湘教版九年级数学下册课件：1-1 二次函数(共23张PPT)
合集下载
2019春(湘教版)九年级数学下册课件：1.1二次函数(共14张PPT)
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？ 能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求 学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在 学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
人生的价值，并不是用时间，而 是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
(6) y=3x3+2x2 (7)y = 2x2 3x + 2
(8) y=x-2 +x
(9) y = x2 + 1 3 x
2、写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数 和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
y = x2 + 2x 1
1
y = x2
1
y = 2 3x2
3
y = 1 (x 5)2 4 3
3、心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随
着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注
意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
t2 + 24t + 100 0 t 10
y = 240
10 t 20
7t + 380
20 t 40
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟 时比较，何时学生的注意力更集中？
面篱笆墙长度x之间的关系，而且对于X的每一个取
值，S都有唯一确定的值与它对应 ，即S是X的函数 。
2.电脑的价格
某型号的电脑两年前的销售为6000元如果每年的平均
降价率为x，怎样用x来表示该型号的电脑现在售价为y
（元）？那么降价率变化时，电脑售价怎样变化吗？
分析：笔记本电脑每次降价后的售价都是售价前的（
湘教版九年级数学下册第1章二次函数课件
求m的值.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
得到的？（
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图像和性质》公开课课件.ppt
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a>0
a>0h<0来自h<0K>0
K<0
a>0
a>0
h>0
h>0
K>0
K<0
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
大而减小；当 x > 6 时，函数
值随 x 的增大而增大.
O
（6,3）
5 10 x
归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：
b 4ac b2
( ,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y
x b 2a
O (1)
如果 a＞0，当 x＜ b 时，y 随x
的增大而减小；当
2a
x＞
b
时，
2a
y 随 x 的增大而增大；当 x = b
x
2a
时，函数达到最小值，最小值
为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O (2)
如果 a < 0，当 x< b 时，y 随 x
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x = 8
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x.
直线 x = 0.5
3, 5
8, 1
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长
度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
那么现在你会画这个二次函2 数的图象吗?2
根据顶点式 y 1 (x 6)2 3 确定对称轴，顶点坐标.
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》课件(共22张PPT)
二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系 数是________,常数项是______.
2+1 k 当k=_______时,函数y=(k-1)x +3x
是二次函数
说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数，常数项
对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( A、y=(k-1)2x2 C、 y=(k2+1)x2 B、y= (k+1)2x2 D、 y=(k2-1)x2
x
3.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y= (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
例1、若函数 求m的值。
y (m 1)x
2
m 2 m
为二次函数，
解：因为该函数为二次函数， 则
2 m m 2(1) 2 m 1 0( 2)
解（1）得：m=2或-1 解（2）得： m 1且m 1 所以m=2
例2：已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x px q, 得：
2
｛
1 p q 4 4 2 p q 5
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数图像与性质》公开课课件.ppt
y
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起 来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左 边的对应点和原点用一条光滑
曲线顺次连接起来），这样就
得到了 y=x2 的图象．如右图
0 1 23…
0 1 49…
A′ B′
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而___减__小_______，简称为右___降___________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 增大而__增__大________，简称为左__升____________;
4.当x=__0________时，函数值最___大__________.
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
A
y=x2
B
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……， 它们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴 对称，点B和点B ′
也是…… 由此你能作出什么猜测？
我猜测 y=x2 的图象关于
y轴对称．
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出 图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
讲例:
例2.画二次函数
y
1 4
x2
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起 来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左 边的对应点和原点用一条光滑
曲线顺次连接起来），这样就
得到了 y=x2 的图象．如右图
0 1 23…
0 1 49…
A′ B′
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而___减__小_______，简称为右___降___________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 增大而__增__大________，简称为左__升____________;
4.当x=__0________时，函数值最___大__________.
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
A
y=x2
B
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……， 它们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴 对称，点B和点B ′
也是…… 由此你能作出什么猜测？
我猜测 y=x2 的图象关于
y轴对称．
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出 图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
讲例:
例2.画二次函数
y
1 4
x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ( 2) y x x
2
(3) y ( x 2)(x 3)
(4) y x 2 2 x 3
(5) y ( x 2)(x 2) ( x 1)2
３.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
合作学习
探索新知
（3）一个温室的平面图如图,温室外围 是一个矩形，周长为12Om，室内通道的 尺寸如图,设一条边长为x（m）, 种植面 积为y（m2）.
1 1 1
x
3
合作学习 1.y
探索新知
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 2+58x-112 2 =-x =2x +4x+2
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一次函数、正比例函数的定义是什 么？
合作学习 探索新知
请用适当的函数关系式表示下列问题情 境中的两个变量y与x之间的关系：
2 cm （1）圆的面积y( )与圆的半径x(cm);
（2）某商店1月的利润是为x，3月份的利润为y;
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=10π r² 1 __ (2) y=x+ 不是二次函数. 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 10π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些 共同的特征?
经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式， (a，b，c是常数，且 a≠0 ).
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式；
（2）a,b,c为常数，且
2
x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
知识运用
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x ;
2
1 (2) y 2 ; x (3) y x(1 x); (4) y ( x 1) x .
2 2
先化简后判断
２.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x 2 2
例 下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指 出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x-1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t² (4) y=(x+3)² -x² 1 __ (5)y= x² -x (6) v=10π r²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
量的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y( cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 . 其中自变量x能取哪些值呢？ 【注意】当二次函数表示某个实际问题时, 还必须根据题意确定自变量的取值范围.
练一练
1.若函数 y (m 1)x
2 m 2 m
为二次函数，求m的值。
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2
二次函数y＝ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
2 x 2.m取何值时，函数y= (m+1) +(m-3)x+m是二次函数？
3.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩 形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试 (1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
练一练
2.请举一个符合以下条件的y关于x的二次函 数的例子. （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常 数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为常数 项的3倍。
练一练
3. 关于x的函数 y (m 1) x 求m的值.
2 cm （1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ） 是多少？
做一做
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方 厘米，试写出y与x的关系式．
练一练
1.函数y ax2 bx c(其中a,b,c为常数)， 当a,b,c满足什么条件时，
a≠0；
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
m2 m
是二次函数,
【注意】二次函数的二次项系数不能为0.
练一练
4. 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类 型的函数？ 2 cm （1）写出正方体的表面积S（ ）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系式； 2 （2）写出圆的面积y（ cm）与它的周长 x（cm） 之间的函数关系式； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的 面积S（ cm2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 式．
练一练
5.已知二次函数y=x² +px+q ，当x=1时,函 数值为4，当x=2时，函数值为 -5 ，求这个 二次函数的关系式.
练一练
6.已知二次函数
y 2( x 1) 4 ，
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ （2）你能说出这里自变量能取哪些值？
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变
用20米长的篱笆围一个矩形的花圃（如 图），设连墙的一边长为x m,矩形的面积 为y m2。求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x
2
(o<x<10)
(2)当x=3时
y 2 3 20 3 42
2
(3) y ( x 2)(x 3)
(4) y x 2 2 x 3
(5) y ( x 2)(x 2) ( x 1)2
３.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
合作学习
探索新知
（3）一个温室的平面图如图,温室外围 是一个矩形，周长为12Om，室内通道的 尺寸如图,设一条边长为x（m）, 种植面 积为y（m2）.
1 1 1
x
3
合作学习 1.y
探索新知
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 2+58x-112 2 =-x =2x +4x+2
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一次函数、正比例函数的定义是什 么？
合作学习 探索新知
请用适当的函数关系式表示下列问题情 境中的两个变量y与x之间的关系：
2 cm （1）圆的面积y( )与圆的半径x(cm);
（2）某商店1月的利润是为x，3月份的利润为y;
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=10π r² 1 __ (2) y=x+ 不是二次函数. 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 10π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些 共同的特征?
经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式， (a，b，c是常数，且 a≠0 ).
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式；
（2）a,b,c为常数，且
2
x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
知识运用
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x ;
2
1 (2) y 2 ; x (3) y x(1 x); (4) y ( x 1) x .
2 2
先化简后判断
２.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x 2 2
例 下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指 出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x-1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t² (4) y=(x+3)² -x² 1 __ (5)y= x² -x (6) v=10π r²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
量的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y( cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 . 其中自变量x能取哪些值呢？ 【注意】当二次函数表示某个实际问题时, 还必须根据题意确定自变量的取值范围.
练一练
1.若函数 y (m 1)x
2 m 2 m
为二次函数，求m的值。
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2
二次函数y＝ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
2 x 2.m取何值时，函数y= (m+1) +(m-3)x+m是二次函数？
3.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩 形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试 (1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
练一练
2.请举一个符合以下条件的y关于x的二次函 数的例子. （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常 数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为常数 项的3倍。
练一练
3. 关于x的函数 y (m 1) x 求m的值.
2 cm （1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ） 是多少？
做一做
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方 厘米，试写出y与x的关系式．
练一练
1.函数y ax2 bx c(其中a,b,c为常数)， 当a,b,c满足什么条件时，
a≠0；
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
m2 m
是二次函数,
【注意】二次函数的二次项系数不能为0.
练一练
4. 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类 型的函数？ 2 cm （1）写出正方体的表面积S（ ）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系式； 2 （2）写出圆的面积y（ cm）与它的周长 x（cm） 之间的函数关系式； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的 面积S（ cm2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 式．
练一练
5.已知二次函数y=x² +px+q ，当x=1时,函 数值为4，当x=2时，函数值为 -5 ，求这个 二次函数的关系式.
练一练
6.已知二次函数
y 2( x 1) 4 ，
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ （2）你能说出这里自变量能取哪些值？
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变
用20米长的篱笆围一个矩形的花圃（如 图），设连墙的一边长为x m,矩形的面积 为y m2。求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x
2
(o<x<10)
(2)当x=3时
y 2 3 20 3 42