第六章_线性空间同步复习1

第六章 线性空间一、内容提要§6.1 线性空间与简单性质1． 定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域。

在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域K 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对K 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝。

如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域K 上的一个线性空间。

（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k K ； （7） ()∈+l k l k l k ,,βαα＋＝K ；（8） ()()ααkl l k ＝， 其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域K 中任意数。

V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α-。

2． 简单性质。

性质1 零向量是唯一的。

性质2 负向量是唯一的。

性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα-=-)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α。

§6.2 基与维数1．定义（1）基与维数设V 是数域K 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21 满足 （1）n εεε,,,21 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21 线性表示，则称n εεε,,,21 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域K 上的n 维线性空间。

（2）坐标设n εεε,,,21 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21 ，使得n n x x x εεεα+++= 2211，我们称n x x x ,,,21 为向量α在基n εεε,,,21 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21 。

（3）同构设U V ,都是数域K 上的线性空间，如果存在一个从V 到U 的一一对应σ：U V →，使得对任意的向量V ∈βα,以及数K ∈k ，均有()()()()()ασασβσασβασk k =+=+,，则称线性空间V 与U 同构，记为U V ≅。

2．推论（1）n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关。

（2）n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基。

3．定理（1）数域K 上任一n 维线性空间都与nK 同构。

（2）数域K 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

§6.3 基变换和坐标变换1．过渡矩阵设n εεε,,,21 和n ηηη,,,21 是数域K 上n 维线性空间V 的两组基，它们之间的关系为nnn n n n nn n n a a a a a a a a a εεηηεεεηεεεη+++=+++=+++=22112222112212211111，我们称表示矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 为由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵。

2．坐标变换公式设V ∈α在基n εεε,,,21 和n ηηη,,,21 下的坐标分别为()T n x x x ,,,21 ()T n y y y ,,,21 ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y y P 21。

§6.4 线性子空间1．定义（1）子空间设V 是数域K 上的线性空间，W 是V 的一个非空子集。

如果对于V 上的加法和数乘运算，W 也构成数域K 上的线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间（简称子空间）。

（2）生成的子空间设S 是线性空间V 的子集，记()S L 为这组向量所有可能的线性组合构成的子集，不难看出这个子集关于向量的加法和数乘运算封闭，因此它是V 的一个子空间，称之为由S 生成的子空间。

2．子空间封闭性如果线性空间V 的非空子集W 关于V 的两种运算封闭，则W 就成为V 的一个子空间。

3．有关生成子空间的性质（1） 设1S 和2S 是线性空间V 的两组向量组，则()⊆1S L ()2S L 当且仅当1S 可由2S 线性表示.（2）()=1S L ()2S L 当且仅当向量组1S 和2S 等价。

（3）设S 是线性空间V 的子集，()S L 为由S 生成的子空间，则a ）()S L 是V 中包含S 的最小子空间，即若W 是包含子集S 的子空间，则()W S L ⊆。

b ）S 的极大无关组是子空间()S L 的一组基，()S r S L =)(dim 。

4．子空间的交与和（1） s 个子空间的交：si i s V V V V 121==⋂⋂⋂也是V 的子空间。

（2）s 个子空间的和：},,2,1,|{2121s i V V V V i i s s =∈+++=+++αααα也是V 的子空间。

5．直和的定义设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，如果和s V V V +++ 21中的每个分解式),,2,1(,21s i V i i s =∈+++=ααααα是唯一的，这个和就称为直和，记为s V V V ⊕⊕⊕ 21。

6．直和的判定定理设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价: （1）s V V V +++ 21是直和；（2）零向量的表示唯一；（3）()}{1110=+++++⋂+-s i i i V V V V V ；（4）s s V V V V V V dim dim dim )dim(2121+++=+++ 。

7．维数公式设21V V V +=，则()2121dim dim dim dim V V V V V ⋂-+=。

二、训练题一、选择题1. 设321,,ααα是向量空间V 的一组基，且1β=1α+2α,2β=2α+3α,3β=1α+3α,2. (a)V ⊆L(321,,βββ); (b)V ⊇L(321,,βββ);3. (c)V=L(321,,βββ); (d)V=L(21,ββ). 二、填空题1. 设1α,2α,3α,4α是向量空间V 中的线性无关向量组，且1β=21α-2α+4α,2β=1α-4α,3β=2α+23α-24α,4β=31α+23α则L(1β,2β,3β,4β)的维数=_____________. 三、计算、证明题1. 设}0)2(,][)(|)({4=∈=f x R x f x f W（1） 证明：W 是4][x R 的子空间； （2） 求W 的维数与一组基。

2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1102111122151113A , }0,][|{4=∈=αααA x R W 。

证明： a) W 是 4R 的一个子空间。

b) 求W 的维数与一组基。

3. 设 V 1, V 2, V 3 ⊂V 是有限维子空间，证明： dimV 1 + dimV 2 + dimV 3 = dim (V 1 + V 2 + V 3)+ dim (V3 (V 1 + V 2)) + dim (V 1 + V 2)。

4. 设n x K ][是数域K 上次数小于n 的多项式全体构成的线性空间，),2,1(n i a i =是 数域K 上n 个互不相同的数，记)())(()(21n a x a x a x x f ---= ，)/()()(i i a x x f x f -=，证明：),,2,1)((n i x f i =是n x K ][的一组基。

5. 线性空间22⨯M 的两组基分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,00014321αααα；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111,1011,1101,11104321ββββ； 求由基4321,,,αααα到基4321,,,ββββ的过渡矩阵，并求一个非零矩阵A ，使A 在这两组基下的坐标相同。

6. 在次数小于n 的多项式全体构成的线性空间n x K ][中，求从基121,,,1-===n n x x ααα 到基()121,,,1--=-==n n a x a x βββ 的过渡矩阵。

7. 设n ααα,,,21 是n 维实线性空间V 的一组基，P 是s n ⨯阶实矩阵，向量组s βββ,,,21 由()=s βββ,,,21 ()P n ααα,,,21所定义。

证明：子空间()s L βββ,,,21 的维数等于矩阵P 的秩。

8. 设m V V V ,,,21 是线性空间V 的m 个非平凡子空间，证明：在V 中必存在一个向量不属于任何一个i V 。

9. 在全体n 阶方阵组成的线性空间)(K n M 上，考虑}|)({1A A K M A V Tn =∈=，},|)({2A A K M A V T n -=∈= 证明：)(K n M =21V V ⊕。