深圳重点中学直升卷

（深圳重点中学）直升卷经典题10．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm. 则OM 的长为( )A 、cm 3B 、cm 5C 、cm 2D 、cm 3二.填空（本题共10题，每题3分，共30分.请将正确答案写在答题卷的横线内，写在试卷上的答案无效.）15．等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 .16．如下图，△P 1O A 1、△P 2 A 1 A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2在函数4y x=（x ＞0）的图象上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 . 17．如上图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BD 为直径，︒=∠30BAC ，若2=BC ，则=BD .（第19题）18．若两圆外切，圆心距为8cm ，一个圆的半径为3cm ，则另一个圆的半径为cm ．19．如下图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_ _.20．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开图所得的扇形的圆心角为︒120，那么该圆锥的全面积为 .P 1O xyA 1 A 2P 2（第16题） （第17题）OD B A CD A B CEF26．（本题满分10分）等腰△ABC ，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）② 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．A BCPEFABCPEF图a 图b27．（本题满分12分） 如图，已知⊙O 中，弦BC ＝8，A 是BAC 的中点，弦AD 与BC 交于点E ，AE ＝53，ED ＝33，M 为BDC 上的动点，（不与B 、C 重合），AM 交BC 于N.（1）求证：AB 2=AE ·AD ；（2）当M 在BDC 上运动时，问AN ·AM 、AN ·NM 中有没有值保持不变的？若有的话，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值；（3）若F 是CB 延长线上一点，FA 交⊙O 于G ，当AG ＝8时，求sin ∠AFB 的值．得分 评卷人GD MA B CFE N28．（本题满分12分） 如图，已知抛物线p nx mx y ++=2与562++=x x y 关于y 轴对称，与y 轴交于点M ，与x 轴交于点A 和B ．（1）求出p nx mx y ++=2的解析式，试猜想出与一般形式抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的二次函数解析式（不要求证明）． （2）若A ，B 的中点是点C ，求sin∠CMB．（3）如果过点M 的一条直线与p nx mx y ++=2图象相交于另一点N （a ，b ），a ≠b 且满足22a a q 0,b b q 0-+=-+=（q 为常数），求点N 的坐标．得分 评卷人ABMO PNCyx26．（本题满分10分）等腰△ABC ，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．④ 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）⑤ 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ⑥ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．26、（1）证明：在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC ，所以∠B=∠C=30°， …………………1分 因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150° 因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180° 所以∠BPE+∠CPF=150°所以∠BEP=∠CPF …………………2分 所以△BPE ∽△CFP …………………3分（2）①△BPE ∽△CFP ……………………………4分②△BPE 与△PFE 相似。

……………………………5分 下面证明结论同（1）可证△BPE ∽△CFP 得 EP PFBP FC= ，而CP=BP 因此 EP PFCP FC= ， …………………6分 又因为∠EBP=∠EPF ，所以△BPE ∽△PFE ……………………7分 ③ 由②得 △BPE ∽△PFE所以∠BEP=∠PEF分别过点P 作PM ⊥BE ，PN ⊥EF ，垂足分别为M 、N ，则PM =PN …8分 连AP ，在Rt △ABP 中，由∠B =30°，AB=8可得AP=4，所以PM=23， 所以PN=23 …………………9分所以 s =12PN×E F= 3m …………………10分A BCPEFABCPEF图a 图b27．（本题满分12分）如图，已知⊙O 中，弦BC ＝8，A 是BAC 的中点，弦AD 与BC 交于点E ，AE ＝53，ED ＝33，M 为BDC 上的动点，（不与B 、C 重合），AM 交BC 于N. （1）求证：AB 2=AE ·AD ；（2）当M 在BDC 上运动时，问AN ·AM 、AN ·NM 中有没有值保持不变的？若有的话，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值；（3）若F 是CB 延长线上一点，FA 交⊙O 于G ，当AG ＝8时，求sin ∠AFB 的值． （1） 证明：连BD∵AB AC =∴∠ABC=∠ABD又∵∠BAE=∠DAB∴△ABE ∽△ADB ……………2分∴AB ADAE AB= ∴2AB AE AD = …………………3分（2） 连结BM ，同（1）可证△ABM ∽△ANB ，…4分则AB ANAM AB = ∴2AN AM AB = …………5分∴3AN AM AE AD 53(53)803==+=即AN AM 为定值。

……………6分 设BN=x ，则CN=（8-x ） …………7分∵22AN NM BN CN x(8x)x 8x (x 4)16==-=-+=--+……8分 故当BN=X=4时，AN NM 有最大值为16。

……………9分 （3）作直径AH 交BC 于K ，连结GH, ∵A 是BAC 的中点∴AH ⊥BC ，且BK KC=4=，∴222AK AB BK 8016=64=-=- ∴AK=8又由AK KH=BK KC 得：44KH=28⨯= ……………10分 ∴AH=10N EFABCMDG NEFA B CMD G KN EGB OFCA D M H又∵∠AGH=∠BKF=Rt ∠，且∠GAH=∠KAF ， ∴∠F=∠H …………………11分∴AG 84SinF= SinH=AH 105== …………………12分 28．（本题满分12分）如图，已知抛物线p nx mx y ++=2与562++=x x y 关于y 轴对称，与y 轴交于点M ，与x 轴交于点A 和B ．（1）求出p nx mx y ++=2的解析式，试猜想出与一般形式抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的二次函数解析式（不要求证明）． （2）若A ，B 的中点是点C ，求sin∠CMB．（3）如果过点M 的一条直线与p nx mx y ++=2图象相交于另一点N （a ，b ），a ≠b 且满足22a a q 0,b b q 0-+=-+=（q 为常数），求点N 的坐标．解：（1）562++=x x y 的顶点为（－3，－4）， ………………（1分） 即 p nx mx y ++=2的顶点的为（3，－4）， ………………（2分） 设 4)3(22--=++=x a p nx mx y ， ………………（3分） 562++=x x y 与y 轴的交点M （0，5），即p nx mx y ++=2与y 轴的交点 M （0，5）．即 a ＝1，所求二次函数为562+-=x x y ． …………………（4分） 猜想：与一般形式抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的二次函数解析式是c bx ax y +-=2． …………………（5分） （2）过点C 作CD ⊥BM 于D ．抛物线562+-=x x y 与x 轴的交点A （1，0），B （5，0），与y 轴交点 M （0，5），AB 中点C （3，0）． ………………（6分） 故△MOB ，△BCD 是等腰直角三角形，CD ＝2,BC 22=． 在Rt △MOC 中，MC ＝34． ……………………（7分）By xAMO PNCD则sin ∠CMB ＝1717=MC CD ． ……………………（8分） （3）设过点M （0，5）的直线为y=kx+5 …………………（9分）⎩⎨⎧+-=+=,56,52x x y kx y 解得 ⎩⎨⎧==,5,011y x ⎩⎨⎧++=+=.56,6222k k y k x ……………（10分） 则 .56,62++=+=k k b k a由已知a ，b 是方程2x x q 0-+=的两个根，故 a ＋b ＝1．………（11分） 即 1)56()6(2=++++k k k ，化简 01072=++k k ，则5,221-=-=k k ． 点N 的坐标是（4，－3）或（1，0）． ……（12分）说明：解答题用其它方法均酌情给分。