二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题

【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.

【拓展练习】

如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232y x bx c =

++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .

(1)求此二次函数解析式；

(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333

y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.

练习一

【例题精讲】

若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．

【拓展练习】

题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点．

(1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．

①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．

练习二

金题精讲

题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．

【拓展练习】

题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．

讲义参考答案

【例题精讲】 答案：37--或0或2或4 【拓展练习】

答案：(1) 2333322

y x x =

--;(2) (2，3);(3)8

练习一答案 【例题精讲】

答案：a = 2或4+2．

详解：∵y = 4x 24ax +a 2+1(0≤x ≤2)

∴y = 4(x −2a )2+1 (1)当0≤

2a ≤2，即0≤a ≤4时，最小值为1，不符合题意，舍去； (2)当2

a ＜0即a ＜0时，令f (0)=3得：a 2+1=3，解得：a = ±2，故a = 2； (3)当2

a ＞2即a ＞4时，令f (2)=3，即a 28a +14=0，解得；a = 4±2，故a = 4+2； 综上有a = 2或4+2．

【拓展练习】

答案：(1) k ≤2；(2)①k 值为1；②y 的最大值为32

，最小值为 3. 详解：(1)当k =1时，函数为一次函数y = 2x +3，其图象与x 轴有一个交点. 当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y =0得(k 1)x 22kx +k +2=0．

△=(2k )24(k 1)(k +2)≥0，解得k ≤2．即k ≤2且k ≠1.

综上所述，k 的取值范围是k ≤2.

(2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ≠1.

由题意得(k 1)x 12+(k +2)=2kx 1(*)，

将(*)代入(k 1)x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2中得：2k (x 1+x 2)=4x 1x 2.

又∵x1+x2=2k

k1

-，x1x2=k+2

k1

-

，∴2k•2k

k1

-

=4•k+2

k1

-

，

解得：k1= 1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为 1.

②如图，∵k1= 1，y= 2x2+2x+1= 2(x1

2)2+3

2

，且1≤x≤1，

由图象知：当x= 1时，y最小= 3；当x=1

2时，y最大=3

2

.

∴y的最大值为3

2

，最小值为 3.

练习二答案

课后练习详解【例题精讲】

答案：2或5．

详解：配方y=(x+a)21，

函数的对称轴为直线x= a，

顶点坐标为(a，1)．

①当0≤a≤3即3≤a≤0时，

函数最小值为1，不合题意；

②当a＜0即a＞0时，

∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；

③当a＞3即a＜3时，

∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，

解得a= 5．

∴实数a的值为2或5．

【拓展练习】

答案：有最大值，为8.

详解：∵当开口向下时函数y=(k1)x2 4x+5k取最大值

∴k1＜0，解得k＜1.

∴当k= 1时函数y=(k1)x2 4x+5k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值.∴当k= 1时，函数y= 2x24x+6= 2(x+1)2+8.

∴最大值为8.

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