高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.2

与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即
V ,k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k 与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
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f ( x ), g ( x ), h ( x ) P [ x ], k,l P
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
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二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0
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例1 例2
引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P [ x ]n { f ( x ) a n 1 x
k a a
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
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解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1 2 lo g 2 1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间． 首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.
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证：设 V , 且 0
k1 , k 2 P , k1 k 2 , 有
又
k 1 , k 2 V
k 1 － k 2 ( k 1 k 2 ) 0

k 1 k 2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限
k ( ) k k
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0； ∵ k k ( 0) k k 0 ∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ; ∵ ( 1 ) 1 ( 1 ) (1 1) 0 0 ∴两边加上－ 即得 ( 1) ; ∵k ( ) k k ( ) k ∴两边加上 k 即得 k ( ) k k .
k ( a1 , a 2 , , a n ) ( k a1 , k a 2 , , k a n ), k P
而且这两种运算满足一些重要的规律,如 1
( ) ( )
k ( l ) ( k l )
( k l ) k l
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
2012-9-22
数学与计算科学学院
§6.2 线性空间的定义 与简单性质
一、线性空间的定义
二、线性空间的简单性质
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4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0 , 则
( k k ) k
1 1
( k ) k
1
0 0.
练习：
1、P273：习题3 1）2）4）
2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
0
( ) 0
n
k ( ) k k
, , P , k , l P
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引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 同样满足上述这些重要的规律，即
f ( A ) g ( A ) h ( A ), k f ( A ) d ( A )
其中，k R , h ( x ), d ( A ) R [ x ] 又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素. 以f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x) , 则f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数 乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.
多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
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0 ( ) ( ) ( ) 0
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
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3、0 0 , k 0 0 , ( 1 ) ,
加法满足下列四条规则： ①
, , V
② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得 0 ;（β 称为 的负元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑦ ( k l ) k l ⑥ k ( l ) ( k l ) ⑧ k ( ) k k 数量乘法与加法满足下列两条规则：
f ( x) g( x) g( x ) f ( x )
( f ( x ) g ( x )) h ( x ) f ( x ) ( g ( x ) h ( x )) f (x) 0 f (x) f ( x ) ( f ( x )) 0 1 f (x) f (x) k (l ) f ( x ) (kl ) f ( x ) ( k l ) f ( x ) kf ( x ) lf ( x ) k ( f ( x ) g ( x )) kf ( x ) kg ( x )
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a ③ 1 R＋， 1 a1 a , a R＋，即1是零元；
④ a
即 a 的负元素是
1 1 1 ＋， ＋ R R ，且 a a a a 1 a 1
a
；
⑤ 1 a a 1 a ; a R＋； ⑥ k (l a ) k a (a ) a
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注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也
称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
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引例 1
在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：
( a 1 , a 2 , , a n ) ( b1 , b 2 , , b n ) ( a 1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n )
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
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例6
令
V

f ( A ) f ( x ) R [ x ], A R
n n

即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间． 证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
数域P上的线性空间． 例5 全体正实数R＋，

1) 加法与数量乘法定义为： a , b R , k R
a b lo g a
b
k a a
k
2) 加法与数量乘法定义为： a , b R , k R

a b ab
n1
a1 x a 0
a n 1 , , a 1 , a 0 P }
例3
数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵
的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 用 P m n 表示．
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例4

事实上, a , b

R , a b ab R
k


,且 ab唯一确定；

a R , k R , k a a R ,且 ak 唯一确定．
其次，加法和数量乘法满足下列算律
① a b ab ba b a
② ( a b ) c ( ab ) c ( ab ) c a ( bc ) a ( bc ) a ( b c )