精编版-2000年江西高考文科数学真题及答案

2000年江西高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）设集合{|A x x Z =∈且101}x --，{|B x x Z =∈，且||5}x ，则A B 中的元素个数是( ) A ．11B ．10C ．16D ．152．（4分）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( ) ①()()0a b c c a b -=； ②||||||a b a b -<-；③()()b c a a c b -不与c 垂直； ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-． 其中的真命题是( ) A ．②④B ．③④C ．②③D ．①②3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( ) A ．23B ．32C ．6D ．64．（4分）已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ>C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 5．（4分）函数cos y x x =-的部分图象是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分15%⋯⋯某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元7．（4分）若1a b >>，P lga lgb ，1()2Q lga lgb =+，2a b R lg +=，则( )A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<8．（4分）已知两条直线1:l y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．3(3) C ．3(，1)(1⋃3) D ．(13) 9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 10．（4分）过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( ) A ．3y x =B ．3y x =-C ．3y x =D ．3y = 11．（4分）过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a12．（4分）二项式503(23)x +的展开式中系数为有理数的项共有( ) A ．6项B ．7项C ．8项D ．9项二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ．14．（5分）椭圆22194x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是 ．15．（5分）设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则它的通项公式是n a = ．16．（5分）如图，E 、F 分别是正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题（共7小题，满分82分）17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点．（1）求BN 的长； （2）求11cos()BA CB 的值； （3）求证11A B C M ⊥．19．（12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，（1）证明：1C C BD ⊥； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．20．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ．21．（12分）设函数2()1f x x ax =+，其中0a >， （1）解不等式()1f x ；（2）证明：当1a 时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调函数．22．（12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．23．（12分）如图，已知梯形ABCD中||2||AB CD，点E分有向线段AC所成的比为811，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．2000年天津市高考数学试卷（文）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）设集合{|A x x Z =∈且101}x --，{|B x x Z =∈，且||5}x ，则A B 中的元素个数是( ) A ．11B ．10C ．16D ．15【解答】解：由集合A 中的条件可得A 中的元素有：10-，9-，8-，⋯，1-共10个； 集合B 中的不等式||5x 解得55x -且x Z ∈，所以B 中的元素有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5共11个所以AB 中的元素有：10-，9-，8-，⋯，1-，0，1，2，3，4，5共16个故选：C ．2．（4分）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( ) ①()()0a b c c a b -=； ②||||||a b a b -<-；③()()b c a a c b -不与c 垂直； ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-． 其中的真命题是( ) A ．②④B ．③④C ．②③D ．①②【解答】解：由于,b c 是不共线的向量，因此()a b c 不一定等于()c a b ，故①错误； 由于,a b 不共线，故,,()a b a b -构成三角形，因此②正确；由于[()()]()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c -=-=，故③中两向量垂直，故③错误； 根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选A ．3．（4的长是( )A ．B ．C ．6D【解答】解：设长方体三度为x ，y ，z ， 则2,3,6yz zx xy ===．三式相乘得2222226,6,3,2,1,3216x y z xyz x y z x y z =====++=++=． 故选：D ．4．（4分）已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ>C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 【解答】解：若α、β同属于第一象限，则02πβα<，cos cos αβ<；故A 错．第二象限，则2παβπ<，tan tan αβ<；故B 错．第三象限，则32ππαβ<，cos cos αβ<；故C 错． 第四象限，则322πβαπ<，tan tan αβ>．（均假定0α，2βπ．)故D 正确．故选：D ．5．（4分）函数cos y x x =-的部分图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设()y f x =，则()cos ()f x x x f x -==-，()f x 为奇函数； 又02x π<<时()0f x <，此时图象应在x 轴的下方故选：D ．6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元【解答】解：设收入为S 元，税款为M 元，则 当800S 时，0M =；当[800S ∈，1300]时，5005%25M =； 当(1300S ∈，2800]时，25150010%175M +=． 题设26.78M =，故1300(26.7825)10%1317.8S =+-÷=． 故选：C ．7．（4分）若1a b >>，P lga lgb ，1()2Q lga lgb =+，2a b R lg +=，则( )A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<,(),22a b a blg Q R ++<． ,2lga lgblga lgb P Q +<<． 故选：B ．8．（4分）已知两条直线1:l y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．C ．，1)(1⋃D ．(1 【解答】解：直线1:l y x =的倾斜角为4π，令直线2:0l ax y -=的倾斜角为θ，则有tan a θ=∴过原点的直线1:l y x =，2:0l ax y -=的夹角在(0,)12π内变动时，可得直线2l 的倾斜角的范围是(6π，)(44ππ⋃，)3π． 2l ∴的斜率的取值范围是3(3，1)(1⋃，3)，即3(3a ∈，1)(1⋃，3)， 故选：C ．9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【解答】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2r π， 全面积：侧面积222[(2)2]:(2)r r r πππ=+ 212ππ+=． 故选：A ．10．（4分）过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( ) A ．3y x =B ．3y x =-C ．33y x =D ．33y x =-【解答】解：如图，圆方程为222(2)1x y ++=， 圆心为(2,0)A -，半径为1， 13sin ,,263tg πθθθ===． 故选：C ．11．（4分）过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+等于( ) A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a【解答】解：如图：设PQ 直线方程是14y kx a-=， 则1x ，2x 是方程214ax kx a=+的两根， 2222111111()()4p x y x kx x r a=+-=+=-， 其中21r k =+．同理2q x r =．从而22212122112212121221()4()4()114414k x x x x x x r x x p q a a a p q pq x x r x x r x x r r a ++---++======-． 故选：C ．12．（4分）二项式503(23)x 的展开式中系数为有理数的项共有( ) A ．6项B ．7项C ．8项D ．9项【解答】解：503(23)x 展开式的通项253215023r rr r r T C x -+= 项的系数为25325023r r r C -要使系数为有理数，需r 是6的倍数所以0r =，6，12，18，24，30，36，42，48， 故展开式中系数为有理数的项共有9项 故选：D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是120． 【解答】解：含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体， 其中每个个体被抽到的概率相等， ∴总体中每个个体被抽到的概率是25150020=， 故答案为：120．14．（5分）椭圆22194x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是 为：3535(,)55- ． 【解答】解：如图，设(,)p x y ，则12(5,0),(5,0)F F -， 且12F PF ∠是钝角22222221212(5)(5)20PF PF F F x y x y ⇔+<⇔+++-+<22510x y ⇔++<224(1)59x x ⇔+-<293535555x x ⇔<⇔-<<．故答案为：3535(,)55-．15．（5分）设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则它的通项公式是n a =1n． 【解答】解：2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=∴1114(1)1n n n n n na a n +-±++==+（另解n a -不合题意舍去），∴321211n n a a a a a a n-⋯=，即111,,1,2n n a a n a n n ===，故答案为：1n． 16．（5分）如图，E 、F 分别是正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是 ②③ ．（要求：把可能的图的序号都填上）【解答】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面11ABB A 、面11ADD A 上的射影．四边形1BFD E 在面ABCD 和面11ABB A 上的射影相同，如图②所示；四边形1BFD E 在该正方体对角面的11ABC D 内，它在面11ADD A 上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确 故答案为 ②③三、解答题（共7小题，满分82分）17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有1164C C 个；试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为11109C C 个， ∴甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为116411109415C C C C =， ∴所求概率为415． （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为114311109C CC C ，∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为11431110913115C C C C -=， ∴所求概率为1315． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点． （1）求BN 的长； （2）求11cos()BA CB 的值； （3）求证11A B C M ⊥．【解答】解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -． （1）依题意得(0B ，1，0)，(1N ，0，1)， ∴222||(10)(01)(10)3BN =-+-+-2分）（2）依题意得1(1A ，0，2)，(0B ，1，0)，(0C ，0，0)，1(0B ，1，2)．∴1(1,1,2)BA =-，1(0,1,2)CB =，113BA CB =，1||6BA =，1||5CB =（5分）1111111cos 3010||||BA CB BA CB BA CB ∴<>==（9分） （3）证明：依题意得1(0C ，0，2)，111(,,2)(122M A B =-，1，2)-，111(,,0)22C M =，∴11110022A B C M =-++=，∴11A B C M ⊥（12分）19．（12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，（1）证明：1C C BD ⊥； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．【解答】（1）证明：如图，连接11AC 、AC 和BD 交于O ，连接1C O ．四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BC CD =．又11BCC DCC ∠=∠，11C C C C =， ∴△1C BC ≅△1C DC ， 11C B C D ∴=，DO OB =1C O BD ∴⊥，（3分） 又AC BD ⊥，1ACC O O =，BD ∴⊥平面1AC ，又1C C ⊂平面1AC ， 1C C BD ∴⊥．（6分） （2）当11CDCC =时，能使1AC ⊥平面1C BD ．11CDCC =， 1BC CD C C ∴==，又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠， 由此可推得11BD C B C D ==．∴三棱锥1C C BD -是正三棱锥．（9分） 设1A C 与1C O 相交于G ． 11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，1:2:1C G GO ∴=．又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线， ∴点G 是正三角形1C BD 的中心，CG ∴⊥平面1C BD ，即1AC ⊥平面1C BD ．（12分） 20．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 11(1)2n S na n n d =+-．77S =，1575S =，∴1172171510575.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 即11317 5.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =-，1d =． ∴111(1)2(1)22n S a n d n n =+-=-+-，1112n n S S n n +-=+， ∴数列{}n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为12， ∴21944n T n n =-．21．（12分）设函数()f x ax =，其中0a >， （1）解不等式()1f x ；（2）证明：当1a 时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调函数． 【解答】（1）解：不等式()1f x 11ax +， 由此得11ax +，即0ax ，其中常数0a >．所以，原不等式等价于221(1)0.x ax x ⎧++⎨⎩即20(1)20x a x a ⎧⎨-+⎩（3分）所以，当01a <<时，所给不等式的解集为22{|0}1ax x a -； 当1a 时，所给不等式的解集为{|0}x x ．（6分） （2）证明：在区间[0，)+∞上任取1x ，2x使得121212()()()x x f x f x a x x <--2212()a x x =-()()129x x a ⎛⎫⎪=--⋅⎪⎭分1,1a <且，∴0a <，又120x x -<， 12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >．所以，当1a 时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调递减函数．（12分）22．（12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 【解答】解：设容器底面短边长为xm ，则另一边长为(0.5)x m +， 高为14.844(0.5)3.224x x x --+=-由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<，设容器的容积为3ym ，则有(0.5)(3.22)(0 1.6)y x x x x =+-<< 整理，得322 2.2 1.6y x x x =-++，（4分）26 4.4 1.6y x x '∴=-++（6分）令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=， 解得11x =，2415x =-（不合题意，舍去）．（8分） 从而，在定义域(0,1.6)内只有在1x =处使0y '=．由题意，若x 过小（接近0)或过大（接近1.6)时，y 值很小（接近0)，因此，当1x =时y 取得最大值，2 2.2 1.6 1.8y =-++=最大值，这时，高为3.221 1.2-⨯=． 答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为31.8m ．（12分）23．（12分）如图，已知梯形ABCD 中||2||AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为811，双曲线过C 、D 、E三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．【解答】解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．（2分）依题意，记(,0)A c -，(2cC ，)h ，(,0)B c ，其中c 为双曲线的半焦距，1||2c AB =，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为87112819111E c c x c -+⨯==-+，80811819111Ehy h +⨯==+．（5分）设双曲线的方程为22221x y a b-=，则离心率ce a =．由点C 、E 在双曲线上， 得222222221144964 1.361361c h a b c h a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩（10分）解得2222114h c b a =-，化简可得229c a=，所以，离心率3e =（14分） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/27 23:02:56；用户：152********；邮箱：152********；学号：10888156。