x f 2)(=对于R 内的任意一个x ，都有)(-)(x f x f =。
讲授法 ：
奇函数——一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)(-)(x f x f =，那么函数)(x f 就叫奇函数。
注意：我们在讨论函数的奇偶性的时候，必须要求函数的定义域为关于原点的对称区间。
根据奇偶函数的定义，我们就可以判断一个函数的奇偶性。
例：判断下列喊得奇偶性。
（1）3)(x x f = （2）4)(x x f = （3）1)(+=x x f
分析：判断定义域是否为关于原点的对称区间，根据定义判断奇偶性。
练习：判断下列函数的奇偶性
x x f 3)(= 2-3)(x x f = 2-)(x x x f =
注意：两个函数相加减：同奇则奇，同偶则偶，一奇一偶非奇偶。
两个函数相乘除：一奇一偶则奇，同奇同偶则偶
例题： 七、作业：P74习题四1.（2）（4）（5）
八、预习导案：
1. 了解指数函数
2. 了解整数指数幂。