高等数学实验指导书8
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实验八 无穷级数
8.1 实验目的
掌握利用Mathematica 软件进行级数的有关计算的方法； 通过实验进一步熟悉无
穷级数的一些基本概念。
8.2 实验内容
一、 常数项级数 例1 计算∑∞
=+1
)1(1
n n n 。 [实验]输入：
得结果：1
例2 设,,2)1(21
∑==-+=n i i n n n
n u s u 计算1s 、2s 、…、30s ，及∑∞
=1n n u 。
[实验]输入：
得结果：
{0.50000000,1.2500000 ,1.3750000,1.5625000,1.5937500,1.6406250,1.6484375,1.6601563 ,1.6621094 ,1.6650391 ,1.6655273 ,1.6662598 ,1.6663818 ,1.6665649,1.6665955,1.6666412,1.6666489 ,1.6666603 ,1.6666622 ,1.6666651 ,1.6666656 ,1.6666663,1.6666664,1.6666666,1.6666666 ,1.6666666 ,1.6666666 ,1.6666667 ,1.6666667 ,1.6666667} 3
例3 设,,1
1
∑===n
i i n n u s n u 计算10s 、100s 、1000s 、10000s 、100000s 、200000s 、
10ln 10-s 、100ln 100-s 、1000ln 1000-s 、10000ln 10000-s 、100000ln 100000-s 、
200000
ln 200000-s ，及∑∞
=1
n n u 、∑=∞
→-k
n n k k u 1
)ln (lim 。 [实验]输入：
得结果：
2.92897
5.18738 7.48547 9.78761
12.0901 12.7833 0.626383 0.582207 0.577716 0.577266 0.577221 0.577218
再输入：
得结果：∞
0.577215664901532860606512090083
例4 设,,1
)
1(1
1
∑=-=-=n
i i n n n u s n u 计算10s 、100s 、1000s 、10000s 、100000s 、200000s ，及∑∞
=1n n u 。
[实验]输入：
得结果：
0.645635
0.688172 0.692647
0.693097
0.693142
0.693145
Log[2]
0.693147180559945309417232121458
二、幂级数
例5 求幂级数∑∞
=-
1
)1 (
n
n
n
n
x的和函数。
[实验]输入：
得结果：-Log[1+x]
例6 求幂级数∑∞
=+
01
n
n
n
x的和函数。
[实验
]输入：
得结果：
再输入：Limit [f , x→0]
得：1
例7 求sin x在x0=0处的19阶幂级数展开式；再分别取n=1,3,5,…,19,作出sin x在x0=0处的n阶幂级数展开式及sin x的图象，观察sin x的幂级数逼近sin x的效果。
[实验]输入：Series[Sin[x],{x,0,19}]
得结果：
再输入：
得结果：
双击其中任一幅图象，便可观察到sin x 的幂级数逼近sin x 的效果。
说明：Series[f , x , x 0, n
] generates a power series expansion for f .
三、 傅里叶级数
例8 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨
⎧<≤<≤--=.
0,
1,
0,1)(ππx x x f 可将)(x f 展开成傅里叶级数,请作出它们
的有关图像，并观察该傅里叶级数逼近)(x f 的效果。
[实验]输入：
f[x_]:=Which[x<-2 Pi,-1,x<-Pi,1,x<0,-1,x
s[x_]:=Sum[b[n]*Sin[n*x],{n,1,i}]; Plot[{f[x],s[x]},{x,-3Pi,3Pi},PlotStyle → {RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]}]]; 得结果：
双击其中任一幅图象，便可观察到该傅里叶级数逼近)
f的效
(x
果。