北京市东城区高中数学必修课程模块二考试题B卷
【东城二模】北京市东城区高三下学期综合练习(二)理科数学 Word版含答案.pdf
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二） 高三数学（理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的，集合，则=（A）（B） （C） （D） （2）在复平面内，对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限值为 （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 (4) 如果实数，满足条件 则的最大值为 （A） （B） （C） （D） （5）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 （A） （B） （C） （D） （6）A） （B） （C） （D） （7）（为参数）被圆（为参数）所截的弦长为，则的值为 （A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或 （8）对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题9）已知，那么），，若，，，则 ；向量，夹角的大小为 ．）上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．）与圆相切于，直线交圆于，两点，，垂足为，且是的中点，若，则 ． （13）若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是 ． （14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），， ①若，则满足条件的点的个数为________； ②若满足的点的个数为，则的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值． （16）（本小题共13分） “你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在的人数； （Ⅱ）从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取人，求年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记为年龄在年龄段的人数，求的分布列及数学期望． （17）（本小题共14分） 如图，四棱锥中，平面平面,// ,, （I）求证：平面； （II）求和平面所成角的正弦值； （III）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. （18）（本小题共13分） 已知，函数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：对于任意的都有19）（本小题共13分） 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程. （20）（本小题共14分） 设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若，求证：； （Ⅲ）当时，求证：存在，使得． 东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4） （10） （11） （12） （13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ） ． 所以． …………………7分 （Ⅱ）当时，． 所以，当时，即时，函数取得最小值； 当时，即时，函数取得最大值．…………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）， ， 即随机抽取的市民中年龄段在的人数为．………………………4分 （Ⅱ），， 所以， 即抽取的人中年龄段抽取的人数为． ……………………7分 （Ⅲ）的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 的数学期望为．………………………13分 （17）（共14分） 解：（I）由，., 可得． 由，且， 可得． 又． 又平面平面， 平面 平面 ， 平面， 所以平面． ……………５分 （II）如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设是平面的一个法向量，则，， 即 令，则． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以和平面所成的角的正弦值． ……………1０分 （III）设，． ，，. 则． 设是平面一个法向量，则，， 即 令，则． 若平面平面，则，即，. 所以，在线段上存在一点使得平面平面.……………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为,， 所以，当，或时，； 当时，． 所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，， 所以，当时，． 由，可得． 所以当时，函数在区间上是增函数， 所以，当时，． 所以，当时， 对于任意的都有，所以． 当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 所以，当时，． 所以，当时， 对于任意的都有，所以． 综上，对于任意的都有19）（共13分） 解（Ⅰ）依题意有，． 可得，． 故椭圆方程为． ………………………………………………５分 的方程为． 联立方程组 消去并整理得． 设，． 故，． 则 ． 设的中点为． 直线的斜率为，又 ， 所以． 当△为正三角形时，， 可得， 解得． 即直线的方程为，或．………………………………13分20）（共14分） 解：（Ⅰ）； ． ………………5分是一个位数（）， 那么可以设， 其中且（），且． 由可得，． 所以． 因为，所以． 而， 所以，即． ………………9分，即，可知． 同理，可知． 由数学归纳法知，对任意，有． 即对任意，有． 因此，存在（），有． 则，，…，， 可得对任意，，有． 设，即对任意，有． 若，取，，则有． 若，由，可得， 取，，则有． ………………14分 ： ： E B C D 组距 频率 0.005 0.015 10 20 30 40 50 60 0.025 0.020 · O D P C B A 结束 输入 否 是 输入 开始 A D B A C E z x y。
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测2(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。
(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册 全册综合测试卷二(附答案)
（人教版B 版2017课标）高中数学必修第二册 全册综合测试卷二（附答案）第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（ ） A .[1,1]-B .1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[1,2]D .2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A .1-B .0C .1D .2 3.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（ ） A .(1,3)-B .(,3)-∞C .(,1)-∞D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()2a f =，121log 4b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2log c f ⎛= ⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b ＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨⎩＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,(1,)m n ∈+∞，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（ ）ABCD7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。
其中正确命题的个数是（ ） A .1B .2C .3D .48.设函数()2ln 1y x x =-+，则下列命题中不正确的是（ ） A .函数的定义域为RB .函数是增函数C .函数的图像关于直线12x =对称D .函数的值域是3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温()y ℃与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度()y ℃与时间(min)t 近似满足函数关系式101802t ay b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）.通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）A .35minB .30minC .25minD .20min10.已知函数22log ,02,()43,2,x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩＜≤＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A .[2,3]B .(2,3)C .[2,3)D .(2,3]二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A .函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B .已知函数log (2)a y ax =-（0a ＞且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)C .在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称D .已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞内有1 010个零点，则函数()f x 的零点个数为2 02112.定义“正对数”：0,01,ln ln , 1.x x x x +⎧=⎨⎩＜＜≥若0a ＞，0b ＞，则下列结论中正确的是（ ）A .()ln ln b a b a ++=B .ln ()ln ln ab a b +++=+C .ln ()ln ln a b a b +++++≥D .ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x ＞时，()e 1x f x =+，则(ln2)f -的值为________.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.72≈，lg70.85≈）15.已知函数()log (1)a f x x =-+（0a ＞且1a ≠）在[2,0]-上的值域是[1,0]-.若函数()3x m g x a +=-的图像不经过第一象限，则m 的取值范围为________.16.若不等式()21212xxm m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1()231251log 227-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）计算：1324lg 2493-18.（12分）已知幂函数()221()1m f x m m x --=--⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()22x x m g x =+. （1）求实数m 的值，并简要说明函数()g x 的单调性； （2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为(01)x x ＜＜. （1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ； （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）20.（12分）已知函数2()lg 2lg(10)3f x x a x =-+，1,10100x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()y f x =的最小值记为()m a ，求()m a 的最大值.21.（12分）已知函数()log a f x x b =+（其中,a b 均为常数，0a ＞且1a ≠）的图像经过点()2,5与点()8,7.（1）求,a b 的值；（2）设函数2()x x g x b a +=-，若对任意的1[1,4]x ∈，存在[]220,log 5x ∈，使得()()12f x g x m =+成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围； （3）若函数[]1()22()421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，是否存在实数()h x 使得最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.第四章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由[1,1]x ∈-，得13,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ∈.2.【答案】C1()2)2f x x =-+，11()()2)2)2)2)122f x f x x x x x ∴+-=+++=++22lg(144)1lg111x x =+-+=+=，1(lg 2)lg (lg 2)(lg 2)12f f f f ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭.3.【答案】A 【解析】函数2()log f x x =在定义域内单调递增，2(4)log 42f ==，∴不等式(1)2f a +＜等价于014a +＜＜，解得13a -＜＜，故选A .4.【答案】C【解析】2||2||()()e e ()x x f x x x f x --=-+=+=知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，()02(1)a f f ==，121log (2)4b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，211log 22f f f c ⎛⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎭⎝⎝⎭=⎝⎭，所以1(2)(1)2f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞.5.【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -⎧⎪-+⎨⎪⎩＜≥＜＜解得1173a ≤＜，故选B .6.【答案】A【解析】由题意，得26log log 2log 6log 13m m n n n m n m +=+=，令log (1)m t n t =<，则6213t t +=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =21m n=，所以2()mn f x x =的图像即为()f x x =的图像，故选A .7.【答案】C【解析】由e e ()()2x x f x f x -+-==，知e 2e x xy -+=为偶函数，因此①正确；由11e e 221111e e e x x x x x y -+-===-+++知1e e 1x x y -=+在R 上单调递增，因此②正确；当0x ＞时，lg lg y x x ==，它在(0,)+∞上是增函数，因此③错误；由313log log y x x =-=知13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称，因此④正确，故选C .8.【答案】B【解析】A 中命题正确，22131024x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴函数的定义域为R ；B 中命题错误，函数()2ln 1y x x =-+在12x ＞时是增函数，在12x ＜时是减函数；C 中命题正确，函数的图像关于直线12x =对称：D 中命题正确，由221331244x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()23ln 1ln 4y x x =-+≥，∴函数的值域为3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选B .9.【答案】C【解析】由题图知，当05t ≤＜时，函数图像是一条线段，当5t ≥时，因为函数的解析式为101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将(5,100)和(15,60)代入解析式，得5101510110080,216080,2aa b b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得5,20,a b =⎧⎨=⎩故函数的解析式为51018020,52t y t -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥.令40y =，解得25t =，所以最少需要的时间为25min . 10.B 根据已知画出函数()f x 的草图如下。
北京市东城区高三数学下学期二模考试试卷理(含解析)
北京市东城区2017届高三数学下学期二模考试试卷理（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（北京市东城区2017届高三数学下学期二模考试试卷理（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科)一、选择题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x｜x2﹣4＜0}，则∁R A=（）A．｛x｜x≤﹣2或x≥2} B．｛x|x＜﹣2或x＞2} C．｛x｜﹣2＜x＜2｝D．｛x｜﹣2≤x≤2} 2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣｜x|3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．D．24．设，是非零向量,则“，共线”是“｜+｜=｜｜+||”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n｝为递增数列,S n是其前n项和．若a1+a5=,a2a4=4，则S6=（) A．B．C．D．6．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5,v=1，x=2，则程序框图计算的是（)A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+17．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y 与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A．B． C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…,a n,和b1，b2，b3,…，b n，令M=｛m｜a m＜b m，m=1，2，…,n｝，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作:A B，现有三种蔬菜A，B,C，下列说法正确的是（）A．若A B，B C,则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B，B A可同时不成立D．A B，B A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分，共30分．9．复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为．10．在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0)相切，则a= ．11．某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=,则BD= ；三角形ABD的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则｜OA｜= ．14．已知函数①若f(x)=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是．②若关于x的方程f（x+T）=f（x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x(a∈R）．（Ⅰ)若f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x)在[，］上单调递减，求f（x）的最大值．16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60％以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率;（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望;(Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；(Ⅱ)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值;(Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x(a∈R）．(Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f(x）在点（﹣1,f（﹣1）)处的切线方程；(Ⅱ）设g(x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈［0,2］，存在s∈[0，2］使得f（s）≥g（t）成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0)的短轴长为2，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C 上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．20．对于n维向量A=（a1,a2，…，a n），若对任意i∈｛1,2，…，n}均有a i=0或a i=1,则称A 为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=．(Ⅰ）若A=（1，0，1，0,1）,B=（0，1，1，1，0），求d（A，B)的值．(Ⅱ)现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3,…，若A1=（1，1,1,1，1）且满足：d(A i，A i+1）=2,i ∈N＊．求证:该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3,…，若且满足：d（A i，A i+1）=m，m∈N＊，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合A=｛x|x2﹣4＜0｝，则∁R A=（）A．｛x|x≤﹣2或x≥2} B．｛x|x＜﹣2或x＞2} C．{x｜﹣2＜x＜2｝D．｛x|﹣2≤x≤2｝【考点】1F：补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义计算∁R A．【解答】解：集合A=｛x|x2﹣4＜0｝=｛x｜﹣2＜x＜2}，则∁R A={x|x≤﹣2或x≥2}．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣｜x｜【考点】3K:函数奇偶性的判断．【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．【解答】解：对于A非奇非偶函数，不正确；对于B，计算,正确,对于C，非奇非偶函数，不正确;对于D，偶函数，不正确，故选：B．3．若x，y满足，则x+2y的最大值为( ）A．﹣1 B．0 C．D．2【考点】7C:简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，判断最优解,然后求解z取得的最大值．【解答】解：作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部,由,解得A（﹣，）,设z=F（x,y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F(，）=．故选：C．4．设，是非零向量，则“，共线”是“|+|=|｜+||”的( ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“｜+｜=||+||”⇒“，共线”,反之不成立，例如．【解答】解：“|+｜=｜｜+｜｜”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+｜=｜｜+｜｜”的必要不充分条件．故选：B．5．已知等比数列{a n｝为递增数列,S n是其前n项和．若a1+a5=，a2a4=4，则S6=（）A．B．C．D．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设递增的等比数列｛a n｝的公比为q,∵a1+a5=，a2a4=4=a1a5，解得a1=，a5=8．解得q=2，则S6==．故选：D．6．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+1【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为63,即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，v=1,x=2，i=4满足条件i≥0，执行循环体，v=3,i=3满足条件i≥0,执行循环体，v=7,i=2满足条件i≥0，执行循环体,v=15,i=1满足条件i≥0,执行循环体,v=31，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=63，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为63．由于25+24+23+22+2+1=63．故选：A．7．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A,P两点间的距离y 与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A．B． C．D．【考点】3O:函数的图象．【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给A，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解：由题意可知：对于A、B,当P位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A、B，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除D，故选C．8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2,a3,…,a n，和b1,b2,b3，…,b n，令M={m｜a m＜b m,m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A．若A B，B C，则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B，B A可同时不成立D．A B，B A可同时成立【考点】F4:进行简单的合情推理．【分析】令a i=b i，i=1，2，…n，即可判断C正确．【解答】解：若a i=b i,i=1，2，…n，则A B，B A同时不成立，故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数i(2﹣i）=2i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．故答案为:（1，2)．10．在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ(a＞0)相切，则a= 1 ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=0化为直角坐标方程：x+y+1=0．圆ρ=2acosθ(a＞0）即ρ2=2ρacosθ(a＞0)，可得直角坐标方程：x2+y2=2ax，配方为：（x ﹣a)2+y2=a2．可得圆心（a，0）,半径a．∵直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，∴=a,a＞0，解得a=1．故答案为：1．11．某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有14 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、选择1门B类课程，需要选择A类课程3门，②、选择2门B类课程，需要选择A类课程2门，由分步计数原理计算每种情况的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、选择1门B类课程,需要选择A类课程3门，则B类课程有C21=2种选法，A类课程有C43=4种选法，此时有2×4=8种选择方法;②、选择2门B类课程，需要选择A类课程2门，则B类课程有C22=1种选法,A类课程有C42=6种选法，此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法；故答案为：14．12．如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=，则BD= 2 ；三角形ABD的面积为﹣1 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】△CBD中,由余弦定理，可得,BD，△ABD中，利用正弦定理，可得AD,利用三角形的面积公式，可得结论．【解答】解：△CBD中，由余弦定理，可得，BD==2，△ABD中，利用正弦定理，可得AD==2﹣2,∴三角形ABD的面积为（2﹣2）×=﹣1,故答案为2，﹣1．13．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA｜= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知求得直线l的方程,代入抛物线方程，点A在x轴上方，即可求得A点坐标，利用两点之间的距离公式,即可求得丨OA丨．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°，即斜率k=tanα=,∴直线l的方程为：y=（x﹣1)，即x=y+1，，解得：，，由点A在x轴上方，则A(3,2)，则|OA|==，则丨OA丨=，故答案为：．14．已知函数①若f(x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是（1,+∞）．②若关于x的方程f（x+T）=f(x）有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是（﹣4,﹣2)∪(2，4）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】①作出f（x）的图象,根据图象判断；②将f（x）的图象平移，只需与原图象有3个交点即可．【解答】解：①f(x)=，作出f（x)的函数图象如图所示：由图象可知当a＞1时，f（x）=a只有1解．②∵关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将f（x)的图象向左或向右平移｜T|个单位后与原图象有3个交点，∴2＜｜T｜＜4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为:①（1,+∞），②(﹣4，﹣2）∪（2，4）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x（a∈R）．（Ⅰ）若f（）=2，求a的值；（Ⅱ)若f（x）在［，］上单调递减，求f(x）的最大值．【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=2，即可求a的值;（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质,f（x）在[，］上单调递减，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∵．故得：a=1．（Ⅱ)由题意：f（x）=，其中tan,∴函数的周期T=π,且,所以当x=时,函数f（x）取得最大值，即f(x）max=f（）═=，∴sin(）=1，∴,k∈Z．∴tanθ==，∴a=3．故得．因此f（x）的最大值为．16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度"（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40％以下为舒适，40%﹣60%为一般,60％以上为拥挤)情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，2，…，9)．根据题意，，且事件A i与A j互斥．(Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤",则B=A4∪A7．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，结合图象，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．(Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．【解答】解:设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1,2,…，9）．根据题意，，且事件A i与A j互斥．…（Ⅰ)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤"，则B=A4∪A7．…所以．…（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2,…，…,…．…所以X的分布列为X012P…故X的期望．…（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…17．如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE;（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定；MI:直线与平面所成的角．【分析】(Ⅰ）取CD 中点N，连结MN、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN∥ED．进而FN∥平面BDE，由此能证明平面MFN∥平面BDE，从而FM∥平面BDE．（Ⅱ)取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y,z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点，且，λ∈［0，1]．利用向量法能求出在棱CF上存在点G 使得BG⊥DE，此时．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）取CD 中点N,连结MN、FN．因为N，M分别为CD,BC中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB,AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE,所以FN∥平面BDE，…又FN∩MN=N,所以平面MFN∥平面BDE．…又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．…解：（Ⅱ)取AD中点O,连结EO,BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点,OA,OB,OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．…由题意得，A(2，0,0），，,D（﹣2,0，0），,．…，，．设平面BDE的法向量为=（x,y，z),则,即，令z=1，则y=1，．所以．…设直线CF与平面BDE成角为α，，所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为．…（Ⅲ）设G是CF上一点，且,λ∈[0，1］．…因此点．…．由,解得．所以在棱CF上存在点G使得BG⊥DE，此时．…18．设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x)在点(﹣1,f（﹣1）)处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈［0,2]，存在s∈［0，2］使得f（s）≥g(t）成立,求a的取值范围．【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ)当a=0时，f′（x）=（﹣x2+2x)e﹣x,由此能求出曲线y=f（x)在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈[0，2］,存在s∈[0，2]使得f(s）≥g（t）成立",等价于“在区间［0,2]上,f(x）的最大值大于或等于g(x)的最大值”．求出g（x)在[0,2]上的最大值为g（2）=1．f'（x)=e﹣x（x﹣2）(x+a），令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的值范围．【解答】（共13分)解：（Ⅰ）当a=0时，∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=（﹣x2+2x）e﹣x，…，∴f′（﹣1）﹣3e．…又∵f（﹣1)=e,…∴曲线y=f(x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为：y﹣e=﹣3e（x+1），即3ex+y+2e=0．…（Ⅱ）“对任意的t∈［0,2]，存在s∈［0，2]使得f（s)≥g（t）成立"，等价于“在区间[0，2]上,f（x）的最大值大于或等于g(x）的最大值"．…∵，∴g(x)在[0，2］上的最大值为g（2）=1．f'（x)=（2x+a）•e﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e﹣x=﹣e x［x2+（a﹣2）x﹣2a]=e﹣x（x﹣2)（x+a），令f′（x)=0，得x=2，或x=﹣a．…①当﹣a＜0，即a＞0时，f′（x）＞0在［0,2]上恒成立，f（x）在［0，2]上为单调递增函数，f（x）的最大值为f（2)=(4+a）•，由（4+a）•≥1，得a≤e2﹣4．…②当0＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，当x∈(0，﹣a）时，f′（x）＜0,f（x）为单调递减函数，当x∈（﹣a，¬2）时,f'(x)＞0,f（x)为单调递增函数．∴f(x）的最大值为f（0）=﹣a或f（2)=（4+a），由﹣a≥1，得a≤﹣1；由（4+a）≥1，得a≤e2﹣4．又∵﹣2＜a＜0，∴﹣2＜a=1．…③当﹣a＞2，即a＜﹣2时,f′（x）＜0在［0，2］上恒成立，f（x）在［0,2]上为单调递减函数，f（x)的最大值为f（0)=﹣a，由﹣a≥1，得a≤﹣1，又因为a＜﹣2,所以a＜﹣2．综上所述，实数a的值范围是{x｜a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为2,右焦点为F(1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=，c=1，a2=b2+c2=4，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）由“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”设直线AM的方程,代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，分类讨论，当MF⊥x轴时，求得k的值,即可求得N 和E点坐标，求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，则EF平分∠MFB,当k≠时,即可求得直线MF的斜率及方程，利用点到直线的距离公式,求得=|BE|，则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解：（Ⅰ)由题意得2b=2，则b=，c=1，则a2=b2+c2=4，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ)证明：“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB"．设直线AM的方程为y=k（x+2）（k≠0)，则N（2,4k），E（2，2k）．…设点M(x0，y0），由，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0,由韦达定理可知﹣2x0=，则x0=，y0=k（x0+2）=，①当MF⊥x轴时，x0=1，此时k=±．则M（1，±），N（2，±2),E(2,±1)．此时,点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，即EF平分∠MFB．…②当k≠时，直线MF的斜率为k MF==,所以直线MF的方程为4kx+（4k2﹣1）y﹣4k=0．…所以点E到直线MF的距离===|2k|=|BE｜．即点B关于直线EF的对称点在直线MF上，综上可知：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．…20．对于n维向量A=(a1，a2，…，a n）,若对任意i∈{1,2，…，n｝均有a i=0或a i=1，则称A 为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=．（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1,1，1,0）,求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列:A1，A2，A3,…，若A1=(1，1，1，1,1）且满足:d（A i，A i+1）=2，i∈N＊．求证:该序列中不存在5维T向量（0，0,0，0,0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3,…，若且满足：d（A i，A i+1）=m，m∈N＊，i=1，2，3，…,若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】(Ⅰ）由于A=（1,0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可;（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A=（1，0,1，0，1),B=（0,1,1，1，0），由定义,可得d（A,B)=4．…(Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1,A2，A3,…A n,使得A1=（1，1，1，1，1），A m=（0，0，0,0,0）．因为向量A1=(1,1,1，1，1）的每一个分量变为0,都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i=1，2,3,4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1)+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）=2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2)﹣1次,此数为奇数．又因为,说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量(0，0，0，0,0）．…（Ⅲ)存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m=1,2，3，4，5，6，7,8，9，10，11，12．…尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
2020北京东城高三二模数学含答案
2020北京东城高三二模数 学 2020.6本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ，集合{}0,1,2=A ，{}5=B ，那么()=U A B(A){}0,1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,4,5 (D) {}0,1,2,5(2) 已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A) 定义域都为R (B) 值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数 (3) 平面直角坐标系中，已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)− (C) (3,1)− (D) (3,3)−(4) 双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为2(5) 已知函数()log a f x x b =+的图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(6) 已知向量(0,5)=a ，(4,3)=−b ，(2,1)=−−c ，那么下列结论正确的是(A) −a b 与c 为共线向量 (B) −a b 与c 垂直(C) −a b 与a 的夹角为钝角 (D) −a b 与b 的夹角为锐角(7) 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(A) 135平方米 (B) 270平方米(C) 540平方米 (D) 1080平方米(8) 已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+ （B ）π14+（C ）π18+ （D ） 1π+(10) 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪−∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断：① 对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ② 当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③ 当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④ 当=4T a k(∈k Z )时， ()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有俯视图侧（左）视图正（主）视图(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
北京东城二中高二下期末数试题(解析版)
北京二中2016-2017学年度第四学段高二年级模块考试试卷数学选修2-3（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 直线的斜率为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，斜率．故选．2. 用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（）．A. 假设是有理数B. 假设是有理数C. 假设或是有理数D. 假设是有理数【答案】D【解析】试题分析：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“是无理数”的假设为“假设是有理数”．考点：反证法．3. 某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为，那么从高三学生中抽取的人数应为（）．A. B. C. D.【解析】试题分析：分层抽样是按比例进行抽样,据题中所给的学生人数比,可设高三学生中抽取的人数应为,可得,得.故本题选.考点：分层抽样4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．5. 用数学归纳法证明，则当时，等式左边应在的基础上加上（）．A. B.C. D.【解析】由于当时，等式左端，因此当时，等式左端，增加了项．应选答案D。
6. 从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张，则抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】张卡牌中共有个奇数牌，个偶数牌，所以抽取两次共有种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有种基本事件，故抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是．故选．7. 为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高约为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，过点，又∵，∴，解出，∴，当时，．故选．点睛：本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，但是注意应用回归方程得到的y 值不是精确值，是大概的估计值，因而不能说数值一定为多少；再者样本中心一定在回归方程上.8. 学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为，则这组数据的平均数不可能为（ ）．A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题意，当时，平均数为，当时，平均数为，即平均数在区间内，项排除．故选．9. 若实数，满足，则关于的方程有实数根的概率是（ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵实数a ，b 满足，∴以a 为横坐标、b 为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示若关于x的方程有实数根，则满足△=4-4（a+b）≥0，解之得a+b≤1符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的下方，其面积为，又∵单位圆的面积为S=π×1=π∴关于x的方程无实数根的概率为考点：几何概型10. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学模块的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）．A. 乙可以知道两人的成绩B. 丁可以知道两人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩故选二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在题中横线上．11. 已知双曲线的离心率为，那么它的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．【答案】(1). 和(2).【解析】∵已知，，则，∴，焦点坐标为，，双曲线方程为，渐近线为．故答案为：(1). 和；(2). .12. 在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为__________．【答案】1【解析】极坐标系中，直线，在直角坐标系中为，圆，两边同乘得：，在直角坐标系中变为，即，圆心到直线的距离，即圆与直线相切，两者只有个公共点．故答案为：1.13. 观察下列等式：，，，按此规律，第个等式可为__________．【答案】【解析】由观察类比推理，寻找式子的结构特征；每个式子都是2的次方，连续乘以奇数，有几个括号就是2的多少次方，就是后面乘的奇数的个数.答案为：.点睛：本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理,一般的推理是从式子的结构特征，或者式子的结果的规律；在几何的归纳中，一般二维的类比到三维，长度类比面积，面积类比体积.14. 学校安排名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排人，则不同的安排方法有__________种．（用数字作答）【答案】50【解析】试题分析：解：由题意知本题是一个分类计数问题，∵每项活动最多安排4人，∴可以有三种安排方法，即（4，2）（3，3）（2，4）当安排4，2时，需要选出4个人参加共有=15，当安排3，3，时，共有=20种结果，当安排2，4时，共有=15种结果，∴根据分类计数原理知共有15+20+15=50种结果，故答案为：50考点：分类计数问题点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果15. 中，则实数的值为__________，值为__________．【答案】(1). (2).【解析】试题分析：由题意的展开式的通项为，令得，因为，所以，解得．在展开式中令得，即，故答案为：，．考点：二项式定理的应用．16. 已知向量，向量，（其中，，，）．定义：．若，，则__________；若，则__________，__________（写出一组满足此条件的和即可）．【答案】(1). (2). (3).【解析】（）令，，，，∴，,．（）∵，∴，①又∵，，∴，∴，，，，∴，，，是方程组①的一组解，∴，．故答案为：；.三、解答题：本大题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和...................试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.18. 如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为的正三角形，侧面底面．（）设的中点为，求证：平面．（）求斜线与平面所成角的正弦值．（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值．【答案】（）见解析；（）；（）．【解析】试题分析：（I）由Q为侧面正三角形PAB的边AB的中点，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性质定理即可证明线面垂直；（II）通过结论空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出；（III）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角，进而解出．解析：（）证明：∵侧面是正三角形，中点为，∴，∵侧面底面，侧面底面，侧面，∴平面．（）连接，设点，以为原点，，过点且垂直于平面的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，平面的法向量，设斜线与平面所成角为，则．（）设，，，，设平面的法向量为，∴，，，取，，又∵平面的法向量，∴，∴，解出（舍去）或，此时．19. 已知函数，．（）当时，求在点处的切线方程．（）若存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（）；（）【解析】试题分析：(1)根据导数的几何意义得到，；（2）原题等价于有解，有解，构造函数求导研究单调性，从而得到函数最值.解析：（）∵，，，，∴在的切线方程为，整理得．（）∵，使得，∴，∴，，，令，．单调递减，故函数在恒成立，故函数是单调递减函数，=1.故答案为：.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.20. 已知椭圆过点，且离心率为．（）求椭圆的方程．（）过点作直线与交于，两点，连接直线，分别与直线交于，两点．若和的面积相等，求直线的方程．【答案】（）；（）和和.【解析】试题分析：（1）根据离心率公式和点在椭圆上得到方程，进而解出abc的值;(2)根据面积相等得到，联立直线和椭圆根据弦长公式得到，令两式相等可解出斜率值.解析：（）∵且椭圆过，，∴，，，∴椭圆为．（）当直线斜率不存在时，与关于点对称，，当直线斜率存在时，设直线为，设点坐标，，联立，∴，，∴，，，，∴，，∵，，，∴直线的斜率，直线方程为：，当时，，直线的斜率，直线的方程为：，当，，∴，∵，联立解出，综上，直线方程有和和．点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 由，，，排列而成的项数列满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项．（）满足条件的数列中，写出所有的单调数列．（）当时，写出所有满足条件的数列．（）满足条件的数列的个数是多少？并证明你的结论．【答案】），，，，；（）见解析；（）个．【解析】试题分析：（1）根据题意：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项，可以写出结果；（2）设所求个数为，则,对，若排在第位，则它之后的位数完全确定，只能是，，，，,从而可以找到和的递推关系，得到结论.解析：（），，，，；（）数列为：1，2，3，4；4，3，2，1;2,1,3,4;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1；共8个.（）设所求个数为，则，对，若排在第位，则它之后的位数完全确定，只能是，，，，．而它之前的位，，，，有种排法，令，，，，则，，，∴．。
2021_2022学年新教材高中数学模块测试卷二含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：模块测试卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R ),则它的值域与单调递增区间分别是( )A.值域[5,+∞),单调递增区间[1,+∞)B.值域[5,+∞),单调递增区间(-∞,1]C.值域(-∞,5],单调递增区间[1,+∞)D.值域(-∞,5],单调递增区间(-∞,1]f (x )=-x 2+2x+4=-(x 2-2x )+4=-(x-1)2+5,则函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R )的值域是(-∞,5],单调递增区间为(-∞,1].故选D .2.(2021江苏扬州邗江高一期中)已知命题p :“∃x>0,x+t-1=0”,若p 为真命题,则实数t 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1]p :“∃x>0,x+t-1=0”,即“∃x>0,x=1-t ”,又p 为真命题,则1-t>0,即t<1.故选B . 3.已知函数f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,则实数a 的取值为( ) A.1 B.0C.-1D.2f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,所以f (x )=f (-x ),即ax+1x 2+2=-ax+1(-x )2+2,解得a=0.故选B . 4.(2021湖南长沙湖南师大附中高一期末)下列说法正确的是( ) A.若a>b ,则1a<1bB.若a<b<0,则|a|>|b|C.若a>b ,则ac 2>bc 2D.若ac>bc ,则a>ba>0>b 时,1a >1b ,故A 不正确;若a<b<0,则-a>-b>0,则|a|=-a>|b|=-b ,故B 正确;当c=0时,ac 2>bc 2不成立,故C 不正确;若ac>bc ,当c<0时,a<b ,故D 不正确.故选B.5.(2021山东济宁高一期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,则三角形的面积S 可由公式S=√p (p -a )(p -b )(p -c )求得,其中p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( ) A.3B.3C.√7D.√11p=12×(3+5)=4,S=√4(4-a )(4-b )(4-c )=√4(4-b )(4-c )=2√(4-b )(4-c )≤8-(b+c )=3,当且仅当4-b=4-c ,即b=c 时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为3.故选B .6.(2021湖北八市高三一模)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则∁R M ∩N=( ) A.⌀ B.MC.ND.R,如图所示,故∁R M ∩N=N.故选C .7.(2021辽宁营口高一期末)奇函数f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,则不等式(x+1)f (x )<0的解集为( )A.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(2,+∞)B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,2)f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,且f (-2)=0.由不等式(x+1)f (x )<0得{x +1>0,f (x )<0或{x +1<0,f (x )>0,即{x >-1,x >2或-2<x <0或{x <-1,0<x <2或x <-2,故x>2或-1<x<0或x<-2.故选A .8.(2021安徽江淮名校高一入学考试)设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y =1,则x+y 的最小值为( ) A.8 B.16 C.9 D.6解析因为x ,y 均为正实数且32+x+32+y=1,所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x )+(2+y )]3x+2+3y+2-4=32+y+2x+2+x+2y+2-4≥32+2√y+2x+2·x+2y+2-4=12-4=8,当且仅当y+2x+2=x+2y+2,即x=y=4时,等号成立.因此x+y的最小值为8.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021山东烟台高一期中)已知集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0},B={y|y=x 2},则( ) A.A ∩B=0,12 B.∁U A ⊆∁U BC.A ∪B=BD.∁B A=12,+∞解析∵集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0}=x 0≤x ≤12,B={y|y=x 2}={y|y ≥0},∴A ∩B=0,12,故A 正确;∁U A=x x<0或x>12,∁U B={y|y<0},∴∁U A ⊇∁U B ,故B 错误;A ∪B=[0,+∞)=B ,故C 正确;∁B A=12,+∞,故D 正确.故选ACD .10.(2021云南昆明高一期末)已知函数f (x )=ax 2+2x+1(a ≠0),若方程f (x )=0有两个不等的实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则( )A.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2}B.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x<x 1或x>x 2}C.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 1>0D.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 2>0a>0时,函数图像开口方向向上,所以不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2},故A 正确,B 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,函数又过定点(0,1),则x 1<0,故C 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,则x 2>0,故D 正确.故选AD .11.(2021湖北黄冈、天门高一期末)下列各说法中,p 是q 的充要条件的有( ) A.p :四边形是正方形;q :四边形的对角线互相垂直且平分 B.p :两个三角形相似;q :两个三角形三边对应成比例 C.p :xy>0;q :x>0,y>0D.p :x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根;q :a+b+c=0(a ≠0),则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形,故p 不是q 的充要条件;两个三角形相似与两个三角形三边对应成比例可以互相推导,故p 是q 的充要条件;当xy>0时,可能x<0,y<0,故p 不是q 的充要条件;x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根,将x=1代入方程可得a+b+c=0,当a+b+c=0时,将c=-a-b 代入方程ax 2+bx+c=0得ax 2+bx-a-b=(ax+a+b )(x-1)=0,解得x=1,故p 是q 的充要条件.故选BD . 12.(2021山东威海高一期末)已知函数f (x )={x 2-2x ,x <0,-2x +3,x ≥0,则( )A.f [f (-1)]=-3B.若f (a )=-1,则a=2C.f (x )在R 上是减函数D.若关于x 的方程f (x )=a 有两解,则a ∈(0,3]f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,所以f[f(-1)]=f(3)=-2×3+3=-3,故A正确;当a<0时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1,不符合题意,舍去,当a≥0时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,符合题意,故B正确;作出f(x)的图像,如图所示,所以f(x)在R上不是减函数,故C错误;方程f(x)=a有两解,则y=f(x)图像与y=a图像有两个公共点,如图所示.所以a∈(0,3],故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021河北石家庄一中高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为.A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},∴A∩B={1,2},共有2个元素, 故集合A∩B的子集个数为22=4个.14.(2021山东威海高一期末)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=2,b=3,则该矩形的面积为.x,∵a=2,b=3,∴AB=a+b=5, 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2, 即(2+x )2+(3+x )2=52,即x 2+5x=6,则该矩形的面积为(2+x )(3+x )=x 2+5x+6=12.15.(2021广东深圳高三一模)已知函数的图像关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= .2+14(答案不唯一)f (x )的图像关于y 轴对称,所以设f (x )=ax 2+c.由{y =ax 2+c ,y =x ,得ax 2-x+c=0, 所以Δ=1-4ac=0,即ac=14. 取a=1,c=14,则f (x )=x 2+14(答案不唯一).16.(2021河北邯郸高一期末)已知函数f (x )={|x +1|,x >0,x 2+1,x ≤0,若f (f (m ))=2,则m= .f (m )=t ,则f (t )=2,①当t>0时,|t+1|=2,则t=1,所以f (m )=1; 当m>0时,|m+1|=1,则m=0(舍去), 当m ≤0时,m 2+1=1,则m=0. ②当t ≤0时,t 2+1=2,则t=-1, 所以f (m )=-1;当m>0时,|m+1|=-1,显然此时方程无实数解,当m ≤0时,m 2+1=-1,显然此时方程无实数解.综上所述,m=0.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西名校协作体高一联考)已知二次函数f (x )的最小值为1,函数y=f (x+1)是偶函数,且f (0)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.因为函数y=f (x+1)是偶函数,所以f (x )的图像关于x=1对称.又最小值为1,所以设f (x )=a (x-1)2+1. 又f (0)=3,解得a=2. ∴f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)要使f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1, ∴0<a<12.故实数a 的取值范围为0,12.18.(12分)(2021安徽安庆高一期末)已知正实数x ,y 满足4x+4y=1. (1)求xy 的最大值;(2)若不等式4x +1y ≥a 2+5a 恒成立,求实数a 的取值范围.x+4y=1,所以14=x+y ≥2√xy ,解得xy ≤164,当且仅当x=y=18时,等号成立,∴xy 的最大值为164. (2)4x+1y =4x+1y(4x+4y )=20+16y x+4x y≥20+2√16y x·4x y=36,当且仅当x=16,y=112时,等号成立, ∴a 2+5a ≤36,解得-9≤a ≤4, 即a 的取值范围是[-9,4].19.(12分)(2021江苏苏州新区吴县中学高一月考)已知f (x )={1,x <0,2,x ≥0,g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2. (1)当1≤x<2时,求g (x );(2)当x ∈R 时,求g (x )的解析式,并画出其图像; (3)求函数h (x )=x f (g (x ))-2g (f (x ))的零点.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,故g (x )=6-12=52.(2)由(1)知,当1≤x<2时,g (x )=52. 当x<1时,x-1<0,x-2<0, 故g (x )=3-12=1. 当x ≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g (x )=6-22=2.所以当x ∈R 时,g (x )的解析式为g (x )={1,x <1,52,1≤x <2,2,x ≥2.其函数图像如下:(3)因为g (x )>0,则f (g (x ))=2,x ∈R , 故g (f (x ))={g (1)=52,x <0,g (2)=2,x ≥0,所以方程x f (g (x ))=2g (f (x ))化简后可得x 2=5(x<0)或x 2=4(x ≥0), 解得x=-√5或x=2.20.(12分)(2021福建三明高一期末)某市居民用电收费方式有以下两种,用户可自由选择其中一种. 方式一:阶梯式递增电价,即把居民用户每月用电量划分为三档,电价实行分档递增,具体电价如下表:方式二:阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价,即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费,然后高峰时段(8:00—22:00)每度加价0.03元,低谷时段(22:00至次日8:00)每度降价0.20元,得出用户的总电费.(1)假设某居民用户月均用电量为x 度,按方式一缴费,月均电价为y 元,求y 关于x 的函数解析式; (2)若该用户某月用电a 度(0<a<420),其中高峰时段用电量占该月总用电量的23,按方式二缴费,电费为143元,求该月用电量.由题意可得当0≤x ≤230时,y=0.5x ,当230<x ≤420时,y=230×0.5+0.6(x-230)=0.6x-23,当x>420时,y=230×0.5+0.6×(420-230)+0.8(x-420),即y=0.8x-107,所以y={0.5x ,0≤x ≤230,0.6x -23,230<x ≤420,0.8x -107,x >420.(2)因为该用户某月用电a 度,高峰时段用电量为23a 度,当0≤x ≤230时,用电费用为0.3×13a+0.53×2a3=143,解得a ≈315.4>230,不合题意,舍去.当230<x ≤420时,用电费用为0.3×13+0.53×23×230+0.4×13+0.63×23(a-230)=143,解得a ≈300, 所以该月用电量约为300度.21.(12分)(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,所以a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R , f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2 =1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.22.(12分)(2021安徽滁州高一期末)设命题p :对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立;命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p ,q 有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立,即(x 2-4x+2)min ≥m 2-3m.x 2-4x+2=(x-2)2-2,当x=2时,x 2-4x+2取到最小值-2,即-2≥m 2-3m ,∴1≤m ≤2. 故p 为真命题时,实数m 的取值范围是[1,2].(2)命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立,故只需x 2-x+m-54max ≥0.而x 2-x+m-54=x-122+m-32, 所以当x=0时,x 2-x+m-54取到最大值m-54, 故m-54≥0,解得m ≥54.即命题q 为真命题时,实数m 的取值范围是54,+∞.依题意命题p ,q 一真一假,若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≥54,,得m>2; 若q 为假命题,p 为真命题,则{1≤m ≤2,m <54,得1≤m<54.综上,实数m 的取值范围为1,54∪(2,+∞).。
模块综合测评-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册练习
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)C [∵f (x )有意义，∴⎩⎨⎧log 2x －1＞0，x ＞0.∴x ＞2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．]2．如图所示，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [a －b ＝CA →－CB →＝BA →＝e 1－3e 2.] 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B [∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.] 4．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.故选A.]5．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP→＝3OA →－OB →2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上B [∵2OP→＝3OA →－OB →， ∴2(OP→－OA →)＝OA →－OB →， ∴2AP →＝BA →，∴AP →＝－12AB →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．]6．甲、乙两棉农，统计了连续五年的单位面积产量(kg/亩)如下表：A ．棉农甲，棉农甲B ．棉农甲，棉农乙C ．棉农乙，棉农甲D ．棉农乙，棉农乙B [x －甲＝15×(68＋72＋70＋69＋71)＝70，x －乙＝15×(69＋71＋68＋68＋69)＝69，s 2甲＝15×[(68－70)2＋(72－70)2＋(70－70)2＋(69－70)2＋(71－70)2]＝2，s2乙＝15×[(69－69)2＋(71－69)2＋(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2]＝1.2，则棉农甲的平均产量高，棉农乙的产量较稳定．]7.如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且AP→＝14AB→＋12AC→，则△BPC与△ABC的面积之比等于()A.25 B.35C.34 D.14D[延长AP交BC于点D(图略)，因为A，P，D三点共线，所以CP→＝mCA→＋nCD→(m＋n＝1)，设CD→＝kCB→，代入可得CP→＝mCA→＋nkCB→，即AP→－AC→＝－mAC→＋nk(AB→－AC→)⇒AP→＝(1－m－nk)AC→＋nkAB→，又因为AP→＝14AB→＋12AC→，即nk＝14，1－m－nk＝12，且m＋n＝1，解得m＝14，n＝34，所以CP→＝14CA→＋34CD→，可得AD→＝4PD→.因为△BPC与△ABC有相同的底边，所以面积之比就等于|DP→|与|AD→|之比，所以△BPC与△ABC的面积之比为14，故选D.]8．已知函数f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，定义：使f(1)×f(2)×f(3)×…×f(k)为整数的数k(k∈N*)叫作企盼数，则在区间[1,1 000]内这样的企盼数的个数为() A．7 B．8C．9 D．10B[ 因为函数f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，所以f(1)＝log23，f(2)＝log34，…，f(k)＝log k＋1(k＋2)．所以f(1)×f(2)×…×f(k)＝log23·log34·…·log k＋1(k＋2)＝log2(k＋2)．若f(1)×f(2)×…×f(k)为整数，则k＋2＝2n(n∈Z)，又因为k∈[1,1 000]，故k∈{2,6,14,30,62,126,254,510}．所以在区间[1，1 000]内这样的企盼数共有8个．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．设a0为单位向量，下列命题是假命题的为()A．若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0B．若a与a0平行，则a＝|a|a0C．若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0D．若a为单位向量，则|a|＝|a0|ABC[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，当|a|＝1时，a＝－a0，故B，C也是假命题；D为真命题．]10．下列命题为真命题的是()A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件BD[对A，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错；对B，对立事件首先是互斥事件，故B正确；对C，互斥事件不一定是对立事件，如A中两个事件，故C错；对D，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故D正确．]11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( )A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD.]12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图像与y ＝x ＋m 的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[3，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．(0，2]AB [当x ∈[0,1]时，y ＝x ＋m 的值域为[m ，m ＋1]，且在[0,1]上单调递增．y＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2. 由m ＞0，①当1m ≥1，即0＜m ≤1时，函数y ＝(mx －1)2在[0,1]上单调递减，值域为[(m －1)2,1]．两函数图像有且只有一个交点，如图(1)．图(1) 图(2)②当1m ＜1，即m ＞1时，函数y ＝(mx －1)2在0，1m 上单调递减，在1m ，1上单调递增，值域为[0，max{1，(m －1)2}]，如图(2)．若两函数图像在[0,1]上有且只有一个交点，则⎩⎨⎧(m －1)2≥m ＋1，m ＞1.解得m ≥3. 综上，m 的取值范围是(0,1]∪[3，＋∞)．故选AB.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.－7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100 [成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC→|＝2|BC→|，则x ＋y ＝________. －2或6 [由已知得AC →＝(1－x ，－4)2BC →＝2(3,1－y )，由|AC →|＝2|BC →|可得AC →＝±2BC→， 则当AC →＝2BC →时，有⎩⎨⎧ 1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎨⎧ 1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎨⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6. 综上可知x ＋y ＝－2或6.]16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元．(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)130 (2)15 [(1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元．(2)设促销前总价为a 元，当a ≥120时，李明得到金额(a －x )×80%≥0.7a,0≤x ≤120，即x ≤a 8恒成立．又a 8最小值为1208＝15，所以x 的最大值为15.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)．(1)求2a ＋3b ，a －2b ；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值．[解] (1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，2a ＋3b ＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a －2b ＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a ＋b ＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？[解](1)第4组频率＝0.008×(149.5－124.5)＝0.2.(2)设参加这次测试的人数为x，则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的图像如图①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图像如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在①中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．[解](1)由图像知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝3(负值舍去)，因此a＝3，b＝－3.(2)f(x)单调递减，所以0<a<1，又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1.(3)由(1)得f(x)＝(3)x－3，在同一坐标系中画出函数y＝|f(x)|和y＝m的图像，如图．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20.(本小题满分12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a和b 表示向量OM →.[解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又因为A ，M ，D 三点共线，所以AM →与AD →共线．所以存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .所以(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又因为CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又因为C ，M ，B 三点共线，所以CM →与CB →共线．所以存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)， ∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88， ∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分，∴在B 组学生中随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35.22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解， 等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解． 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或a ＝－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立． 因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
东城高三二模数学理数
北京东城区2020—2020学年度高三第二学期统一练习（二）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共150分.考试时刻120分钟.考试终止，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M N M ⊆-=则满足},1,1{的集合N 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．11,221,)(122=⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤==x x a x x x x f a 在是函数处持续的（ ） A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本 ①采纳随机抽样法：抽签掏出20个样本； ②采纳系统抽样法：将零件编号为00，01……，99，然后平均分组抽取20个样本； ③采纳分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本。
以下说法中正确的选项是 （ ） A ．不管采纳哪一种方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等 B ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此 C ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此 D ．采纳不同的抽样方式，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的4．在23,)1(x x x n与展开式中+的系数别离为a ，b ，若是b ba那么,3=的值为 （ ）A ．70B ．60C ．55D ．405．设数列32}{21=+a a a n 满足，且对任意的)2,1(),(*,1=∈+n n n n P P a n P N n 都有点，那么{n a }的前n 项和为S n 为（ ）A ．)34(-n nB ．)43(-n nC ．)32(-n nD ．)21(-n n6．已知直线l 1α212//,l l l α⊂α到记点A l B l A ,,21∈∈c a b ≤≤a c b ≤≤c b a ≤≤bc a ≤≤,542sin ,532cos==θθθ0724=-y x 0724=+y x 0247=+y x 0247=-y x )0(22>=p py x 222py x =+2py -=4)2(222p p y x =-+0=y )1(),(0,10,12)(112--⎩⎨⎧≥-<-=f x f x x x x x f 则的反函数为10．已知过原点的直线与圆⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （其中θ为参数）相切，假设切点在第二象限，那么该直线的方程为 . 11．将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原先的2倍，所得图象所对应的函数解析式为 ；假设将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于y 轴对称，那么m 的 最小值为 .12．如图，PD ⊥平面在ABCD ，ABCD 为正方形，PD=AD ，那么直线PA 与直线BD 所成的角 为 .13．6个人分乘两辆不同的出租车，若是每辆车最多能乘4个人，那么不同的搭车方案有 种。
北京市东城区高三数学二模试卷理(含解析)
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2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x｜x2﹣4＜0｝,则∁R A=( ）A．{x｜x≤﹣2或x≥2｝B．｛x｜x＜﹣2或x＞2} C．｛x｜﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x≤2}2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣｜x|3．若x,y满足,则x+2y的最大值为( ）A．﹣1 B．0 C．D．24．设，是非零向量，则“,共线"是“｜+|=|｜+||”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知等比数列｛a n｝为递增数列，S n是其前n项和．若a1+a5=，a2a4=4，则S6=（）A．B．C．D．6．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1,x=2，则程序框图计算的是（）A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+17．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y 与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（)A．B． C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，a n，和b1，b2,b3,…,b n，令M=｛m|a m＜b m，m=1,2,…，n｝，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作:A B，现有三种蔬菜A,B，C，下列说法正确的是( ）A．若A B，B C，则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B，B A可同时不成立D．A B，B A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分，共30分．9．复数i（2﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为．10．在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a= ．11．某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1,DC=2，cos∠BCD=，则BD= ；三角形ABD的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则｜OA|= ．14．已知函数①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是．②若关于x的方程f（x+T）=f（x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x（a∈R)．（Ⅰ）若f()=2，求a的值；（Ⅱ）若f(x）在上单调递减,求f(x）的最大值．16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60％为一般,60％以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?（结论不要求证明)17．如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ）求证:FM∥平面BDE;（Ⅱ)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在,说明理由．18．设函数f(x）=（x2+ax﹣a)•e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时,求曲线y=f(x）在点（﹣1，f（﹣1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈，存在s∈使得f（s）≥g（t)成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为2,右焦点为F（1,0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E．证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上．20．对于n维向量A=（a1，a2,…，a n）,若对任意i∈｛1，2，…，n｝均有a i=0或a i=1,则称A 为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d(A，B)=．(Ⅰ）若A=（1，0，1,0,1），B=（0，1,1，1，0)，求d（A，B）的值．（Ⅱ)现有一个5维T向量序列:A1，A2,A3，…，若A1=（1,1,1,1,1）且满足：d（A i，A i+1）=2，i∈N＊．求证：该序列中不存在5维T向量（0,0，0，0,0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2,A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）=m,m∈N＊，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得,A j为12维T向量序列中的项,求出所有的m．2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A=｛x|x2﹣4＜0｝，则∁R A=（）A．{x｜x≤﹣2或x≥2} B．｛x｜x＜﹣2或x＞2｝C．｛x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x≤2｝【考点】1F：补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A,根据补集的定义计算∁R A．【解答】解：集合A=｛x|x2﹣4＜0｝={x|﹣2＜x＜2}，则∁R A=｛x|x≤﹣2或x≥2｝．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣｜x｜【考点】3K:函数奇偶性的判断．【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．【解答】解：对于A非奇非偶函数，不正确；对于B，计算,正确，对于C，非奇非偶函数,不正确;对于D，偶函数，不正确，故选：B．3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（)A．﹣1 B．0 C．D．2【考点】7C:简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移,判断最优解，然后求解z取得的最大值．【解答】解:作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部,由，解得A（﹣，），设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z最大值=F(，）=．故选:C．4．设，是非零向量，则“，共线”是“|+|=｜|+||”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“|+|=｜|+｜｜"⇒“，共线”,反之不成立，例如．【解答】解：“｜+｜=｜|+｜｜”⇒“，共线”,反之不成立，例如．∴,是非零向量，则“，共线”是“|+｜=｜｜+｜|”的必要不充分条件．故选：B．5．已知等比数列{a n｝为递增数列，S n是其前n项和．若a1+a5=,a2a4=4,则S6=（）A．B．C．D．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设递增的等比数列｛a n｝的公比为q,∵a1+a5=，a2a4=4=a1a5，解得a1=，a5=8．解得q=2，则S6==．故选：D．6．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是( ）A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+1【考点】EF:程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值,当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环,输出v的值为63，即可得解．【解答】解:模拟程序的运行，可得n=5，v=1，x=2,i=4满足条件i≥0，执行循环体，v=3,i=3满足条件i≥0，执行循环体,v=7,i=2满足条件i≥0,执行循环体,v=15,i=1满足条件i≥0，执行循环体,v=31，i=0满足条件i≥0,执行循环体，v=63，i=﹣1不满足条件i≥0,退出循环，输出v的值为63．由于25+24+23+22+2+1=63．故选:A．7．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A．B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给A，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解：由题意可知：对于A、B，当P位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A、B，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除D，故选C．8．据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a1,a2，a3，…，a n,和b1，b2，b3，…，b n，令M={m｜a m＜b m,m=1，2，…，n｝,若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作：A B，现有三种蔬菜A，B,C，下列说法正确的是（）A．若A B，B C，则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B,B A可同时不成立D．A B,B A可同时成立【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】令a i=b i，i=1,2，…n，即可判断C正确．【解答】解:若a i=b i,i=1,2,…n,则A B，B A同时不成立，故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i(2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为(1，2) ．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解:复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1,2)．故答案为：（1,2)．10．在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a= 1 ．【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=0化为直角坐标方程：x+y+1=0．圆ρ=2acosθ（a＞0)即ρ2=2ρacosθ（a＞0），可得直角坐标方程：x2+y2=2ax，配方为：（x ﹣a）2+y2=a2．可得圆心(a，0），半径a．∵直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，∴=a，a＞0，解得a=1．故答案为：1．11．某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有14 种．(用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、选择1门B类课程，需要选择A类课程3门，②、选择2门B类课程，需要选择A类课程2门，由分步计数原理计算每种情况的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、选择1门B类课程，需要选择A类课程3门，则B类课程有C21=2种选法，A类课程有C43=4种选法，此时有2×4=8种选择方法;②、选择2门B类课程，需要选择A类课程2门，则B类课程有C22=1种选法，A类课程有C42=6种选法，此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法；故答案为：14．12．如图,在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=,则BD= 2 ；三角形ABD的面积为﹣1 ．【考点】HT:三角形中的几何计算．【分析】△CBD中，由余弦定理，可得，BD,△ABD中，利用正弦定理，可得AD，利用三角形的面积公式，可得结论．【解答】解：△CBD中，由余弦定理，可得，BD==2，△ABD中，利用正弦定理，可得AD==2﹣2，∴三角形ABD的面积为（2﹣2）×=﹣1，故答案为2，﹣1．13．在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点,其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知求得直线l的方程，代入抛物线方程，点A在x轴上方，即可求得A点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨OA丨．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0)∵直线l过F,倾斜角为60°,即斜率k=tanα=，∴直线l的方程为：y=（x﹣1），即x=y+1，，解得：，,由点A在x轴上方，则A（3，2），则｜OA｜==,则丨OA丨=,故答案为：．14．已知函数①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是(﹣4，﹣2）∪（2，4）．【考点】54:根的存在性及根的个数判断．【分析】①作出f（x）的图象，根据图象判断；②将f（x）的图象平移，只需与原图象有3个交点即可．【解答】解：①f（x）=，作出f（x)的函数图象如图所示:由图象可知当a＞1时,f（x）=a只有1解．②∵关于x的方程f（x+T)=f（x)有且仅有3个不同的实根，∴将f（x）的图象向左或向右平移|T｜个单位后与原图象有3个交点，∴2＜｜T|＜4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为：①（1，+∞），②（﹣4，﹣2）∪（2，4）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x(a∈R）．（Ⅰ）若f（)=2,求a的值；（Ⅱ）若f（x)在上单调递减，求f（x)的最大值．【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=2，即可求a的值；（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式,结合三角函数的图象和性质,f（x)在上单调递减，可得最大值．【解答】解:（Ⅰ）因为，∵．故得:a=1．(Ⅱ)由题意:f（x)=，其中tan，∴函数的周期T=π，且,所以当x=时，函数f（x）取得最大值，即f(x）max=f(）═=,∴sin(）=1，∴，k∈Z．∴tanθ==,∴a=3．故得．因此f（x）的最大值为．16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度"（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40％以下为舒适,40%﹣60％为一般，60%以上为拥挤)情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?（结论不要求证明）【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，2,…，9)．根据题意，，且事件A i与A j互斥．(Ⅰ)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤"，则B=A4∪A7．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．（Ⅱ)由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2,结合图象，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ)从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．【解答】解：设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，2，…,9)．根据题意,，且事件A i与A j互斥．…（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则B=A4∪A7．…所以．…（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，…，…，…．…所以X的分布列为X012P…故X的期望．…（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…17．如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF,EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ)求证：FM∥平面BDE;（Ⅱ)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE?若存在,求的值；若不存在，说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定;MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）取CD 中点N，连结MN、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN∥ED．进而FN∥平面BDE,由此能证明平面MFN∥平面BDE,从而FM∥平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点，且，λ∈．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG⊥DE，此时．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）取CD 中点N,连结MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF,所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，所以FN∥平面BDE,…又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．…又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．…解:（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．…由题意得，A(2，0,0)，,，D（﹣2，0，0)，，．…,，．设平面BDE的法向量为=（x，y，z)，则，即，令z=1，则y=1，．所以．…设直线CF与平面BDE成角为α，，所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为．…(Ⅲ)设G是CF上一点，且，λ∈．…因此点．…．由，解得．所以在棱CF上存在点G使得BG⊥DE，此时．…18．设函数f(x）=(x2+ax﹣a）•e﹣x(a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点(﹣1,f（﹣1）)处的切线方程;（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈,存在s∈使得f（s)≥g(t）成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当a=0时，f′（x）=（﹣x2+2x)e﹣x，由此能求出曲线y=f（x）在点（﹣1，f （﹣1））处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈，存在s∈使得f（s）≥g（t）成立"，等价于“在区间上,f（x)的最大值大于或等于g（x）的最大值”．求出g（x)在上的最大值为g（2)=1．f'（x）=e﹣x（x﹣2)（x+a），令f′（x)=0，得x=2，或x=﹣a．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的值范围．【解答】（共13分）解:（Ⅰ）当a=0时，∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=（﹣x2+2x）e﹣x,…，∴f′（﹣1）﹣3e．…又∵f（﹣1）=e，…∴曲线y=f（x）在点(﹣1，f（﹣1））处的切线方程为:y﹣e=﹣3e（x+1),即3ex+y+2e=0．…(Ⅱ）“对任意的t∈，存在s∈使得f（s)≥g（t)成立”，等价于“在区间上，f（x）的最大值大于或等于g（x）的最大值"．…∵，∴g（x）在上的最大值为g（2）=1．f’（x）=（2x+a）•e﹣x﹣（x2+ax﹣a)•e﹣x=﹣e x=e﹣x（x﹣2）（x+a），令f′（x)=0，得x=2，或x=﹣a．…①当﹣a＜0，即a＞0时，f′(x)＞0在上恒成立，f(x）在上为单调递增函数,f（x）的最大值为f（2）=（4+a）•，由（4+a）•≥1，得a≤e2﹣4．…②当0＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，当x∈（0,﹣a）时，f′（x）＜0，f(x）为单调递减函数,当x∈(﹣a，¬2)时，f'（x)＞0，f（x）为单调递增函数．∴f（x)的最大值为f(0）=﹣a或f（2）=(4+a）,由﹣a≥1，得a≤﹣1；由（4+a)≥1，得a≤e2﹣4．又∵﹣2＜a＜0，∴﹣2＜a=1．…③当﹣a＞2,即a＜﹣2时，f′（x）＜0在上恒成立，f（x）在上为单调递减函数,f（x）的最大值为f（0）=﹣a，由﹣a≥1，得a≤﹣1，又因为a＜﹣2，所以a＜﹣2．综上所述，实数a的值范围是｛x｜a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点为F（1，0)，点M是椭圆C 上异于左、右顶点A，B的一点．（Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E．证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=，c=1，a2=b2+c2=4，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）由“点B关于直线EF的对称点在直线MF上"等价于“EF平分∠MFB"设直线AM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，分类讨论,当MF⊥x轴时，求得k的值,即可求得N 和E点坐标，求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，则EF平分∠MFB，当k≠时，即可求得直线MF的斜率及方程，利用点到直线的距离公式，求得=|BE|,则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解：（Ⅰ)由题意得2b=2，则b=，c=1，则a2=b2+c2=4，则a=2，∴椭圆C的方程为;（Ⅱ）证明：“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”．设直线AM的方程为y=k（x+2)(k≠0），则N（2，4k)，E（2,2k）．…设点M（x0,y0），由，整理得（4k2+3)x2+16k2x+16k2﹣12=0，由韦达定理可知﹣2x0=,则x0=,y0=k（x0+2）=，①当MF⊥x轴时，x0=1,此时k=±．则M(1，±），N（2，±2）,E（2，±1）．此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，即EF平分∠MFB．…②当k≠时,直线MF的斜率为k MF==，所以直线MF的方程为4kx+（4k2﹣1)y﹣4k=0．…所以点E到直线MF的距离===|2k｜=｜BE|．即点B关于直线EF的对称点在直线MF上，综上可知:点B关于直线EF的对称点在直线MF上．…20．对于n维向量A=（a1，a2，…,a n）,若对任意i∈{1，2,…,n}均有a i=0或a i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d(A，B)=．(Ⅰ）若A=（1,0，1，0，1）,B=（0，1,1，1，0）,求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列:A1,A2，A3,…，若A1=（1，1，1,1，1）且满足：d(A i，A i+1）=2，i∈N＊．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0,0)．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2,A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】(Ⅰ）由于A=（1，0,1，0，1）,B=(0,1，1，1，0)，由定义,求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ)根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A=（1，0,1，0，1)，B=(0，1，1,1，0），由定义，可得d（A，B）=4．…（Ⅱ)反证法:若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1=（1,1，1，1，1），A m=(0，0，0，0,0）．因为向量A1=（1，1，1,1，1)的每一个分量变为0,都需要奇数次变化,不妨设A1的第i（i=1,2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）=2(n1+n2+n3+n4+n5﹣2)﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2(m﹣1）次，此数为偶数,所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量(0，0，0，0，0)．…(Ⅲ)存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项,此时m=1,2，3,4，5,6，7，8，9，10，11,12．…尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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A 1B 1C 1ABEC北京市东城区高中数学必修课程模块二考试题B 卷参考公式： 球的表面积公式S球24R π=，其中R 是球半径．锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积V台体1()3h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．球的体积公式V球343R π=，其中R 是球半径． 一、选择题：本大题共12小题。
每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线0x a +=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ ） A .30B . 60C . 120D . 1502. 若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 异面C ． 平行D ．异面或相交 3. 已知点(1,2,11)A -，(4,2,3)B ，(6,1,4)C -，则△ABC 的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 4．直线y x =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交但直线不过圆心 B . 相切 C .相离 D .相交且直线过圆心 5．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥ 底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1ABE 6．与圆0352:22=--+x y x C 同圆心，且面积为圆C 面积的一半的圆的方程为（ ）A . 18)1(22=+-y xB . 9)1(22=+-y xC . 6)1(22=+-y xD . 3)1(22=+-y xA BCDA1B1C1D17．已知球心到过球面上A，B，C三点的截面的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA===，则球面面积是（）A．169πB．83πC．4πD．649π8．已知点)1,0(-M，点N在直线01=+-yx上，若直线MN垂直于直线032=-+yx，则点N的坐标是（）A．)1,2(--B．)3,2(C．)1,2(D．)1,2(-9．如图，在正方体1111ABCD A BC D-中，异面直线1A D与1D C所成的角为（）A．30 B．45C．60 D．9010．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A．6块B．7块C．8块D．9块正视图侧视图俯视图11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C--，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误．．的结论是（）A．①B．②C．③D．④12．圆心为1,32C⎛⎫-⎪⎝⎭的圆与直线:230l x y+-=交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足0OP OQ⋅=，则圆C的方程为（）A．2215()(3)22x y-+-=B．2215()(3)22x y-++=C．22125()(3)24x y++-=D．22125()(3)24x y+++=二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.13．过点（1，2）且与直线210x y+-=平行的直线方程是____________ .14.圆22210x y ax y+-++=关于直线1x y-=对称的圆的方程是2210x y+-=，则实数a的值是．15．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三角形三边的距离之和为AC定值.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．16．将边长为1的正方体木块1111ABCD A BC D -沿平面11BB D D 锯开后得到两个三棱柱，那么由这两个三棱柱组成的简单几何体有______________种，它们的表面积分别是_______________．（写出所有可能的情况，原正方体除外）三、解答题：本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=.（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .18. (本小题满分12分)如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC .19. (本小题满分12分)已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=.（Ⅰ）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9C 10．B 11．C 12．C 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．250x y +-= 14．2 15．到四面体的四个面的距离之和为定值16．三，5+4+或4+注：两个空的填空题每个空2分三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩由于点P 的坐标是（2-，2）.则所求直线l 与直线210x y --=垂直， 可设直线l 的方程为 20x y C ++=.把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =.所求直线l 的方程为 220x y ++=.…………………………………………8分（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=. ………………12分 18. (本小题满分12分)证明：（Ⅰ）∵EF 是SAC ∆的中位线，∴EF ∥AC .又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .……………………………………6分 （Ⅱ）∵SA SC =,AD DC =，∴SD ⊥AC .∵BA BC =,AD DC =， ∴BD ⊥AC .又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D = ， ∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面SBD ⊥平面ABC .…………………………………………………12分 19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设直线l 的斜率为k （k 存在）则方程为0(2)y k x -=-.又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，由1=， 解得34k =-.所以直线方程为3(2)4y x =--， 即 3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.………………4分（Ⅱ）由于CP =d ==所以d=CP =所以P 为MN 的中点.故以MN 为直径的圆Q 的方程为22(2)4x y -+=.……………………………8分 （Ⅲ）把直线10ax y --=即1y ax =+．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=．由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点， 故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <． 则实数a 的取值范围是(,0)-∞． 设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PCk a k ==-， 所以12a =． 由于1(, 0)2∉-∞， 故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ．……………12分。