椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用

中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：

① 椭圆22

221x y a b

+=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩

为参数方程,且0). ②椭圆22

221(0)x y a b b a +=>>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ

=⎧≤<⎨=⎩为参数且 在利用 cos ,sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩

研究椭圆问题时，这时椭圆上的点的坐标可记作（cos ,sin a b θθ），结合直角坐标同时并用，常常很方便，下面举例说明椭圆参数方程的应用。

1、求轨迹方程

例1 已知椭圆方程为22

221x y a b

+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，引 A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程。 解：设椭圆的参数方程为cos ,(2sin x a y b θθθπθ

=⎧≤<⎨=⎩为参数,且0).则P 点坐标为

（ cos ,sin a b θθ ），由题意知，cos θ≠1，sin θ≠0 . ∵1sin cos A P b k a a θθ=

+ 2sin cos A P b k a a θ

θ=- ∴111(cos 1),sin A Q A P a k k b θθ-+==- 221(cos 1).sin A Q A P a k k b θθ

--==- ∴A 1Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ

+-

+ ① A 2Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ--- ② ①×② ，得222

22(cos 1)sin a y b θθ-=·(x 2－a 2)=－2

2a b (x 2－a 2) . 化简整理，得22

422

1(0),x y a a

b λ+=≠即为所求的轨迹方程。 2、求最值

例2 已知定点Q（0，－4）、P（6，0），动点C在椭圆

22

1

94

x y

+=上运动（如图）。

求△QPC面积的最大值和最小值。

解：依题设易求得PQ的方程为2x－3y－12 =0，

|PQ|=2。

已知椭圆的参数方程为

3cos

,(,02).

2sin

x

y

θ

θθπ

θ

=

⎧

≤<

⎨

=

⎩

为参数且则椭圆上点C（3cosθ，

2sinθ）到直线PQ的距离

d==

显然，当θ=

3

4

π时，d最大，且d最大值

此时S△PQC的最大值是

1

2

×d最大值×|PQ| =

1

2

×

；当

7

4

θπ

=时，d最短，d最小值

此时S △PQC

的最小值为12－

。