D1_3函数的极限
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
《数学分析》第3章 函数极限ppt课件
.
因为当 x π 时, sin x 1 x , 故对一切 x 0 ,
2
有 sin x x . 又因为 sin x, x 均是奇函数 , 故
sin x x , x R. 上式中的等号仅在 x 0 时成立.
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x x0 时以 A 为极限 . 记为
或者
lim f ( x) A
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使
x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
2 )2
.
()
因 x 1 x1 ,
2 2( x 1 2)2
只要 x 1 , () 式就能成立, 故取 即可.
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
1 2 x0 ,
所以 x2 x02 ( 1 2 x0 ) x x0 , 故只要
定理 3.1 f ( x) 定义在 的一个邻域内，则
lim f ( x) A 的充要条件是：
函数极限的运算法则
特别地
lim
x x0
Cf
(x)= C
lim
x x0
f (x)
n
lim [ f ( x)]n
x x0
= xlimx0
f
(
x)
法则3
lim
f (x)
lim = x x0
f (x)
x x0 g( x) lim g( x)
x x0
其中 lim g( x) = B 0 x x0
函数直接求函数值 , 即为该函数的极限。
例
2x -1
lim
x2
x2
-
3
=
22-1 22 - 3
=
3
2)
0 0
型
(
记号
)
例3
x2 lim
-4
= lim( x
+ 2) = 2 + 2 = 4
x 2 x - 2 x 2
【注】 对分子、分母极限均为 0 情形的有理式 , 先约
去分子分母的公因子 , 再求极限，不能直接使用法则 3
第五讲 函数极限的运算法则
• 内容提要
1.极限的运算法则； 2.两个极限存在准则。
• 教学要求
1.熟练掌握极限的四则运算法则； 2.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法 则）。
一、极限的运算法则
下面仅给出x x0时的运算法则，对于 x x0+
x x0- , x , x + , x - 等情况的运算 法则可类似。
4
=
lim
x2
x+2-4 x2 - 4
=
lim
x2
x-2 x2 - 4
函数的极限概念
函数的极限概念函数的极限是微积分中的一个重要概念。
在数学中，函数的极限表示自变量趋向于某个特定值时，函数在该值附近的表现。
它是描述自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势的一种工具。
函数的极限可以从自变量的两个方向进行讨论：自变量逼近特定值的左侧和右侧。
对于自变量逼近特定值的左侧，我们称该极限为左极限，用符号“lim(a, x→c-) f(x)”表示。
对于自变量逼近特定值的右侧，我们称该极限为右极限，用符号“lim(a, x→c+) f(x)”表示。
如果左极限和右极限相等，我们称两个极限的值为函数的极限，用符号“lim(a, x→c) f(x)”表示。
函数的极限可以分为有限极限和无限极限。
如果函数在自变量逼近特定值时，函数值无限接近于某个常数，则称该常数为函数的有限极限。
例如，考虑函数f(x) = x^2，当x趋近于2时，f(x)也趋近于4。
因此，我们可以写成lim(a, x→2) x^2 = 4。
如果函数在自变量逼近特定值时，函数值无穷大或无穷小，则称该函数的极限为无限极限。
例如，在函数f(x) = 1/x中，当x趋近于0时，f(x)的值无穷大。
我们可以写成lim(a, x→0) 1/x = ∞。
函数的极限充分利用了自变量无限接近特定值时函数的局部性质。
例如，对于函数f(x) = x^2, 当x=2时，函数的值为4。
但是当x趋近于2时，函数的值逐渐变得非常接近4。
通过使用极限的概念，我们可以描述函数在自变量无限接近2时，函数值的变化趋势，而不仅仅关注特定点上的函数值。
函数的极限概念是解决微积分中很多问题的基础。
首先，函数的极限可以用来定义导数。
导数表示函数曲线在某一点的斜率，而函数的斜率可以通过求出函数在该点的极限来计算。
其次，函数的极限还可以用来求解函数的一些性质。
例如，通过求函数在无穷远处的极限，我们可以判断函数的增减性，凸凹性等等。
此外，函数的极限还可以用来定义不定积分，即反函数的导数。
D1-4=1=无穷大与无穷小 极限运算法则
无穷小因子析出法
解 x 时, 分子,分母的极限均为无穷大.
3 x 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,
无穷小分出法 求有理函数当 x 的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出 无穷小, 再求极限.
3 2 1 2 3 3x 2x 1 0 x x x lim 3 lim 0. x x 3 x 5 x 3 5 1 1 2 3 x x
④ (2)有两个重要的推论
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
极限的 运算法则
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论 一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极 限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解 因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解 这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解 当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可 以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数 的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们 还将介绍求极限的其他方法．
高等数学D1-D3总复习习题课kqq
提示: (1) sin x 1 sin x
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2( x 1 x ) 2
无穷小
有界
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(2)
2 1 x lim x1 sin π x
令t x 1
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
dy f ( x0 ) ; ; dx x x0 y f ( x0 ) lim x 0 x
d f ( x) dx x x0
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结束
例1. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
( 一般为曲线 )
O
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D
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x
结束
xD
(定义域)
f
y R f f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
• 定义域
使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；
2
对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. • 对应规律的表示方法: 解析法、图像法 、列表法 1 例如, 反正弦函数 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值域
y
y2 x
y 1 x
f ( D ) [0 , )
1 2
高考数学一轮复习 函数的极限课件 新人教选修2
极限 ，记作
.
3．如果当x从点x＝x0右侧(即x>x0)无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是 函数f(x)在点x0处的右
极限 ，记作
.
区间上的连续：函数f(x)在区间(a，b)内 每一点 均 连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续．
●回归教材
1．极限
存在是函数f(x)在点x＝x0处连续的 ()
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
答案：B
答案：D
答案：C
答案：D
5．(2007·高考辽宁卷)已知函数f(x)＝
在点x＝0处连续，则a＝________.
解析：∵函数f(x)在点x＝0处连续，02－1＝acos0， ∴a＝－1. 答案：－1
1．函数连续性和函数的极限既有区别又有联系，不 可混淆，不能等同．讨论函数连续性，要从其定义及其充 要条件入手．
2．函数连续性有重要的应用，借助函数连续性可以 求函数极限，求待定字母参数的值，讨论方程根的分布．
五、连续函数的性质 1．(最大值和最小值定理)如果f(x)是闭区间[a，b]上的 连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有 最大值 和 最小 值． 2 ． 若 f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 是 连 续 函 数 ， 且 f(a)·f(b)<，0 则方程f(x)＝0在区间(a，b)上 至少 有一个实 数解．
1知5、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
1识6、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 1梳理7、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022
lim极限函数公式总结
lim极限函数公式总结引言极限是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在接近特定点时的行为。
在微积分中，极限函数是一种重要的工具，用于研究函数的性质和行为。
本文将总结常见的lim极限函数公式，并介绍它们的应用和性质。
1. 极限的定义在介绍具体的极限函数公式之前，我们先回顾一下极限的定义。
对于函数f(x)，当x无限接近于某个数a时，如果f(x)的取值也趋近于某个常数L，那么我们称L为f(x)在x趋近于a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L简言之，极限表示函数在趋近某个点时的值。
2. 常见的极限函数公式2.1. 常数函数对于常数函数c(x) = c，其中c为常数，其极限为：lim(x→a) c = c这意味着常数函数在任何点的极限都是该常数本身。
2.2. 变量函数对于变量函数f(x) = x，其极限为：lim(x→a) x = a这意味着变量函数在任何点的极限都是该点的值。
2.3. 幂函数对于幂函数f(x) = x^k，其中k为整数，其极限为：lim(x→a) x^k = a^k这意味着幂函数在任何点的极限为该点的幂次。
2.4. 指数函数对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，其极限为：lim(x→∞) a^x = ∞这意味着指数函数在正无穷时的极限为正无穷。
2.5. 对数函数对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，其极限为：lim(x→0+) log_a(x) = -∞这意味着对数函数在接近0时的极限为负无穷。
2.6. 三角函数对于三角函数sin(x)和cos(x)，其极限为：lim(x→0) sin(x) = 0lim(x→0) cos(x) = 1这意味着在接近0时，正弦函数的极限为0，余弦函数的极限为1。
3. 极限函数的应用3.1. 研究函数的连续性极限函数在研究函数的连续性时起到重要的作用。
通过计算极限，我们可以判断函数在某个点是否连续。
16个重要极限公式推导
16个重要极限公式推导《16个重要极限公式推导》在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上趋近于某个值的行为。
极限公式是一种常用的工具，可以帮助我们求解各种复杂的极限问题。
以下是16个重要的极限公式以及它们的推导过程。
1. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$推导过程：我们从单位圆的几何性质入手。
当$x$接近于0时，我们可以认为边长为$x$的小角度$x$是相似三角形中的等腰三角形。
根据单位圆上的弧长公式，我们有$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。
2. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$推导过程：我们将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到$\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1-\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$。
因为$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x}=0$，所以$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1$，即$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$。
3. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$推导过程：类似于第2个公式的推导，我们可以得到$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right)=a$。
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右极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理 3 .
lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0 ( P39 题*11 )
例5. 给定函数
f
(
x)
x 0
1, ,
x 1 ,
x0 x0 x0
A
A
极限存在 函数局部有界
O
x0
x
(P36定理2)
例1. 证明
证: f (x) A
故 0, 对任意的 0, 当
时,
总有 因此
例2. 证明
证:
2 x 1
0, 欲使
只要
取 2 , 则当 0 x 1 时, 必有
因此
例3. 证明
证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
与已知
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 . (同样可证 f (x) 0 的情形)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) 0, 是否必有 A 0?
不能! 如
3. 左极限与右极限
左极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0,当 x ( x0 , x0 )
时, 有
y y x 1
1
O 1 x y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
f (x)
f (x0 )
例3
？
2. 设函数 f (x)
a x2 , x 1 且 lim f (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
a 3 .
作业
P37 1 ; 4 ; *5(2) ; *6(2) ; *9
任给精度 , 要求 x2 A
A x0
定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0,当 0 x x0 时, 有 f (x) A
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) A 或
xx0
即
当
几何解释: y
A
时, 有 y f (x) 这表明:
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时, 必有
例4. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
O x x0
x
2. 保号性定理
定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
第三节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为
面积为A )
直接观测值 确定直接观测值精度 :
边长
x x0
间接观测值 面积
A f (x) 3A
2
2
A 0: 3 A f (x) A
2
2
上
y
A
A
A
y f (x) x0x0 x
定理 2 . 若在 的某去心邻域内 f (x) 0 , 且
则 A 0.
( f (x) 0)
( A 0)
证: 用反证法.
假设 A < 0 , 则由定理 1,
存在 的某去心邻域 , 使在该邻域内
例6. 证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
只要 就有
注:
yy1 x
Ox
两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0, X 0, 当 f (x) A
时, 有
0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
f (x) 0. (P37定理3) ( f (x) 0)
证: 已知
即 0,
当
时, 有
当 A > 0 时, 取正数
(< 0)
( A)
则在对应的邻域
上
y
A
A
A
( 0)
y f (x) x0x0 x
推论: 若 时, 有
则存在
(P37定理3´)
使当
分析:
若取 A ,则在对应的邻域
2
A 0:
例如，
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
内容小结
1. 函数极限的" " 或" X " 定义及应用
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与练习
与左右极限等价定理 Th3
1.
若极限 lim
x x0
f
( x) 存在,
是否一定有 lim
x x0
x0
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y A
A
y f (x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线 .