04子空间

由第一个结论得： ClY(A) = DY(A) ∪ A = (DX(A) ∩ Y) ∪ (A ∩ Y)
= (DX(A) ∪ A) ∩ Y = ClX(A) ∩ Y.
Notes
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第 4 讲：拓扑空间的子空间
子空间的部
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Notes
例（相对拓扑）
设 X = {a, b, c, d} ，则 τ = {0/ , {c} , {c, d}, {a, b, c}, X} 是 X 的拓扑。
令 Y = {a, b, c} ，则 τ|Y = {0/ , {c}, Y} 就是 Y 上的相对拓扑。
设 A = [0, 1] ⊆ R ，则 A 作为子空间，它的开集是 R 的开集与 A 的
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子空间的开集
定义（拓扑子空间）
设 A 是 X 的一个子集族，Y ⊆ X 。我们引进记号 A |Y = {A ∩ Y|A ∈ A } ，叫 A 在 Y 上的限制。
设 (X, τ) 是拓扑空间，Y ⊆ X 。容易验证 τ|Y 是 Y 上的拓扑，叫 Y 的子空间拓扑或者叫相对拓扑，而 (Y, τ|Y) 叫 (X, τ) 的拓扑子空 间，简称子空间。
这说明子空间的闭集是母空间的闭集与子空间的交集。
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证明
首先注意，对 Y 的任意子集 F 有 FYc = Fc ∩ Y 。 ∀F ∈ F |Y ，则存在 A ∈ F ，使 F = A ∩ Y ，于是有
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目录
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Notes
第一章拓扑空间与连续性
1. 拓扑空间
1.1. 拓扑空间的定义 1.2. 度量拓扑 1.3. 拓扑空间的几个基本概念 1.4. 子空间
例
设 A ⊆ Y ⊆ X ，则 ()
1 AiY = Y\ Y\A ； 2 如果 Y 是 X 的开集，则 AiY = Ai 。
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证明
()
()
1 Y\ Y\A ⊆ Y\(Y\A) = A ，且 Y\ Y\A 是 Y 的开集，所以 ()
3 设 A1, · · · , An 都是 X 的闭集，并且 A1 ∪ · · · ∪ An = X ，B ⊆ X ，则 B 是 X 的闭集当且仅当对每个 i ，B ∩ Ai 是 Ai 的闭集。
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x 在 X 中的邻域与 A 的交是 x 在 A 中的邻域； x 在 A 中的邻域必是它在 X 中的某个邻域与 A 之交。
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子空间的闭集
Notes
定理
设 (X, τ) 是拓扑空间，F 是它的闭集族，Y ⊆ X ，则 F |Y 是 Y 作 为子空间的闭集族。
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练习题
1 设 A ⊆ Y ⊆ X ，证明 BdX(A) ∩ Y ⊆ BdY(A) ，并举例说明反包含不 必成立。
2 设 A ⊆ Y ⊆ X ，x ∈ Y ，则 x 是 A 在 X 中的聚点当且仅当它是 A 在 Y 中的聚点。
Y\ Y\A ⊆ AiY 。另一方面，任取 x ∈ AiY ，则存在 x 在 Y 中的邻
域 U ⊆(A ，于) 是，U ∩ (Y\A) = 0/ ，所以 x ∈/ Y\A ，因此 x ∈ Y\ Y\A 。
2 如果 Y 是 X 的开集，则 AiY 也是 X 的开集，从而 AiY ⊆ Ai 。另一 方面，任取 x ∈ Ai ，则存在开邻域 U ⊆ A ，这个 U = U ∩ Y 也是 x 在 Y 中的开邻域，因此 x ∈ AiY 。
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证明
注意，a ∈ Y 在 Y 中的邻域等于 a 在 X 中的邻域与 Y 的交集。
任取 x ∈ DY(A) ，则对 x 在 X 中的任意邻域 U 有 (U ∩ Y) ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ ，所以 U ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ ，从而 x ∈ DX(A) ∩ Y 。 反之，任取 x ∈ DX(A) ∩ Y ，则对 x 在 X 中的任意邻域 U ，有 U ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ 。 因 A ⊆ Y ，所以 U ∩ (A \ {x}) = (U ∩ Y) ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ ，因此 x ∈ DY(A) 。
开集（闭集）。
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子空间中的导集与闭包
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Notes
例
DY(A) = DX(A) ∩ Y ； ClY(A) = ClX(A) ∩ Y ．这里，DY(A) 表示 A 在 Y 中的导集， ClY(A) 表示 A 在 Y 中的闭包。
FYc = (A ∩ Y)c ∩ Y = (Ac ∪ Yc) ∩ Y = Ac ∩ Y ∈ τ|Y, 所以 F 是 Y 的闭集。 反过来，设 F 是 Y 的任意闭集，则 FYc ∈ τ|Y 。所以 ∃U ∈ τ 使 FYc = U ∩ Y ，于是有 F = (FYc )cY = (U ∩ Y)c ∩ Y = (Uc ∪ Yc) ∩ Y = (Uc ∩ Y) ∪ 0/ = Uc ∩ Y, 所以 F ∈ F |Y 。
交。如
[0,
1 2
)
就是
A
的一个开集，因为
[0,
1 2
)
=
(−1,
1 2
)
∩
A
。
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第 4 讲：拓扑空间的子空间
September 10, 2016 3 / 12
子空间中的邻域
Notes Notes
设 A 是 X 的子空间，x ∈ A ，则 x 在 A 中的邻域系是 x 在 X 中的 邻域系在 A 上的限制，即
Notes
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第 4 讲：拓扑空间的子空间
September 10, 2016 6 / 12
例
设 B ⊆ A ⊆ X ，则
1 若 B 是 X 的开集（闭集），则 B 也是 A 的开集（闭集）； 2 若 A 是 X 的开集（闭集），B 是 A 的开集（闭集），则 B 也是 X 的