线性代数课后习题答案

线性代数课后习题答案

线性代数是数学领域中重要的一门基础课程，其中必不可少的内容之一就是习题。以下是线性代数中的一些习题及其答案。

1. 矩阵加法

设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，

$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$A+B$。

解：

$$A+B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatri x}6&8\\10&12\end{bmatrix}$$

2. 矩阵乘法

设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，

$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，求$AB$。

解：

$$AB=\begin{bmatrix}1*5+2*7&1*6+2*8\\3*5+4*7&3*6+4*8\end{bmatri x}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$$

3. 矩阵转置

设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$，求$A^T$。

解：$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$$

4. 矩阵求逆

设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。

解：

$$\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\3&4&|&0&1\end{bmatrix}\xrightarrow[r_

2-3r_1]{r_2\div 3}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&-2&|&-

3&1\end{bmatrix}$$$$\xrightarrow{r_2\div (-

2)}\begin{bmatrix}1&2&|&1&0\\0&1&|&\frac{3}{2}&-

\frac{1}{2}\end{bmatrix}\xrightarrow[r_1-2r_2]{r_1-

2r_2}\begin{bmatrix}1&0&|&-2&1\\0&1&|&\frac{3}{2}&-

\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

所以$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\ \frac{3}{2}&-

\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。

5. 行列式的计算

设$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$|A|$。

解：

$$\begin{aligned}|A|&=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vma trix}\\&\xrightarrow[r_3-7r_1]{r_2-4r_1}\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-

6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\\&=-3\begin{vmatrix}-3&-6\\-6&-

12\end{vmatrix}\\&=0\end{aligned}$$

由于$|A|=0$，所以该矩阵不可逆。

以上就是线性代数中部分习题的答案。希望这些答案能够帮助大家更好地理解和掌握线性代数的知识点。