量子力学概论
量子力学概论习题答案胡行
量子力学概论习题答案胡行量子力学概论习题答案解析量子力学是一门极具挑战性的物理学科，其理论和应用涉及到许多复杂的概念和现象。
在学习量子力学的过程中，习题是一个重要的学习工具，通过解答习题可以帮助我们更好地理解和掌握这门学科的知识。
在这篇文章中，我们将对一些量子力学概论习题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这些问题的解决方法和相关概念。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相反，求粒子在磁场中的能量。
答案：根据量子力学的基本原理，粒子在外加磁场中的能量可以用哈密顿算符来描述。
对于自旋为1/2的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，粒子在磁场中的能量与磁场的大小和方向有关，当磁场方向与粒子自旋方向相反时，粒子在磁场中的能量为-E = μBσ·B。
2. 问题：一个自旋为1的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相同，求粒子在磁场中的能量。
答案：对于自旋为1的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB 为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，当磁场方向与粒子自旋方向相同时，粒子在磁场中的能量为E = μBσ·B。
通过以上两个问题的解析，我们可以看到量子力学在描述粒子在外加磁场中的行为时，需要考虑到粒子的自旋和磁场的相互作用，这些概念和原理都是量子力学的基本内容。
通过解析这些习题，我们可以更好地理解量子力学的基本原理和应用，为进一步学习和研究量子力学打下坚实的基础。
量子力学基本概念总结
量子力学基本概念总结量子力学是一门描述微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种理论框架，用于解释和预测原子、分子和基本粒子的现象。
以下是一些量子力学的基本概念的总结。
1. 波粒二象性（Wave-particle duality）量子力学中的一个重要概念是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出粒子特性也可以表现出波动特性。
例如，电子可以像波一样传播，但也可以被当作是粒子来计算。
2. 不确定性原理（Heisenberg's Uncertainty Principle）不确定性原理是由波粒二象性导致的。
它表明在粒子的位置和动量之间存在一种固有的不确定性。
换句话说，我们无法同时准确知道一个粒子的位置和动量，只能知道它们之间的不确定性。
3. 玻尔模型（Bohr model）玻尔模型是描述原子结构的经典模型之一。
它基于量子力学中能级的概念，认为电子围绕着原子核在不同的能级轨道上运动。
这个模型解释了原子光谱、电离能和跃迁等现象。
4. 波函数（Wave function）波函数是量子力学中用来描述粒子状态的数学函数。
它包含了所有关于粒子位置、动量和能量等信息。
根据波函数，我们可以计算出粒子的一些物理性质。
5. 测量与观测（Measurement and Observation）量子力学强调测量和观测对系统产生影响。
在测量时，波函数将塌缩到某个确定的状态，并给出对应的测量结果。
这种波函数塌缩导致了一系列奇特的现象，如量子纠缠和量子隐形。
6. 量子纠缠（Quantum Entanglement）量子纠缠是量子力学中的一个非常奇特的现象。
当两个或更多粒子处于纠缠状态时，它们的态无法独立地描述，而必须考虑整个系统的态。
当一个粒子的状态发生改变时，纠缠粒子的状态也会瞬间发生变化，即使它们之间的距离很远。
7. 施特恩-盖拉赫实验（Stern-Gerlach Experiment）施特恩-盖拉赫实验是证明电子具有自旋的经典实验之一。
量子力学概论第6章 不含时微扰理论
6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢 原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章 不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式 一级近似理论 二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来 更清楚地按数量级分出各方程——所以现在 把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：
外国教材量子力学概论2ndedition课后练习题含答案
Introduction to Quantum MechanicsOverviewQuantum Mechanics is a branch of Physics that describes the behavior of matter and energy at a microscopic level. This discipline has had a significant impact on modern science and technology, and its principles have been applied to the development of various fields, such as computing, cryptography and medicine. The study of Quantum Mechanics requires a basic understanding of the principles of Mathematics and Physics. The m of this document is to provide an introduction to Quantum Mechanics and to provide a set of practice exercises with answers that will allow students to test their knowledge and understanding of the subject.Fundamental PrinciplesThe fundamental principles of Quantum Mechanics are based on the concept of a wave-particle duality, which means that particles can behave as both waves and particles simultaneously. The behavior of particles at the microscopic level is probabilistic, and it is described by a wave function. A wave function is a complex function that describes the probability of finding a particle at a givenlocation. The square of the amplitude of the wave function gives the probability density of finding the particle at that point in space. The wave function can be used to calculate various physical quantities, such as the position, momentum and energy of a particle.Operators and ObservablesIn Quantum Mechanics, physical quantities are represented by operators. An operator is a mathematical function that acts on a wave function and generates a new wave function as a result. Operators are used to represent physical observables, such as the position, momentum and energy of a particle. The eigenvalues of an operator correspond to the possible results of a measurement of the corresponding observable. The eigenvectors of an operator correspond to the possible states of a particle. The state of a particle is described by a linear combination of its eigenvectors, which is called a superposition.Schrödinger EquationThe Schrödinger Equation is a mathematical equation that describes the time evolution of a wave function. It is based on the principle of conservation of energy, and it representsthe motion of a quantum system in terms of its wave function. The equation is given by:$$\\hat{H}\\Psi=E\\Psi$$where $\\hat{H}$ is the Hamiltonian operator, $\\Psi$ is the wave function, and E is the energy of the system. The Schrödinger Equation is the foundation of Quantum Mechanics, and it is used to calculate various physical properties of a particle, such as its energy and momentum.Practice Exercises1.Calculate the wave function for a particle that isin a 1D box of length L.–Answer: The wave function for a particle in a 1D box is given by:$$\\Psi(x)=\\sqrt{\\frac{2}{L}}\\sin{\\frac{n\\pi x}{L}}$$where n is a positive integer.2.Derive the time-dependent Schrödinger Equation.–Answer: The time-dependent SchrödingerEquation is given by:$$i\\hbar\\frac{\\partial\\Psi}{\\partialt}=\\hat{H}\\Psi$$3.Calculate the momentum operator for a particle in1D.–Answer: The momentum operator for a particle in 1D is given by:$$\\hat{p_x}=-i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial x}$$4.What is the uncertnty principle?–Answer: The uncertnty principle is afundamental principle of Quantum Mechanics thatstates that the position and momentum of a particlecannot be measured simultaneously with arbitraryprecision. Mathematically, it is given by: $$\\Delta x\\Delta p_x\\geq\\frac{\\hbar}{2}$$5.Calculate the energy of a particle in a 1D box oflength L with quantum number n.–Answer: The energy of a particle in a 1D box is given by:$$E_n=\\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2mL^2}$$ConclusionQuantum Mechanics is a fascinating and challenging fieldof study that has provided a deeper understanding of the behavior of matter and energy at the microscopic level. Theprinciples of Quantum Mechanics have been applied to various fields of study, including computing, cryptography and medicine, and they have contributed to significant advances in these fields. The practice exercises provided in this document are intended as a tool for students to test their knowledge and understanding of Quantum Mechanics. By solving these exercises, students will gn a deeper understanding of the fundamental principles of Quantum Mechanics and strengthen their problem-solving skills in this exciting field of study.。
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
量子力学基本概念和量子力学基本原理
量子力学基本概念和量子力学基本原理量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论体系，其基本概念和原理对于理解微观世界的奇异性和解释一些物理现象至关重要。
本文将介绍量子力学的基本概念和基本原理，以助于读者对量子力学有更深入的理解。
一、量子力学的基本概念1. 波粒二象性：量子力学中的粒子既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波动的特性。
即粒子和波动性质是统一的，互相转化，并由波函数来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，测量粒子的某个属性将导致其他属性的不确定度增加。
海森堡不确定性原理指出，无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
3. 波函数：波函数是量子力学中对粒子状态的数学描述，通过波函数的平方模值求得粒子存在的概率分布。
4. 叠加态：叠加态是指粒子处于多种可能状态之间的状态，在测量之前，粒子可以处于多个状态的叠加态，并且测量结果将会塌缩到其中一个状态上。
二、量子力学的基本原理1. 施密特正交化：施密特正交化是一个重要的数学工具，用于将任意一个向量空间的一组线性无关的向量正交化，从而得到一组正交归一的基。
2. 哈密顿算符和薛定谔方程：哈密顿算符描述了粒子的总能量，薛定谔方程是描述量子体系演化的基本方程，通过求解薛定谔方程可以得到体系的波函数。
3. 算符和物理量：在量子力学中，物理量通过对应的物理量算符来描述，物理量的测量结果由这些算符的本征值给出。
4. 量子态和密度矩阵：量子态是描述量子体系的状态，密度矩阵是用于刻画量子体系统计特性的工具。
5. 量子纠缠：量子纠缠是指多个粒子之间存在的特殊的量子相互关系，纠缠粒子之间的状态是不可分解的。
三、量子力学的应用和发展1. 原子物理学：量子力学的发展使得对原子结构和原子光谱的解释得以实现，为原子物理学的兴起奠定了基础。
2. 分子物理学：通过量子力学，我们可以理解化学键的形成和分子的结构，为分子物理学的研究提供了基础。
3. 凝聚态物理学：量子力学对于固体和液体等凝聚态物质的研究起到了至关重要的作用，例如能带理论等。
量子力学的基本概念与理论
量子力学的基本概念与理论量子力学是物理学中最具有突破性和革命性的发现之一，它在20世纪初被提出，并迅速成为现代物理学的基础之一。
它的诞生是对经典物理学中存在的一些理论矛盾的回应，如黑体辐射问题和光电效应。
量子力学重新定义了能量、动量、波长、振幅等物理量的概念，使我们对物质和能量的本质有了更深刻的认识。
本文将对量子力学的基本概念与理论做一个简要介绍。
量子力学的主要概念量子力学的基本概念可以从其名称中得到启示，“量子”指的是某种不可分割的微观物理现象单元，如电子、光子等。
因为在这个尺度下，粒子和波的概念都有不同的含义。
其主要概念如下：波粒二象性：物质在某些情况下会表现为波的特性，而在其他情况下则会表现为粒子的特性。
这种表现方式是由某种波形与其粒子的不同属性相互作用产生的。
例如，电子具有电荷，因此它们可以被一个电磁场加速，就像光子一样。
然而，电子也可以像波一样穿过细缝并产生干涉图案。
波函数：量子力学中，我们使用波函数来描述系统的状态。
波函数是关于位置和时间的复数函数，它可以用来计算独立粒子或集体的概率分布和性质。
因此，波函数展示了微观粒子和体系的量子行为。
量子态：量子态是一个量子系统可能处于的所有状态的集合。
波函数在测量前可以表示物理系统的所有可能状态。
测量：量子力学要求在对量子物理系统进行测量时，它的状态一定会在经典状态和量子状态之间“坍缩”。
因此，通过测量可以得到确定的结果，系统最终即可处于一个确定状态。
这些概念是量子力学中最重要的概念，从中我们可以看到量子力学相较于经典力学的突破。
接下来本文将进一步探讨量子力学中的核心理论。
量子力学的核心理论1.哈密顿算符在量子力学中，哈密顿算符表示了系统的总能量，它可以用来描述任何一个物理系统的动力学和动力学演化。
这个算符通常写成：H^ = - (h^2/2m) (∂^2/∂x^2) + U^其中，m是粒子的质量，U^ 是其势能函数；∂^2/∂x^2表示在位置x处的振动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五、谁坍缩了波函数？
狄拉克：“自然将随意选择它喜欢的一个分支，因为量子 力学理论给出的唯一信息只是选择任一分支的几率。” 玻尔：“完全理解……整个问题就在于，通过实验，我们 引入了某种不允许继续进行的东西。” 海森伯：“我不同意这一点……我宁愿说，观察者本人进 行选择，因为直到做出了观察的那一时刻，选择才成为一 种物理实在。” ——第五届索尔维会议上的讨论，1927年10月
玻尔认为，对微观现象的说明必须利用互补性思 想，粒子图像和波动图像是对同一个微观客体的 两种互补描述。具体地说，用不同实验装置得到 的关于微观客体的资料可以详尽无疑地概括关于 微观客体的一切可设想的知识，但是，当企图把 这些资料结合成单独一种图像时它们却显得是相 互矛盾的。于是，任何一幅单独的经典实在图像， 如粒子或波，都无法提供关于微观现象的详尽说 明，人们只能用互补的经典图像来提供这种完备 的说明。如果单独使用粒子图像或波动图像，它 们的应用必将受到限制，这种限制由海森伯的不 确定关系所精确表征。
然而，与会的物理学家们对波函数坍缩过 程的认识还很模糊，他们普遍认为这一过 程只是一种瞬时的选择过程，不需要进一
“我们认为量子力学是一个完备的理论，它 的基本的物理和数学假设不再允许修正。” —— 海森伯与玻恩，1927年10月
海森伯和玻恩当众宣布，“我们认为量子 力学是一个完备的理论，它的基本的物理 和数学假设不再容许修正。”这一看法为 与会的大多数物理学家所赞同。至此，玻 恩的几率波解释、海森伯的不确定关系和 玻尔的互补原理共同形成了量子力学的正 统哥本哈根解释，并从此开始统治人们对 量子世界的理解。
1926年6月，玻恩在一篇关于粒子散射问题的文章中首次 提出了量子力学的几率波解释。为了说明波函数如何与粒 子联系起来，玻恩着手利用薛定谔方程来解决量子理论中 的稳定散射问题。在此过程中他认识到，散射波振幅的平 方可以看作是散射粒子偏转通过空间区域的几率。于是玻 恩发现，波函数绝对值的平方将代表在空间某区域中发现 粒子的几率，即波函数是一种几率波而非真实的波。玻恩 后来回忆这一发现时说，“爱因斯坦的观念又一次引导了 我。他曾经把光波的振幅解释为光子出现的几率密度，从 而使粒子和波的二象性成为可以理解的。这个观念马上可 以推广到波函数Ψ上：|Ψ|2必须是电子（或其它粒子）出 现的几率密度”。
那么量子是什么呢？简单地说，它就是自然的 一种本性——分立性或非连续性，而量子的历史 就是人们研究这种非连续性的探险历程。对于量 子的发现历史，即使是科学史家们都抱怨它过于 复杂①，更不用说一个普通的读者了，这一方面 说明了量子的发现是如何的艰难，另一方面也说 明了顽固的偏见是多么难以抗拒。因此，我们这 里并不想让完整却无味的历史来破坏读者的兴致， 而是让读者去亲身经历那些最激动人心的伟大时 刻，并分享由此所带来的精神快乐。请记住，只 有逻辑才清晰可见，而经验的历史总是纷乱复杂 的。
玻尔与海森伯在讨论
海森伯发现，量子力学对基于经典力学的那些物 理概念，如位置和速度，施加了一种应用限制。 人们不再能同时谈论电子的位置和速度，因为它 们不能以任意精度被同时测定，并且这两个量的 不确定度的乘积将大于普朗克常数除以粒子的质 量。这一关系后来被称为海森伯不确定关系。有 趣的是，泡利在1926年10月致海森伯的信中曾预 先给出了一个更通俗的陈述，他说，“一个人可 以用p眼来看世界，也可以用q眼来看世界，但是 当他睁开双眼时，他就会头昏眼花了
狄拉克认为，波函数坍缩是自然做出的选 择，而海森伯则认为它是观察者选择的结 果。玻尔似乎同意狄拉克的观点，然而他 更关心的是量子力学的普遍的互补性特征， 他尤其强调了关于物理量的定义和观察的 互补性质。在玻尔看来，离开观察人们便 不能谈论任何东西，这也是与会的大多数 物理学家所赞同的。
几乎可以肯定，世界上没有第二张照片，能像这张一样，在 一幅画面内集中了如此之多的、水平如此之高的人类精英。
补充：第五届索尔维会议 简介 索尔维是一个很像诺贝尔的人，本身既是 科学家又是家底雄厚的实业家，万贯家财 都捐给科学事业。诺贝尔是设立了以自己 名字命名的科学奖金，索尔维则是提供了 召开世界最高水平学术会议的经费。这就 是索尔维会议的来历。
量子力学电子作业
专业：物理学 姓名：徐迪 学号：0310225
量子力学史话
1927年这场华山论剑，爱因斯坦
终究输了一招。并非剑术不精，实 乃内力不足。 ——《上帝掷骰子吗》
作者：曹天元 出版：辽宁教育出版 社
这说的是1927年在布鲁塞尔举行的第五届 索尔维会议的结果吗？在这次会议上，爱 因斯坦和玻尔这两个当时世界上最顶尖的 物理学家，进行了科学史上著名的学术辩 论。在这次辩论中，玻尔所代表的新生量 子论学派获得了更广泛的支持，而维护经 典理论的爱因斯坦则被认为不合时宜，站 到了对立面。
薛定谔离开哥本哈根后，玻尔和海森伯继续深入 地讨论了这些问题。在他们看来，电子有时象粒 子，有时象波的表现仍然是一个严重的亟需解决 的佯谬。“就象一位从某种溶液中一点一点地浓 缩他的毒物的化学家那样”，海森伯和玻尔不断 尝试着“浓缩这种佯谬的毒性”，他们渴望知道 大自然是怎样避免矛盾的。夜以继日的讨论，以 及彼此之间的意见不一使他们都彻底累坏了。 1927年2月中旬，玻尔决定到挪威去滑雪，好让 彼此的精神都放松一下。这个决定很快被证明是 十分明智的，因为不久之后，海森伯便发现了不 确定关系，而玻尔也在挪威大峡谷“找到”了互 补原理。
玻尔的互补板凳
1927年9月，在意大利科摩举行的纪念伏打 逝世一百周年的国际物理学会议上，玻尔 首次公开阐述了他的互补性思想。同年10 月，在布鲁塞尔召开的第五届索尔维会议 上，互补性思想开始被大多数物理学家所 赞同和接受。玻尔的挚友艾伦菲斯特后来 回忆说，“玻尔完全超越了每一个人，他 起初根本没有被理解，……然后就一步一 步地击败了每一个人。”
氢原子中电子的几率密度图
玻恩的几率波解释第一次把几率概念引进基础物 理学，“粒子的运动遵循几率定律，而几率本身 按因果律传播”。这里，几率的出现并不是由观 察者的无知或理论本身的无能所导致的，而必须 看作是自然本身的一种本质特征。于是，量子力 学一般只预言一个事件的几率，而对这个事件的 发生不作任何决定论的断言。这是一次极不寻常 的思想冒险，它向人们展示了一个潜在的、不确 定的量子世界，在这个世界中代表几率的波函数 主宰着一切。
辩论就这样夜以继日地进行了若干个小时 而没有达成任何一致的意见。过了两天， 薛定谔生病了，……不得不卧床休息。玻 尔夫人照料他，给他端茶送水，而玻尔则 坐在床边，并且认真地对薛定谔说：‘但 是你肯定必须理解……’
三、不能同时谈论电子的位置和速度
“粒子的位置测定得越精确，它的动量就知 道得越不精确，反之亦然。” ——海森伯，1927年
1954年，玻恩“由于量子力学方面的基础 研究工作，特别是对波函数的统计解释” 获得了诺贝尔物理学奖。
二、必须理解的
薛定谔：“要是必须承认这该死的量子跃 迁，我真后悔卷入到量子理论中来。” 玻尔：“但是，我们大家却全都感谢你， 你的波动力学代表了一次巨大的进步。”
——1926年10月，哥本哈根
一、它是几率波
“粒子的运动遵循几率定律，而几率本身则 按因果律传播。” ——玻恩，1926年
面对神秘的波函数，玻恩首先发现了它与 经验之间的微妙联系。玻恩认为，波函数 只是一种存在于数学空间中的几率波，而 不是如它的发现者——薛定谔所认为的那 样，是存在于真实空间中的物质波。
尽管玻恩是矩阵力学的共同创建人之一，但是他 却对薛定谔的波动力学情有独钟，并相信这一理 论是量子规律更深刻的表达形式。然而，玻恩并 未附和薛定谔的经典波解释，他的同事弗兰克关 于原子和分子碰撞的实验使他确信粒子图像不能 被简单地抛弃，相反，必须找到使粒子和波相调 和的方法。这时，爱因斯坦关于“鬼波”的想法 启发了他，使他认识到通过几率途径可以将粒子 与波合理地联系起来。
人们通过经验和猜测的方法建立了量子理论，这 是科学的幸运，但也因此导致了这个理论的异常 神秘和不可捉摸，人们需要进一步理解它的真实 含义。在量子力学建立之后，它的缔造者们便忙 于弄清楚这个理论的含义，他们尤其想知道理论 与经验之间的联系，以及理论本身是否具有一致 性等等。正是对这些问题的思索和解决产生了关 于量子力学的正统观点，由于这些观点主要是由 当时在哥本哈根工作的物理学家，包括玻尔、海 森伯、泡利、狄拉克等人所提出，因此也被称为 量子力学的哥本哈根解释。
量子力学的哥本哈根解释在其后几十年里 成为了大多数物理学家所信奉的正统观点， 玻尔也因此成为了名副其实的量子教皇。 然而，反对者们依然存在，甚至在正统观 点刚刚提出之时就已出现。
量子的发现
1900年对于科学来说无疑是一个新的开端。 这一年，诺贝尔基金委员会成立，从此代 表科学界最高荣誉的诺贝尔奖开始颁发； 这一年，希尔伯特在国际数学家大会上提 出了著名的 23 个问题，为新世纪勾勒了一 幅美丽的数学画卷；也正是在这一年，普 朗克发现了量子，人类从此迈入了辉煌的 量子时代。
常经验告诉我们，物体的运动是连续的， 物体性质的变化也是连续的。而经典理 论——牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论也 正基于这样的假设，并且它的预测已经被 大量的实验所证实。然而，自然并不轻易 显露她的神秘和美丽，尽管她会在你付出 执著和热情之后给你意想不到的惊喜。
“经过我一生中最紧张的几个星期的工作， 黑暗中终于露出光亮，一幅未知的远景开 始朦胧地显示出来。” ——普朗克
关于量子力学的正统观点
下述简短的对话可以帮助我们了解正统观点的概 要。
问：量子力学中的波函数是一种什么波？ 答：它是一种几率波，代表着通过实验测量 所获得的所有可能结果的几率情况。 问：在量子力学中如何谈论粒子的运动？ 答：我们不能同时谈论粒子的位置和速度， 它们受不确定关系的限制。 问：那么粒子究竟是怎样运动的？ 答：这个问题没有意义。我们只能提供互补 性的描述，而且这种描述与实验有关。