最优化方法试卷与答案5套

《最优化方法》1

一、填空题：

1 •最优化问题的数学模型一般为：_____________________________ ,其中

___________ 为目标函数， _____________ 为约束函数，可行域D可以表示

为 _______________________________ ，若 _______________________________ ，

称x*为问题的局部最优解，若 _________________________________________ 称X*为问题的全局最优解。

2 •设f(x)= 2x1 2x1X2 X i 5X2 ,则其梯度为_______________________ ,海色矩阵

___________ ,令x (1,2)T,d (1,0)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为

___________ 几何意义为________________________________________ 二阶

方向导数为 ____________________ ,几何意义为_____________________________

3 •设严格凸二次规划形式为：

min f (x) 2x； 2x| 2x1x2

s.t. 2x1x21

x10

x20

则其对偶规划为

4•求解无约束最优化问题：min f(x), x R n，设x k是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:

用最速下降法求解时，搜索方向d k= ___________

用Newton法求解时，搜索方向d k= ____________

用共轭梯度法求解时，搜索方向 d k= ________________

二.(10分)简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。

三.(25分)计算题

1. (10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：

3 2

min f (x) 2x! 3为6x^2(^ x21).

2. ( 15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题:

min f (x) x1x2

2 2

s.t. c(x) % X2 1 0

的最优解和相应的乘子。

四.证明题(共33分)

1

1. (10分)设f(x) -x T Gx r T x 是正定二次函数，证明一维问题

min (a) f(x k ad k )

2. (10分)证明凸规划

min f(x),x D (其中f(x)为严格凸函数，D 是凸集)

的最优解是唯一的

3. ( 13分)考虑不等式约束问题

min f (x) s.t.

C i (x) 0,i I {1,2, ,m}

其中f(x),C i (x)(i I)具有连续的偏导数，设x 是约束问题的可行点，若在x 处 d 满足

f (x )T d 0, q (x )T d 0,i I (x)

则d 是x 处的可行下降方向。

《最优化方法》2

一、填空题：

1 •最优化问题的数学模型一般为： ______________________________ ，其中 _________________________________ 为目标函数， ______________________ 为约束函数，可行域 D 可以表示 为 ___ ，若 ，

称x *为问题的局部最优解，若 _______________________________________ ，称x * 为问题的全局最优解。

___________ ,令x (1,0)T ,d (1, 1)T ,则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数 为 ___________ ,几何意义为 ________________________________________ 二阶 方向导数为 ___________________ ,几何意义为 ______________________________

的最优步长为a k

f(x k )T d k d kT Gd k

3 •设严格凸二次规划形式为：

min f (x) x；x；2x1 x2

s.t. x1x21

x-\0

x20

则其对偶规划为 ______________________________________________ 。

4•求解无约束最优化问题：min f(x),x R n，设x k是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:

用最速下降法求解时，搜索方向d k= ___________

用Newton法求解时，搜索方向d k= ____________

用共轭梯度法求解时，搜索方向d k= ________________

二.(10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。(200字左右)

三.(25分)计算题

3. (10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：

min f (x) 2x；3x12 6x1x2(x1 x21).

4.

( 15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题：

n

min f(x) 才

i 1 n

s.t. c(x)

x i a 0

i 1

其中p 1,a 0.

四. 证明题(共33分)

1. ( 10 分)

1

设f (x) —X T G X r T x

是正定二次函数，证明一维问题

2

k

k

min (a) f(x ad )

2. (23分)考虑如下规划问题

min f (x), x R n s.t.

c i (x) 0,i 1,2, ,m

其中f(x),C i (x)(i 1, ,n)是凸函数，证明:

(1) (7分)上述规划为凸规划；

(2)

(8分)上述规划的最优解集R *为凸集； (3)

(8分)设f (x), C i (x)(i 1,2, ,n)有连续的一阶偏导数，若x *是 KT 点，则x *是上述凸规划问题的全局解。

的最优步长为a k

f(x k )T d k d

「Gd k