带权图的最短路
运筹学05_图与网络分析2-最短路
v4
v7
－1
42
终 点
lij
P(t)1j
起 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 点
v1 0 -1 -2 3 0 0 0 0
v2 6 0 2 -1 -5 -5 -5
v3 -3 0 -5 1 -2 -2 -2 -2
v4 8 0 2 3 -7 -7 -7
60
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 0 5 5 1 4 0 6 v5 2 3 0 v6 2 2 0
61
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 05 5 1 4 0 6 3 23 0 v6 2 2 0
54
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 v3 2 0 5 1 1 4 0 4 v5 2 3 0 v6 2 2 0
55
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 v3 2 0 5 1 1 4 0 4+2 v5 2 3 0 v6 2 2 0
0
2
7
1
5 3 5 55 7
1
3
3
1
4
6
7
5
12
③从已标号的点出发，找与这
(1,2)
2
些相邻点最小权数（距离）者， 找到之后：标号；边变红。
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
1
3
3
1
34 5 6
7
13
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
第2讲最短路问题PPT教案
2 0
1 3 3,
3 0 5
2 4 1 3 5 0
插入点 v1，得： di(jk ) min{di(jk1) , di(kk 1) dk(jk 1)},
0 1 2
1
0
4 3
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
1
D (1)
4
0 2
2 0
3
1 3,
1
R (1)
1
2 2
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二、Dijkstra算法
算法思想： 按距离u0由近及远为顺序，依次求得 u0到G的各顶点的最短路和距离，直至 所有顶点，算法结束。
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Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
1) 置l(u0) 0，对v u0 ，l(v) ，S0 {u0} i 0 且 2) 对每. 个 v Si ，用 min{l(v),l(ui ) w(ui,v)}
于是，D( ) (di(j )) 中元素di(j )就是从vi到v j 的路径中间可 插入任何顶点的路径中最短路的长度，即D( )就是所求距离矩阵.
第19页/共37页
（II）求路径矩阵的方法.
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R．
设 R(k) (ri(jk) ) ，这里ri(jk)的含义是从vi到v j 的最短
第2讲最短路问题
会计学
1
定义 1) 若H是赋权图G的一个子图，则称H的各
边的权和 w(H ) w(e) 为H的权. 类似地，若
eE(H )
若P(u,v)是赋权图G中从u到v的路,称 w(P) w(e)
称为路P的权．
eE ( P )
2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权 的路P*(u,v)，称为u到v的最短路．
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
离散数学--第7章-图论-4最短路问题
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7.4.2 Floyd算法
19
定义7.4.1:已知矩阵A＝(aij)m×l，B＝(bjk)l×n，规定C＝A*B ＝(cij)m×n，其中cij＝min(ai1＋b1j, ai2＋b2j, …, ail＋blj)
定义7.4.2已知矩阵A＝(aij)m×n，B＝(bij)m×n，规定D＝A B ＝(dij)m×n，其中dij＝min(aij,bij)
Dijkstra算法在物流配送中的应用
OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现。
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7.4 .1 Dijkstra算法
17
Dijkstra算法要求图上的权是非负数，否则 结果不正确；
Dijkstra算法同样适用于无向图，此时一个 无向边次相当于两个有向边。
5次 u＝e，S＝{a,c,b,d,e}
迭 代
L(e)＋ω (e,z)＝10＋3＝13＜L(z)
L(b)＝3，L(d)＝10，L(e)＝12，L(z)
L(z)＝13
＝∞
结 u＝z，S＝{a,c,b,d,e,z}
3次 u＝b，S＝{a,c,b}
束 从a到z的最短路的长度为13。
迭代 L(b)＋ω (b,d)＝3＋5＝8＜L(d) L(b)＋ω (b,e)＝3＋∞＝∞
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
9
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图)
{G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞}
for i:＝1 to n
DM-专题8：带权图及其应用
∑ 若P(u,v)是赋权图G中从u到v的路,称 w(P) = w(e) e∈E ( P )
称为路P的权．
2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权
的路P*(u,v)，称为u到v的最短路．
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-ui的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
u1
u4
u6
u8
u3
u7
中国邮递员问题 (Chinese Postman Problem)
求邮递员走遍管区所有街道的最短回路
B5 C
3
5
A 8 14 10
D
4
9
F6 E
管梅谷(Guan Mei-gu), 1962, 中国
15
2013/4/25
是欧拉图吗?
B5 C
3
5
A 8 14 10
D
4
9
F6 E
26
2013/4/25
有效(efficient)算法
复杂度是多项式函数的算法 易解(tractable)问题: 有多项式复杂度算法的问题,如欧拉回
路,匹配,中国邮递员问题等
难解(intractable)问题: 没有多项式复杂度算法的问题, 如哈 密顿回路, 着色, 货郎问题等(目前还是猜想)
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能变成欧拉图吗?
B5 C
3
5
A 8 14 10
D
4
9
F6 E
B5 C
3
赋权图的最短路与关键路的算法与实现
赋权图的最短路与关键路的算法与实现摘要：图形是由点和线构成的集合．赋权图的最短路就是任意两个节点之间的权值之和最小的路径．最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量, 如时间、费用、线路容量等．本文介绍了如何求最短路的有效算法: Dijkstra算法．它能求出赋权图的任何两个节点之间权值之和的最小路径. 关键路径通常总是决定项目工期的进度活动序列．它是项目中从发点到收点的最长路径.关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的总时差最少来预测项目工期的一门网络分析技术．关键路径法,能推算出项目的最短完成时间和项目各项活动的可能开始和结束时间.关键词: 图的邻接矩阵; 最短路径; Dijkstra算法; 关键路径The algorithm and implementation of the ShortestPath and the Critical PathＡbstract: Graphics are constituted by the sets of points and lines. The shortest path of the weighted graph is the minimum sum of the weight between any two vertices. The shortest path not only refers to the shortest distance, but also can be extended to other metrics, such as time, cost, line capacity and so on. Dijkstra’s algorithm was the most efficient algorithm for how to find the Shortest Path of weighted graph, which is studied in this paper. Dijkstra’s algorithm was used to calculate the minimum value of weighted graph between any two vertices. The critical path is usually used to obtain the progress of the project in activities. It is the longest path of a project from the starting point to the ending point. The critical path method (Critical Path Method, CPM) which analysis a sequence of the least time in activities or predict (which route) the schedule better. The critical path method can be used to calculate the shortest completion time, starting and ending times in project activities.Keywords: Adjacency matrix of the graph; The Shortest Path; Dijkstra’s algorithm; The Critical Path目录第一章绪论 (1)1.1 课题的背景 (1)1.2 课题的目的 (1)1.3 课题的国内外研究状况 (1)1.4 课题的意义和研究方法 (1)1.5 课题的构成及主要研究内容 (2)第二章基础知识 (2)2.1 集合的概述 (2)2.2 图论基础 (3)第三章赋权图最短路的算法与应用 (9)3.1 最短路的概念 (9)3.2 最短路算法 (9)3.3 Dijkstra算法 (10)3.4 赋权图最短路算法在舰船通道路线设计中的应用 (13)第四章关键路径法与应用 (15)4.1 关键路径法的基本原理 (15)4.2 网络计划的特点 (16)4.3 网络计划的分类 (17)4.4 网络计划关键路径的应用 (17)4.4.1 搭接网络计划示例 (17)4.4.2 搭接网络中的连接关系 (18)4.4.3 搭接网络计划的时间参数计算示例 (18)第五章网络计划优化 (24)5.1 工期优化 (24)5.1.1 工期优化的计算步骤 (24)5.1.2 宜缩短持续时间的关键工作的选择 (24)5.1.3 按要求工期优化网络计划的方法 (24)5.1.4 工期优化示例 (26)5.2 资源优化 (27)5.2.1 资源优化的种类 (27)5.2.2 资源优化的原则 (28)5.3工期费用优化 (29)5.3.1 工期与成本的关系 (29)5.3.2 工期与成本优化示例 (32)总结 (37)参考文献 (38)致谢 (39)附录A (40)附录B (45)第一章绪论1.1 课题的背景当前社会发展迅猛, 人们为了顺应时代的发展, 对于实际问题在认识并处理的过程中, 探索到的解决问题的办法. 像在求解网络图上节点间最短路径, 工程进度计划的问题等. 所以我们提出了这一课题的研究. 特别是通过光纤网络经过十几年的高速建设与发展, 网络的规模越来越大, 业务也越来越丰富, 网络建设已趋向成熟. 在这种背景下, 光纤网络资源的管理问题也就迫在眉睫了. 因此对应我们找到了解决问题的正确并且方便的答案. 而且现在的理论依据已经日趋完善, 也为了符合的当前的形势. 所以提出了这一课题.1.2 课题的目的为了解决当前社会活动过程中的现实问题. 运用先进的计算机手段, 实现从工程规划设计到资源管理的全面图形化、可视化管理,并提供多层面的网络性能分析与优化手段. 利用其从多个角度对最短路径算法进行联合优化. 生产出有便携式GPS导航设备是集嵌入式技术、全球定位系统GPS、地理信息系统GIS、智能交通系统ITS、计算机科学技术、多媒体技术和现代通信技术于一体的高科技产品.1.3 课题的国内外研究状况现在国内外研究依然很热, 像基于AOE网络的关键路径方法研究, 主要用于数字技术研究方向. 用关键路径法在挣值分析方法的研究, 资源约束的扩展关键路径法的研究. 在全球定位系统GPS导航方向的研究. 基于蚁群算法的最短路径搜索方法研究. 公交换乘最短路径算法研究, 基于GIS最短路径算法研究. 随机时间依赖网络的K期望寿命最短路径算法研究. 而在此我们主要研究的是图的最短路径和关键路径一系列问题. 建设项目管理是每个项目者所关心的重要内容之一. 就工程项目建设而言, 项目管理贯穿于项目建设的全过程. 关键路径法自20世纪60年代传入中国后, 在生产中得到了应用,它符合工程施工的要求,特别适用于工程管理. 从国内外的情况看, 应用这种方法最多的是工程施工单位. 同国外发达国家相比, 目前我国在理论水平与应用方面相差无几, 但在应用管理上, 基本上停留在计划的编制上. 因此, 提高关键路径法在工程项目管理中的应用显得尤为重要.1.4 课题的意义和研究方法研究无线传感器网络中单、多跳通信方式的能耗规律, 结合Dijkstra最短路径递增的思想形成最小能耗路径拓扑的生成规则, 建立了一种基于最短路径树的拓扑结构模型, 获得了每个节点到目的节点的最小能耗路径.从多个角度对最短路径算法进行联合优化.生产出有便携式GPS导航设备是集嵌入式技术、全球定位系统GPS、地理信息系统GIS、智能交通系统ITS、计算机科学技术、多媒体技术和现代通信技术于一体的高科技产品.以电信光纤网络管理为核心, 运用先进的计算机手段, 实现从工程规划设计到资源管理的全面图形化、可视化管理, 并提供多层面的网络性能分析与优化手段.在求解网络图上节点间最短路径的方法中, 目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)算法. 这种算法中, 网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图, 并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息. 在进行图的遍历以搜索最短路径时, 以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别, 直到获得最后的优化路径. Dijkstra算法是图论中确定最短路的基本方法, 也是其它算法的基础. 为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径, 通常采用这种方法, 是每次以一个结点为源点, 重复执行Dijkstra算法n次.使用关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的灵活性（总时差）最少来预测项目工期的网络分析技术. 具体而言, 该方法依赖于项目网络图和活动持续时间估计, 通过正推法计算活动的最早时间,通过逆推法计算活动的最迟时间, 在此基础上确定关键路线, 并对关键路线进行调整和优化, 从而使项目工期最短, 使项目进度计划最优.1.5 课题的构成及主要研究内容这篇论文可以进行如下的构成：第一章由绪论引入是开端, 包括毕业设计（论文）课题的背景及目的、国内外研究状况、课题的意义、研究方法、理论依据和具备的条件、毕业设计（论文）课题的构成及主要研究内容等.第二章简明扼要的概述了集合的相关理论以及图论的一些相关知识.第三章介绍图论中的最短路算法和应用.第四章介绍了关键路径法以及它的一些应用实例等内容.第五章着重介绍了网络计划的优化的三个方面：(1) 在现有条件的限制下,求工期最短;(2) 在规定的工期内,要求资源最均衡;(3) 加快工期而费用最少.第二章基础知识2.1 集合的概述定义1 集合用于对象在一起的组. 一般情况下,是一组有相似的性质对象. 一个无序的一组对象我们定义为集合A, 其中的对象称为元素或集合的成员. 用a∈A来表示元素a是集合A当中的元素. 用a∉A表示元素a不是集合A当中的元素.集合一般是使用大写字母来表示. 小写字母通常用来表示元素的集合. 有多种方法来描述集合：列举法、维恩图、描述法等. 但是最常采用的是列举法和维恩图方法. 例如: 元音字母在英文字母可以写成集合V = { a, e, i, o, u }. 通过维恩图来表示集合之间的关系的. 如下例:例2.1 画一维恩图用V表示, 在英文字母中集合用元音字母.解我们绘制一个矩形来表示通用集U, 这是组26个英文字母. 在这个矩形中我们画一个圆代表V. 在这个圈子, 我们指示V点为元音字母元素(见图1).图2-1维恩图元音集合定义2 一个集合A是另一个集合B的子集; 当且仅当A的每个元素也是B的元素. 我们使用符号A⊆B表示B集合的子集A.当A⊆B时,有对于∀x(x∈A→x∈B)是正确的. 若A不是B的子集, 我们只需要找到一个元素x∈A与x∉B , 举出这样的一个x反例来. 我们有这样一个有用的规则可以决定是否有一个集合是另一个集合的子集.在集合相关领域我们介绍很少, 是因为我们会用到一些相关的知识, 其次主要也是为后续的问题引线和做铺垫. 有了这些前期的相关的储备知识, 我们就要进一步来研究图论当中的基本概念.2.2 图论基础定义1 设V和E是两个有限非空集合, V中的元素叫做节点（或顶点）, E中的元素叫做边, 且E中的每一条边恰好与V中的两个节点相对应, 就称G = (V,E)是一个图.如下图2-2：图2-2定义2 若G = (V, E)是一个图, 若E中的每条边所对应的两个节点没有次序之分, 则称为无向图(如图2-2）; 若E中的每条边所对应的两个节点有次序之分, 则称该图为有向图. 如下图2-3：图2-3注意：一般用小圆点或小圆圈表示节点, 用节点对连线表示边, 节点的位置和连线的曲直及长短是无关的.在无向图中, 若边e与节点(a, b)对应, 则称e与节点a关联, 同样, e与b关联. 若节点a和b之间有边连接, 则称节点a与b相邻, 否则不相邻. 若两条边关联一个共同的节点, 则称这两个边相邻, 否则, 若两条边不同时与任何一个节点关联, 则称这两个边不相邻. 有向图类似.定义3 关联同一个节点的边叫做自环. 在图2-3中, 像a, c, e都有自环.定义4 不与任何节点相邻的节点称为孤立点. 如图2-3, 点f就是孤立点.定义5 只与一条边关联的节点称为悬挂点. 如图2-4中的d点.图2-4定义6 如果顶点个数V 与边的条数E 都是有限的, 图G 就是有限图. 如果V =1, E =0,图G 称为平凡图. 这种仅含一个孤立点的图是有限图的特例. 如果V 或E 是无限的, 图G 称为无限图.定义7 如果一个图没有自环, 并且每两个顶点之间最多只有一条边, 这样的图称为简单图. 如图2-5：图2-5定义8 设图G = (V , E ), i v V , 其中的所有边都在E 当中. i=1,2,3, ……p , 所有边与节点i v 与j v 关联. 而且顶点和边交替出现, 将这样的一个交替序列称为路.图2-6如图2-6中a-b-d-c 就是一条路.定义10 若从起始节点出发结束到起始结点, 称这条路为回路或圈.如图2-6中a-b-d-c-a 就是一条回路.定义11 如果图G 中任意节点u 到任意节点v 都是有路相连的, 则称G 为连通图, 否则是非连通图. 如图2-7：图2-7定义12 一个没有重边的图用一种方法将图的边可以一一列出来; 另一种方式是使用邻接矩阵. 假设G = (V , E )是一个简单的图, |V | = n. 假设v 1,v 2 ,……,v n 作为G 的任意顶点, G 的邻接矩阵就是这个图的边的顶点, 所构成的矩阵（n ×n ）的（0 - 1）矩阵. 当v i 和v j 是相邻的时候, 矩阵对应位置的值为1, 当它们不相邻时候, 对应值为0. 换句话说, 如果其邻接矩阵是一个A n ×n =[ij a ], 那么()()()⎩⎨⎧=其它相邻如果 0, 1j i ij v v a 例2.2 用邻接矩阵来表示如图2-8.图2-8解 顶点为a , b , c , d. 这个图的邻接矩阵是：定义13 若图G=(V , E )中各边e 都赋有一个实数W (e ), W (e )是一个实数集, W 中的每个数与E 中的一个边相对应, W (e )对应的实数称为边e 的权, 这个图则称这种图为赋权图, 记为G = G (V , E , W ). 如图2-9:图2-9若图G =（V ,E ）是一个赋权图, 且W (e )≥ 0,e ∈E (G ), 若μ是v i 到v j 的路,()()i i e W W e μμ∈=∑的权, 则称()W μ为μ的长, 长度最小的v i 到v j 的路L 称为最短路.例2.3 如图2-10，求a 到z 的最短路.图2-10解 a 到z 的路径有a -b -d -z ，路长为2+5+2=9；a -b -e -z ，路长为2+2+4=8；a -c -e -z ，路长为3+5+4=12；a -b -e -d -z ，路长为2+1+4=7；a -c-e -d -z ，路长为3+5+1+2=13. 所以，a 到z 的最短路径是a -b -e -d -z . 距离是7.定义15 设G = (V , E , W )是有向带权图, 当G 满足以下四个条件时, 称G 为PERT 图, (1) G 是简单图; (2)G 中无回路; (3) G 有一个节点的入度为0, 称此节点为发点, 有一个节点的出度为0, 称此节点为收点; (4) 边<i v , j v >的权值为t (i , j ), 该权值常表示时间.在工程技术中, PERT 图中的边边<i v , j v >常表示一道工序, 对应的权值表示完成该工作需要的时间, 并称i v 为j v 的紧前节点.定义16 对于PERT 图, 从发点（记为1v ）开始到达任一节点i v 的最长路径（按权计算）的长度称为节点i v 的最早完成时间, 记作()i t E . 显然()1E t = 0, 当j ≠1时()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=, 式中求最大值是对节点j v 的所有紧前节点i v 进行的.总之有: ()1E t = 0和 ()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=.定义17 对于PERT 图, 称从发点1v 到收点n v 的最长路径为关键路径, 而关键路径的长度称为收点n v 的最早完成时间.定义18 对于PERT 图, 在保证收点n v 的最早完成时间不增加的条件下, 自1v 最迟到达i v 的时间称为i v 的最晚完成时间, 记作()i t L . 显然()()n t n t L E = , 当j ≠1 时总之有()()(){}j i t j t i t L L ,min -=, ()总工期=n t L .定义19 对于PERT 图, 各节点的最晚完成时间与最早完成时间之差称为该节点的缓冲时间, 即()()i t i t E L -, i = 1, 2, 3, …, n第三章 赋权图最短路的算法与应用3.1 最短路的概念上一章节一些预备知识进行了介绍. 下面着重讲述最短路相关知识.图G = (V , E )中各边e 都赋有一个实数W (e ), 称为边e 的权, 则称这种图为赋权图,记为G = G (V , E , W ).若图G =（V ,E ）是一个赋权图, 且W (e )≥ 0,e ∈E (G ), 若μ是v i 到v j 的路,()()i i e W W e μμ∈=∑的权, 则称()W μ为μ的长, 长度最小的v i 到v j 的路L 称为最短路.3.2 最短路算法对于无向图我们可以用动态规划的方法来解决这一类问题. 1、可以将全过程求解分为若干阶段求解; ------多阶段决策问题 2、在全过程最短路径中, 将会出现阶段的最优路径; -----递推性 3、前面的终点确定, 后面的路径也就确定了, 且与前面的路径（如何找到 这个终点）无关; -----无后效性4、逐段地求解最优路径,势必会找到一个全过程最优路径. -----动态规划 多阶段决策问题中, 常见的目标函数形式之一是取各阶段效应之和的形式. 例3.1 利用动态规划求解图3-1的最短路问题：最短路的求解:阶段: 可分为4个阶段, k = 1, ..., 4.状态: 可用城市编号, S1={Q}, S2={A1, A2, A3}, S3={B1, B2, B3}, S4={C1,C2}, S5={T }决策: 决策变量也可用城市编号; 状态转移方程: k k x s =+1 阶段指标函数：()k k x s k k k c x s v =,过程指标（阶段递推）函数:()()(){}1*1*,min +++=k k k k k k k s f x s v s f因为无向图也可以看做双向图, 所以对于有向图求最短路, Dijkstra 算法更有效.3.3 Dijkstra 算法1 最优化原则：整体最优, 则部分最优.反之未必. 如图3-2：图3-2如果求出了从a 到z 的最短距离, 必然可以知道a 到每一个点的最短距离. 2 基本原理V =S ⋃T , S={x|a 到x 的已知最短路} T ={y |a 到y 的未知最短距离}开始S ={a }, T=V -S. 把T 中的到a 距离最短的点找出来, 放到S 中, 逐步进行下去,直到S=V , T=Ø为止.3 Dijkstra 算法基本步骤：令：{}{}n i v v v T i v S ,,, ,1 ,32 ===,()⎩⎨⎧∈∞==T v v T v W j j ,0)(1先取()10W v =意即1v 到1v 的距离为0, 而()j T v 是对()j T v 所赋的初值. (1). 对T v j ∈, 求()(){}()min ,j i ij j T v W v w T v +=.利用()1W v 已知, 根据()(){}min ,j i ij T v W v w +对()j T v 进行修正.(2). 求(){},min j Sv v T j ∈得()k v T , 使()k v T =(){},min j S v v T j ∈令()()k k W v T v =. 对所有修正后的()j T v 求出其最小者()k T v . 其对应的点k v 是1v 所能一步到达的点j v 中最近的一个, 由于所有()0W u ≥. 因此任何从其它点j v 中转而到达k v 的通路上的距离都大于1v 直接到k v 的距离()k T v , 因此()k T v 就是1v 到k v 的最短距离, 所以在算法中令()()k k W v T v =并从s 中删去k v , 若k =n 则()()k n W v W v =就是1v 到n v 的最短路线, 计算结束. 否则令i k v v =回到第二步, 继续运算, 直到k =n 为止.(3). 若k n v v =则已找到1v 到n v 的最短路距离,()k W v 否则令i k =从T 中删去i v 转1.这样每一次迭代, 得到1v 到一点k v 的最短距离, 重复上述过程直到k n v v =. 例3.2 最短路在运输网络中的应用实例: 设6个城市126,,,v v v 之间的一个公路网(图3-3)每条公路为图中的边, 边上的权数表示该段公路的长度(单位:百公里), 设你处在城市1v , 那么从1v 到6v 应选择哪一路径使你的费用最省.图3-3解 首先设每百公里所用费用相同, 求1v 到6v 的费用最少, 既求1v 到6v 的最短路线.为了方便计算, 先作出该网络的距离矩阵, 如下:1234561234560525015921081058025910202520v v v v v v v v L v v v v ⎡⎤⎢⎥∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞⎢⎥=∞⎢⎥⎢⎥∞⎢⎥∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞⎣⎦(0)设()(){}654321,,,, , ,0v v v v v T v v T v W j =∈∞== (1)第一次迭代①计算(),2,3,4,5,6j T v j =如下()()(){}{}22112min ,min ,055T v T v W v w =+=∞+= ()()(){}{}33113min ,min ,022T v T v W v w =+=∞+=()()(){}{}44114min ,min ,0T v T v W v w =+=∞+∞=∞()()56,T v T v =∞=∞②取(){}()32min v T v T j Tv j ==∈, 令()()332W v T v ==③由于()36k n =≠=, 令{}6542,,,v v v v T =, i =3转(1) 第二次迭代:①算(),2,4,5,6j T v j =如下()()(){}{}22323min ,min 5,213T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}44334min ,min 8,288T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}55335min ,min 10,21010T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}66336min ,min ,2T v T v W v w =+=∞+∞=∞ ②取(){}()23min v T v T j Tv j ==∈令()()223W v T v ==③由于()26k n =≠=, 令{}654,,v v v T =, i =2转(1) 第三次迭代:①算(),4,5,6j T v j =如下()()(){}{}44224min ,min 8,358T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}55225min ,min 10,3910T v T v W v w =+=+=()6T v =∞②取(){}(),8min 4v T v T j Tv j ==∈ ()()844==v T v W ③由于()46k n =≠=, 令{}4 ,,65==i v v T 转(1) 第四次迭代:①算(),5,6j T v j =如下()()(){}{}55445min ,min 10,2810T v T v W v w =+=+=()()(){}{}66446min ,min ,8513T v T v W v w =+=∞+=②取(){}(),10min 5v T v T j Tv j ==∈ ()()1055==v T v W③由于()56k n =≠=, 令{}6v T =转(1)第五次迭代:①算(),6j T v j =如下()()(){}{}66556min ,min 13,10212T v T v W v w =+=+=②由于6k n ==. 因此已找到1v 到6v 的最短距离为12. 计算结束.找最短路线: 逆向追踪得132456v v v v v v →→→→→.最短距离为12, 即从城市1v 到城市6v 的距离最短, 即费用最省.3.4 赋权图最短路算法在舰船通道路线设计中的应用利用图论的经典理论和人群流量理论研究舰船人员通道路线的优化设计及最优线路选择. 首先介绍图论相关理论, 对船舶通道进行路网抽象, 建立网络图,然后根据人群流动的相关理论, 选取不同拥挤情况下的人员移动速度, 从而确定各条路段(包括楼梯)的行程时间. 以行程时间作为通道网络的路权, 得出路阻矩阵以选择一对起点/终点的最短时间路线为目标, 建立最短路径问题的数学模型, 利用经典的算法确定最短路径. 将此方法应用于某舰艇多层甲板的通道网络中, 计算结果并进行讨论, 最后在此研究的基础上对通道设计相关问题的深化和拓展进行了探讨和总结, 并提出设想.路线优化技术通常采用图论中的“图”来表示路网, 船舶通道路网与图论的路网对应关系为: 结点—通道的交叉口或断头路的终点; 边—两结点之间的路段称为边, 若规定了路段的方向, 则称为弧; 边(弧)的权—路段某个或某些特征属性的量化表示.路权的标定决定了最短的路径搜索依据, 也就是搜索指标. 根据不同的最优目标, 可以选择不同的路段属性, 由于舰船上除了平面上的通道之外还有垂直方向的楼梯(或直梯), 如果以最短路程距离作为优化目标, 路线的效率未必最高(距离最短未必耗时最少). 所以以最短行程时间作为优化的目标, 道路权重即为各路段的平均行程时间.对于要研究的对象, 取各条通道的起点(或终点)和交叉点为图的顶点, 各路段为边, 路权为路段行走的平均时间. 寻找从起点到终点的最短时间路径即为最优路径. 在规定了结点、边和权值以后, 便将路网抽象为一个赋权无向图或赋权有向图, 从而确定路网中某两地间的最优路线便转化为图论中的最短路径问题.首先将空间问题抽象为图, 图3-4为某舰的两层甲板的部分抽象图, 上下两个平面上纵横交错的直线为各层甲板的主要通道, 连接两层甲板的直线表示楼梯,包括2个直梯和3个斜梯.每条路段上的标注(),a b中, a表示路段实际长度或者楼梯的类型, b表示此路段的行程时间(即路权), 例如(40, 32). 图3-5为图3-4对应的赋权图.图3-4两层甲板的部分抽象图图3-5赋权图再利用上述求最短的方法即可求得需要的通道路线.第四章 关键路径法与应用4.1 关键路径法的基本原理定义1 设G = (V , E , W )是有向带权图, 当G 满足以下四个条件时, 称G 为PERT 图, (1) G 是简单图; (2) G 中无回路; (3) G 有一个节点的入度为0, 称此节点为发点, 有一个节点的出度为0, 称此节点为收点; (4) 边<i v , j v >的权值为t (i ,j ), 该权值常表示时间.在工程技术中, PERT 图中的边边<i v , j v >常表示一道工序, 对应的权值表示完成该工作需要的时间, 并称i v 为j v 的紧前节点.定义2 对于PERT 图, 从发点（记为1v ）开始到达任一节点i v 的最长路径（按权计算）的长度称为节点i v 的最早完成时间, 记作()i t E . 显然()1E t = 0, 当j ≠1时()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=, 式中求最大值是对节点j v 的所有紧前节点i v 进行的. 总之有: ()1E t = 0和 ()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=. 定义3 对于PERT 图, 称从发点1v 到收点n v 的最长路径为关键路径, 而关键路径的长度称为收点n v 的最早完成时间.定义4 对于PERT 图, 在保证收点n v 的最早完成时间不增加的条件下, 自1v 最迟到达i v 的时间称为i v 的最晚完成时间, 记作()i t L . 显然()()n t n t L E = , 当j ≠ 1 时总之有()()(){}j i t j t i t L L ,min -=, ()总工期=n t L .定义5 对于PERT 图, 各节点的最晚完成时间与最早完成时间之差称为该节点的缓冲时间, 即()()i t i t E L -, i = 1, 2, 3, …, n关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的灵活性（总时差）最少来预测项目工期的网络分析技术. 具体而言,该方法依赖于项目网络图和活动持续时间估计, 通过正推法计算活动的最早时间, 通过逆推法计算活动的最迟时间, 在此基础上确定关键路线, 并对关键路线进行调整和优化, 从而使项目工期最短, 使项目进度计划最优.关键路径法的关键是确定项目网络图的关键路线, 这一工作需要依赖于活动清单、项目网络图及活动持续时间估计等, 采用手工计算, 可以遵循以下步骤:(1) 把所有的项目活动及活动的持续时间估计反映到一张工作表中;(2) 计算每项活动的最早开始时间和最早结束时间, 计算公式为EF=ES+活动持续时间估计;(3) 计算每项活动的最迟结束时间和最迟开始时间, 计算公式为LS=LF-活动持续时间估计;(4) 计算每项活动的总时差, 计算公式为TS=LS-ES=LF-EF;(5) 找出总时差最小的活动, 这些活动就构成关键路线.总而言之, 网络计划的基本原理是：首先绘制拟建工程施工进度网络图, 用以表达一项计划中各项工作的开展顺序及其相互之间逻辑关系; 然后通过对网络计划时间参数进行计算, 找出网络计划关键工作和关键线路; 再按选定的工期、成本或资源等不同目标, 对网络计划进行调整、改善和优化处理, 选择最优方案; 最后在网络计划的执行过程中, 对其进行有效的控制与监督, 以确保拟建工程施工按网络计划确定的目标和要求顺利完成.4.2 网络计划的特点网络计划具有以下主要特点：(1) 网络计划能够明确表达各项工作之间的逻辑关系. 所谓逻辑关系, 是指各项工作之间的先后顺序关系. 网络计划能够明确地表达各项工作之间的逻辑关系, 对于分析各项工作之间的相互影响及处理它们之间的协作关系具有非常重要的意义.(2) 通过网络计划时间参数的计算, 可以找出关键线路和关键工作. 在关键线路法(CPM)中, 关键线路是指在网络计划中从起点节点开始, 沿箭线方向通过一系列箭线与节点, 最后到达终点节点为止所形成的通路上所有工作持续时间总和最大的线路. 关键线路上各项工作持续时间总和即为网络计划的工期, 关键线路上的工作就是关键工作, 关键工作的进度将直接影响到网络计划的工期. 通过时间参数的计算, 能够明确网络计划中的关键线路和关键工作, 也就明确了工程进度控制中的工作重点, 这对提高建设工程进度控制的效果具有非常重要的意义.(3) 通过网络计划时间参数的计算, 可以明确各项工作的机动时间, 又称时差. 所谓工作的机动时间, 是指在执行进度计划时除完成任务所必需的时间外尚剩余的、可供利用的富余时间. 在一般情况下, 除关键工作外, 其他各项非关键工。
最短路算法
最短路径在一个无权的图中，若从一个顶点到另一个顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。
由于从一个顶点到另一个顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫作最短路径或者最短距离。
对于带权的图，考虑路径上各边的权值，则通常把一条路径上所经边的权值之和定义为该路径的路径长度或带权路径长度。
从源点到终点可能不止一条路径，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或最短距离。
最短路径算法Dijkstra算法：该算法是用于求解单源点最短路径的实用算法。
Dijkstra算法的基本思想如下：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S其中，V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个用V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
Dijkstra算法的具体步骤；（1）设源点为V1，则S中只包含顶点V1，令W=V-S，则W中包含除V1外图中所有顶点。
V1对应的距离值为0，即D[1]=0。
W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧 <v1,vk>，则Vj顶点的距离为此弧权值，否则为一个无穷大的数；（2）从W中选择一个其距离值最小的顶点 vk，并加入到S中；（3）每往S中加入一个顶点vk后，就要对W中各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vk做中间顶点，使<v1,vk> + <vk+vj>的值小于<v1,vj> 值，则用<v1,vk> + <vk+vj>代替原来vj 的距离值；（4）重复步骤2和3，即在修改过的W中的选距离值最小的顶点加入到S 中，并修改W中的各个顶点的距离值，如此进行下去，知道S中包含图中所有顶点为之，即S=V。
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(50)
6
A
4 7
8 1 3 1
6
3
(90)
F
C(60)
E(70)
任务一: 学习课本, 请完成下列任务
1. 什么图是带权图，举例；
2. 在下图中点D到F的最短通路是哪条？ 最短路长是多少？
2 7
B(40) 6
4 8 1
D(20)
1 6
(50)
A
C(60)
3
3 (90) E(70)
F
边权、带权图、最短通路
v1
4
v7
4
v4
v8
练习答案
求下列赋权网络中从结点v1到结点v9的最短通路(边上的 数字是该边上的权)，并求最短通路的长度。
v2 3 4 2 v6 v3 3 4 3 2 2 v7 2 4 v9 3 v5 2 4
v1 4
答案：P=v1v2v5v9
v4
v8
LP=10
8 1 3 1
6
3
(90)
F
C(60)
E(70)
校址选在何处（D为起点）
B
A
2 4 7 1
6
D
1
B
6
3
8
3
F
A
2 4 7 1
6
D
1
8
3
6
3
F
C
第一步 6 8
E D
1 6 2
C B
4 7
第二步 6 8 1 3
E D
1 6 3
B
A
2 4
7
1
3
3
F
A
F
C
第三步
E
C
第四步
E
校址选在何处（E为起点）
B A
V10
V11
V12
最短通路算法
当从一地到另一地有多条通路时，常常会提出 寻找距离最短、需时最少、费用最省等的路径问题。 这样的问题可归结为：在一个有n个结点和m条边 的带权图（网络）上，寻找一条从结点s到结点t的 最短通路，使得通路上各边上的权的总和为最小。
最短路径分析
权可以是距离、时间、运费、流量等，对不同的问题可 进行不同内容最短分析。下面介绍的最短路径搜索的算 法是迪克斯特拉（Dijkstra）在1959年提出的，被公认为 是最好的算法之一。它的基本思想是:把图的顶点分为 A,B两类,若起始点u到某顶点x的最短通路己求出,则将x 归入A,其余归入B,开始时A中只有u,随着程序运行,B的元 素逐个转入A, 直到目标顶点v转入后结束。
边权：若图G＝（V,E）中每一条边e附加一个实数w(e),称w(e) 为边e的权(有时也可说成是边的“长”)。 带权图：图G连同它的边上的权称为带权图，记为G=(V,E,w)。
最短通路：在带权图中给定两个结点vi与vj，如果从vi到vj有多条 通路，构成某通路的边的“长”的和叫做该通路的“长度；从vi到 vj的所有通路中，“长度”最小的通路叫做从vi到vj的最短通路。
2 4 7 1 3 6
D
1
B
6
3
8
F
A
2 4 7
[7] C
6
D
1
8
1 3 第二步 6 8 1 3
6
3
F
C
第一步 6 8
E
E D
1 6 3
B
A
2 4
7
D
1 6 3
B F A
2 4
1
3
7
F
C
第三步
E
C
第四步
E
校址选在D处学生步行总长度
若选在D,所有学生步行上学的总长度: 7×50＋5×40＋1×60＋1×70＋ 4×90＝1040
有A、B、C、D、E、F六个村子，如下图。各村之间的距离 已知（边上的数字），各村的学生数分别是A：50人，B：40人， C：60人，D：20人，E：70人，F：90人。现要在公路旁的D村 或E村建一所学校，问校址选在何处，才能使所有学生所走的总 路程最短？ B(40) D(20)
2
(50)
6
A
4 7
B(40)
(50) 6 8 1
如此下去可得：
B到D:BCD→5 C到D:CD →1 E到D:ED →1 F到D:FED →4
A到D:ABCD→7
A
2 7
D(20)
1 6
4
C(60)
3
3 (90) E(70)
F
图 32-1
校址选在E处学生步行总长度
若选在E,所有学生步行上学的总长度: 8×50＋6×40＋2×60＋1×20＋ 3×90＝1050 A到E:ABCDE→8 B到E:BCDE→6
B(40)
(50)
C到E:CDE →2
D到E:DE →1
A
2 4 7 1
6
8 3
D(20)
1 6
C(60)
3 (90) E(70)
F
F到E:FE →3
图 32-1
∴选D
课堂练习
求下列带权网络中从结点v1到结点v9的最短通路， 边上的数字是该边上的权。
v2 3 4 2 3 v5 2 4
v6
v3 3 4 3 2 2 2 v9
（4）重复(2)、(3)两步，直到终点出现在A中为止。
课堂练习
如图，求出该图中结点v7到其余各结点间的最短路
v1 1 1 v5 1 2 2 1 v2 1 v6 3 1 2 2 1 v7 v3 2 v4 1 2 2 v8 1 3
v9
2
v1 2
0
v1
1
v1
2
课堂练习题: 用迪克斯特拉算法 ，完成学 校选址问题
2 7
B(40) 6
4 8 1 3
D(20)
1 6
如图右中，点D到F 的最短通路是 “DEF”(长度＝4)
(50)
A
C(60)
3 (90) E(70)
F
任务二、学习课本或资料中“迪克斯特(Dijkstra) 算法”，求出下图中结点v1到所有结点间的最 短路，并标记出来。
v1 1 1 v5 1 v9 2 2 2 1 v2 1 v6 3 1 2 2 1 2 v7 v3 2 v4 1 2 2 3 v8 1
迪克斯特拉(Dijkstra)算法
考察的是哪些点?记录的是哪个点? 所有结点v
G 是带权无向图 ，求结点a 到G 的任意结点v 的最短路。
（1）令A ={a},B 包括图G中去掉结点a的所有剩余部分。
（2）对B 中直接和A中某些结点邻接的那些结点进行考 察，找出与起点a 距离最短的一个结点v（若存在多个， 任选一个），记录这条最短路的长度，记做d (v)。 （3）将找出的结点v从B中划到A中。并且在A中增加点a 与点v间所有边；在B中减去与点v间的所有边。
本节的教学内容
学校选址问题介绍 带权图的概念； 最短通路的概念； 迪克斯特拉算法介绍； 求解学校的最佳配置点 相关问题练习
目标（学习任务）：
领悟带权图 领悟最短通路 能用迪克斯特拉算法求最短通路
案例：
学校选址问题
有A、B、C、D、E、F六个村子，如下图。各村之间的距离已 知（边上的数字），各村的学生数分别是A：50人，B：40人， C：60人，D：20人，E：70人，F：90人。现要在公路旁的 D村或E村建一所学校，问校址选在何处，才能使所有学生所走 的总路程最短？ B(40) D(20)