第6章最短路问题
Ch6.2网络模型-最短路问题
7 11
36 9 12 3
6
⑤ 2 12 18
8
16 24
8
⑥
⑧ 18
6
8 10 图6-10
6 12 ⑦ 18 24
2
6
所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短路 线就是红色的链。
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
Ch6 网络模型 Network Model
2015年6月8日星期一 Page 8
从上例知，只要某点已标号，说明已找到起点vs到该点的最短路 线及最短距离，因此可以将每个点标号，求出vs到任意点的最短 路线，如果某个点vj不能标号，说明vs不可达vj 。 6.2.3 无向图最短路的求法 无向图最短路的求法只将上述步骤（2）改动一下即可。 点标号：b(i) —起点vs到点vj的最短路长； 边标号：k(i，j)=b(i)+cij， 步骤：(1)令起点的标号；b(s)＝0。 (2)找出所有一端vi已标号另一端vj未标号的边集合 B={[i，j]}如 果这样的边不存在或vt已标号则计算结束； (3)计算集合B中边标号：k[i，j]=b(i)+cij
min Z
( i , j )E
cij xij
x12 x13 x14 1 xij xki 0 i 2,3, (i , j )E ( k ,i )E x57 x67 1 xij 0或1，(i, j ) E
,6
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
运筹学第六章6.2最短路问题
二、最短路算法： 最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） 氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路 求解思路——从始点出发，逐步顺序 从始点出发， 从始点出发 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的。 短的。 （2）使用条件 使用条件——网络中所有的弧权均 网络中所有的弧权均 非负， 非负，即 wij ≥ 0 。
（4） 计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点 标号点， 第三步：若网络图中已无 标号点，停止 计算。否则 令 计算。否则,令
T ( v j0 ) =ຫໍສະໝຸດ min {T ( v )}
v j ∈s j
,
标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成 标号 ，转入第 二步。 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。 此时，
2 ,3, L , N ）
使用条件— 使用条件—没有负回路
3. 海斯算法
算法思想： 算法思想： 利用v 利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的一步距离求出v 的两步距离, 的两步距离 , 再由两步距离求出四步 距离,经有限步迭代即可求得v 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的 最短路线和最短距离。 最短路线和最短距离。
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法 问题的提法——寻求网络中两点间 寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。 注意： 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 开的初等链中所有的弧 图中，通路 开的初等链 应是首尾相连 首尾相连的 应是首尾相连的） （2）应用背景 应用背景——管道铺设、线路安排、 管道铺设、线路安排、 管道铺设 厂区布局、设备更新等。 厂区布局、设备更新等。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、通信网络、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们需要找到图中两个顶点之间的最短路径，即使得路径上的边的权值之和最小。
针对不同的图，我们可以采用不同的方法来求解最短路问题，下面将介绍几种常见的求解方法。
首先，最简单直接的方法是暴力搜索法。
暴力搜索法适用于小规模的图，它通过穷举所有可能的路径来找到最短路径。
虽然这种方法在理论上是可行的，但是在实际应用中由于时间复杂度过高，通常不适用于大规模的图。
其次，我们可以使用迪杰斯特拉算法来解决最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步扩展离源点距离最短的节点来逐步求解最短路径。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数，因此适用于稠密图。
另外，我们还可以使用贝尔曼-福特算法来求解最短路问题。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过多次松弛操作来逐步逼近最短路径。
贝尔曼-福特算法适用于存在负权边的图，但是由于其时间复杂度为O(VE)，因此在稠密图中效率较低。
最后，我们还可以使用Floyd-Warshall算法来解决最短路问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它通过逐步考察所有顶点对之间的路径来求解最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，因此适用于小规模图。
总的来说，不同的最短路求解方法适用于不同的图，我们需要根据具体的情况来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还可以结合启发式算法、并行算法等方法来进一步提高求解效率。
希望本文介绍的内容能够对读者有所帮助，谢谢！。
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
运筹学课件：最短路问题
Operation Research
实例1
第八讲
Operation Research
实例2 求从1出发到5的最大流
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例
第八讲
Operation Research
第八讲
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
直到 D(k-1)=D(k)
dij(k)=min｛dir(k-1)+drj(k-1)｝
矩阵的计算次数k
Operation Research
实例（1） 求图中任意两点之间的最短ch
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
Operation Research
求解步骤
（1）标号过程
第八讲
Operation Research
（2）调整过程
第八讲
我们的目标是尽快找到一条从起点vs到终点vt的增广链， 所以没必要在中途多停留，即对已标号的vi，每次只检查 一个相邻点vj，再给vj标号，没有必要检查vi的所有相邻点， 这样一次可改进一条增广链，只到没有增广链为止
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
最短路(图)
最短路最短路问题（short-path problem）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
单源最短路径包括确定起点的最短路径问题，确定终点的最短路径问题（与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
）算法可以采用Dijkstra 算法。
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法代码1#include <string.h>2#include<algorithm>3using namespace std;45const int maxnum = 100;6const int maxint = 99999999;78int dist[maxnum];9int prev[maxnum];//记录当前点的前一个结点10int c[maxnum][maxnum];11int n,line;1213void dijkstra(int n,int v,int *dist,int *prev,int c[maxnum][maxnum])//v代表源点14{15 bool s[maxnum];//判断是否已存入该点到S中16 for(int i = 1;i <= n;++i)17 {18 dist[i] = c[v][i];19 s[i] = 0;20 if(dist[i] == maxint)//代表当前点与源点没有直接相连21 prev[i] = 0;22 else23 prev[i] = v;//代表当前点的前一个节点是v，即源点24 }25 dist[v] = 0;//源点到源点的距离初始化为026 s[v] = 1;//源点已被遍历过，标记为12728 for(int i = 2;i <= n;++i)29 {30 int tmp = maxint;31 int u = v;32 for(int j = 1;j <= n;++j)33 {34 if((!s[j]) && dist[j] <tmp)//该点没有被遍历到并且源点到j点的距离小于记录的距离35 {36u = j;//记录下这一点37tmp = dist[j];//记录下这一点到源点的距离38 }39 }40 //找到距离最短的点退出循环41 s[u] = 1;//标记该点已经遍历过4243 for(int j = 1;j <= n;++j)44 {45 if((!s[j]) && c[u][j] <maxint)//j没有被遍历过并且从u到j还有这条路径46 {47 int newdist = dist[u] + c[u][j];//新的距离是从源点到u的距离加上从u到的距离48 if(newdist <dist[j])//如果新的距离比原来到j的距离要短49 {50 dist[j] = newdist;//则更新dist数组51 prev[j] = u;//标记j的前一个节点是u52 }53 }54 }55 }56}5758void searchpath(int *prev,int v,int u)//查找从v到u的最短路径59{60 int que[maxnum];//保存路径61 int tot = 1;62 que[tot] = u;//把终点存入路径数组63 tot++;64 int tmp = prev[u];65 while(tmp != v)66 {67 que[tot] = tmp;68 tot++;69tmp = prev[tmp];70 }71 que[tot] = v;72 for(int i = tot;i >= 1;--i)73 {74 if(i != 1)75 printf("%d->",que[i]);76 else77 printf("%d\n",que[i]);78 }79}808182int main()83{84 scanf("%d",&n);//输入结点数85 scanf("%d",&line);//输入路径数目86 int p,q,len;87 for(int i = 1;i <= n;++i)//初始化存储数组88 {89 for(int j = 1;j <= n;++j)90 {91 c[i][j] = maxint;92 }93 }94 for(int i = 1;i <= line;++i)//往存储数组里存放路径95 {96 scanf("%d%d%d",&p,&q,&len);97 if(len <c[p][q])//如果两个点之间有多条路，取路径较短的那一条98 c[p][q] = len;99 c[q][p] = len;//该语句根据实际情况写，用于无向路径中100 }101 for(int i = 1;i <= n;++i)//初始化标记数组102 dist[i] = maxint;//该数组记录从起点到该点的最短路径长度103104105 dijkstra(n,1,dist,prev,c);106 printf("从源点到最后一个顶点的最短路径长度为：%d\n",dist[n]);107 printf("从源点到最后一个顶点的路径为：");108 searchpath(prev,1,n);109}全局最短路求图中所有的最短路径。
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最短路问题
例6.7 求从1到8的最短路径
1
1 2 10 4 5 6 4 2 7
2
5
6 9 5 3 8 4
3
3
7
6
8
最短路问题
X={1}, w1=0
p1=0
1
1
2 p4=1 4 5 2 4 10
2
5
6 9 5 3 4 8
3
3
7
6
6
7
8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1
例6.7 如右图所示中按dijkstra算 法可得P(v1)=5为从vs→v1的最短 路长显然是错误的，从vs→v2→v1 路长只有3。
v2 8
-5
vs
5
v1
最短路问题
例6.8 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初， 公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购 置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用 就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用 就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年 内购置费用和维修费用总的支付费用最小。已知：
设备每年年初的价格表 年份 年初价格 1 11 2 11 3 12 4 12 5 13
最短路问题
设备维修费如下表
使用年数
每年维修费用
0-1
5
1-2
6
2-3
8
3-4
11
4-5
18
解：将问题转化为最短路问题，如下图：用vi表示“第i年年 初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进的设备一 直使用到第j年年初。
最短路问题
X={1,2,4}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10
1
2
5
6 9 5 3 8 4
3
3
7
6
8
min {c16,c23,c25,c47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3 X={1,2,4,6}, p6=3
最短路问题
最短路问题
从上例知，只要某点已标号，说明已找到起点vs到 该点的最短路线及最短距离，因此可以将每个点标 号，求出vs到任意点的最短路线，如果某个点vj不能 标号，说明vs不可达vj 。 注：无向图最短路的求法只将上述步骤2将弧改成边即可。
最短路问题
例6.6 求下图v1到各点的最短距离及最短路线。
4. 选一个点标号 b( l ) min k ( i , j ) | ( i , j ) B, 在终点vl处标 j 号b(l), 返回到第2步。 3. 计算集合B中弧k(i，j)=b(i)+dij的标号
最短路问题
例6.5 求下图v1到v7的最短路长及最短路线
T标号
②
P标号
7
5
⑤
5
8 0 ①
16 v3 17 V2 （16,1） (22,1) 30
8 6 6
5 10 5 ③ 2 ④ 2 3 5
37 4
9
10 14 7 11
⑦ 11
2 2
2 4
⑥ 4
最短路问题
v1到v7的最短路长及最短路线如图所示：
②
8 0 ① 2 6 2 ④ 2 5 ③ 3
5
⑤
5
3 4
10
⑦ 11
7 2 ⑥ 4
v7已标号，计算结束。从v1到v7的最短路长是 11, 最短路线： v1→ v4 → v6 → v7
最短路问题
定义： 1）人—M（Man），狼—W（Wolf）， 羊—G（Goat）， 草—H（Hay） 2） 点—— vi 表示河岸的状态 3） 边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj
4） 权——边 ek 上的权定为 1
我们可以得到下面的加权有向图
最短路问题
状态说明： v1,u1 =( M,W,G,H ); v2,u2 =(M,W,G); v3,u3 =(M,W,H); v4,u4=(M,G,H); v5,u5 =(M,G) 此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
2
v1 v5
v3
最短路问题
求网络图的最短路，设图的起点是vs,终点是vt ,以vi为起点vj 为终点的弧记为 (i, j) 距离为dij P标号(点标号)：b(j) —起点vs到点vj的最短路长； T标号(边标号)： k(i,j)=b(i)+dij， 步骤： 1. 令起点的标号；b(s)＝0。
2. 找出所有vi已标号vj未标号的弧集合 B={(i, j)} 如果这样的 弧不存在或vt已标号则计算结束；
W13 =11+5+6=22
W34 =12+5=17
W36 =12+5+6+8=31
6 59 41 31 23 18
W24 =11+5+6=22 W25 =11+5+6+8=30 W26 =11+5+6+8+11=41
v1 16 v2 22 30 41 v4 23 41
59
W45 =12+5=17 W46 =12+5+6=23
X={1,2,3,4,5,6,7}, p3=8
最短路问题
X={1,2,3,4,6,7}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 p3=8
1
2
5
6 p5=6 5 3 8 4 9
3
3
7
6
8
p7=3
p8=10
min {c38,c58,c78}=min {8+6,6+4,3+7}=min {14,10,11}=10
最短路问题
X={1,2,4,6,7}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10
1
2
5
6 p5=6 5 3 8 4 9
3
3
7
6
8
p7=3
min {c23,c25,c75,c78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6 X={1,2,4,5,6,7}, p5=6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
最短路问题 W =11+5=16
12
把所有弧的权数计算如下表，把权数赋到图中，再用 W35 =12+5+6=23 W14 =11+5+6+8=30 Dijkstra算法求最短路。
W15 =11+5+6+8+11=41
2 W16 =11+5+6++8+11+18=59 1 16 2 3 4 5 =11+5=16 W 23 6 1 3 22 16 4 30 22 17 5 41 30 23 17
X={1,2,3,4,5,6,7,8}, p8=10
最短路问题
X={1,2,3,4,6,7,8}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 p3=8
1
2
5
6 p5=6 5 3 8 4 9
3
3
7
6
8
p7=3
p8=10
1到8的最短路径为{1，4，7，5，8}，长度为10。
4
②
4 4 6 9
7 11 3 6 9 12 3 3 6
6
⑤
2
12 18 8
16 24 12 18 24
0 ①
2
5 5
3 ③
8
⑥
⑧ 18
1
2
6
④ 2
8 10
⑦
6
最短路问题
v1到各点的最短距离及最短路线如图所示：
②
4 6 7 3 9 3 8
6
⑤
2
12
0 ①
2
5
③
⑥
6
16
⑧ 18
1
④ 2
18
⑦
所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短 路线就是红色的链。
X={1,2,4,6}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10
1
2
5
6 9 5 3 8 4
3
3
7
6
8
p7=3
min {c23,c25,c47,c67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3 X={1,2,4,6,7}, p7=3
运筹学
( Operations Research )
运 筹 帷 幄 之 中
第六章
图与网络分析
Graph Theory and Network Analysis
决 胜 千 里 之 外
最短路问题
如何用最短的线路将三部电话连起来？ 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，连接三顶点的路 线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显然 是二边之和（如AB∪AC）。
17 v5 31 23 18 v6
16 v3 17 22 30
W56 =13+5=18
最短路问题
最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53，最短路径有两条： v1→v3→v6和 v1→v4→v6