正交矩阵与正交变换的性质及应用
正交矩阵与正交变换浅述
正交矩阵的特征值的模为1；
正交矩阵的实特征值为1或-1； 正交变换的特征值为1或-1。（正交变换见下页“几何性质”）
正交矩阵的几何性质
①标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵，此即在力学中广泛应用的“正交变换矩阵”
n维欧氏空间 Vn ( R) 的一组标准正交基 1 , 2 ,, n
满足 (1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A 则 (1 , 2 ,, n )为标准正交基 ，即可推出 A为正交矩阵
正交矩阵的代数性质
性质①：转逆同型
由上式，AAT=ATA=1
又可据AA-1=A-1A=1得A是可逆矩阵；
故，对于正交矩阵，AT=A-1； 性质②：转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、Am 均为正交矩阵。 可利用性质①进行证明 性质③：行列式为±1 对ATA=1两边取绝对值，|A|2=|AT||A|=1; 即可得知 性质④：特征值的性质
②行列式取值决定空间变换种类
A为第一类的(旋转)，若|A|=1；(此即正交变换）
A为第二类变换的，若|A|=-1。 ③正交变换不改变向量的夹角和范数
即Ax,Ay>=<x,y>
||Ax||=||x||
有道是：“境自远尘皆入咏，物含妙理总堪寻”。 祝大家学好理论力学，深层次地体悟到数理之美！
正交矩阵与正交变换浅述
武汉大学 弘毅学堂 李奇正 2017年9月7日
正交矩阵的定义
T A (aij ) (1 ,2 , , n ) （1 ,2 , ,n ) R n n
A为正交矩阵
i ' j
1, i j, 1, i j , i j ' i, j 1,2,, n 0, i j, 0, i j ,
正交矩阵运算法则
正交矩阵运算法则正交矩阵是线性代数中的一种重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍正交矩阵的定义和性质，并探讨如何使用正交矩阵进行运算。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：其转置矩阵等于其逆矩阵。
换句话说，对于一个n阶正交矩阵A，有A^T * A = I，其中I是单位矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
这是由于行列式的性质以及正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
2. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
这是由于正交矩阵的定义以及其转置矩阵等于其逆矩阵。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交归一基。
这是由于正交矩阵的定义以及其行（列）向量是单位向量且两两正交。
4. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。
5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。
三、正交矩阵的运算法则1. 正交矩阵与向量的乘积对于一个n阶正交矩阵A和一个n维列向量x，它们的乘积Ax表示将向量x绕原点进行旋转和伸缩的变换。
由于正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交，所以乘积Ax后的向量也是单位向量。
同时，由于正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，所以可以通过A^T * Ax = x来恢复原始向量x。
2. 正交矩阵的乘法两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。
例如，设A和B都是n阶正交矩阵，则有(A * B)^T * (A * B) = B^T * A^T * A * B = B^T * B = I。
这说明了两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
3. 正交矩阵的转置正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。
例如，设A是一个n阶正交矩阵，则有(A^T)^T * A^T = A * A^T = I。
这说明了正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
正交变换的性质
正交变换的性质
正交变换是数学中一种非常有用的变换，它能够将一个空间中的点映射到另一个空间中的点，它的应用有很多。
在力学和计算机科学等领域，正交变换是很重要的。
正交变换的定义是：它是一种变换，它可以将一个n维的变量X 映射到另一个n维的变量Y。
它主要特点是它能够保持空间中的距离，即X中的两个向量的欧几里德距离在Y中仍然是相同的。
正交变换有多种类型，其中最常用的是旋转变换和投影变换。
旋转变换是指把一个空间中的一个点旋转到另一个空间中的一个点，而投影变换则指把一个空间中的一个点投影到另一个空间中的一维、二维或三维空间中。
正交变换有许多性质，其中最明显的是它保持空间中的对称性。
它的应用最广泛的地方是矩阵运算中。
正交变换的运算一般十分简单，但也可以实现许多非常复杂的操作，比如3D图形渲染。
正交变换在几何、物理学和化学等学科中都有着十分重要的应用，比如在几何学中它可以用来求解同类平面问题，它也可以用来求解三维几何中的变换关系。
在求解物理中的力学问题时，正交变换也有着十分重要的应用，特别是在涉及到某一特定系统时。
在生物学和化学中，正交变换也被用来探讨分子的结构和力学特性。
总之，正交变换是通过映射一个空间中的点到另一个空间中的点，使空间坐标系统保持不变，而达到相应变换的数学方法。
正交变换在几何学、力学、物理学、计算机图形学以及生物学和化学等多个学科
都有着重要的应用。
标准正交矩阵
标准正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在物理、工程等应用领域也有着广泛的应用。
本文将对标准正交矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、应用等方面的内容。
首先，我们来看一下标准正交矩阵的定义。
一个n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果它满足下面的条件，A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^(-1)，即A^T·A=I，其中I是n阶单位矩阵。
另外，如果A的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0），那么A也被称为标准正交矩阵。
标准正交矩阵具有一些重要的性质。
首先，它的行列式的值为1或-1，这是因为A^T·A=I，所以|A^T|·|A|=|I|=1，因此|A|^2=1，所以|A|=1或-1。
其次，标准正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵，即A^(-1)=A^T。
另外，标准正交矩阵的行（或列）向量构成一个标准正交基，这对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常有用。
标准正交矩阵在实际中有着广泛的应用。
在几何学中，标准正交矩阵可以表示旋转、反射等刚体运动，它可以保持向量的长度和夹角不变。
在信号处理中，标准正交矩阵可以用来进行正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换等。
在密码学中，标准正交矩阵也有着重要的应用，如Hadamard矩阵就是一种特殊的标准正交矩阵，它被广泛应用于分组密码算法中。
总之，标准正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过对标准正交矩阵的深入理解，可以帮助我们更好地理解线性代数的知识，同时也可以为我们在实际问题中的应用提供有力的工具。
希望本文对读者对标准正交矩阵有所帮助，也希望读者能够进一步深入学习和探讨这一重要的数学概念。
正交矩阵公式
正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。
2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。
三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。
例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。
同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。
2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。
例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。
3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。
4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。
例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。
5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。
例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。
四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。
它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。
正交矩阵的例子(一)
正交矩阵的例子(一)正交矩阵正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将列举一些例子并详细讲解正交矩阵的定义和性质。
正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵矩阵：1.所有列向量（或行向量）都是单位向量。
2.列向量（或行向量）两两正交（即内积为0）。
一般地，一个n×n的矩阵A是正交矩阵，当且仅当满足以下等式：A^T * A = I 或 A * A^T = I其中，A^T是矩阵A的转置，I是单位矩阵。
正交矩阵的例子下面是一些常见的正交矩阵的例子：1. 二维平面上的旋转矩阵对于一个二维平面上的点(x, y)，通过一个逆时针旋转θ角度后的点(x’, y’)可以通过以下公式表示：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)这个旋转可以通过一个2×2的矩阵表示：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)这个矩阵是正交矩阵，它的每一列都是单位向量，并且两列向量互相正交。
2. 三维空间中的旋转矩阵在三维空间中，我们可以通过绕坐标轴进行旋转。
例如，绕x轴逆时针旋转θ角度的旋转矩阵可以表示为：1 0 00 cos(θ) -sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)同样地，绕y轴和z轴的旋转矩阵也是正交矩阵。
3. Householder变换矩阵Householder变换是一种特殊的线性变换，可以将向量镜像到超平面上。
对于一个单位向量v，其对应的Householder变换矩阵可以表示为：H = I - 2 * v * v^T其中，I是单位矩阵，v^T是向量v的转置。
Householder变换矩阵也是正交矩阵。
正交矩阵的性质正交矩阵具有许多有用的性质，包括：1.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A^(-1) = A^T。
2.正交矩阵的行列式的绝对值为1，即|A| = ±1。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
正交矩阵的概念
正交矩阵的概念正交矩阵是在数学领域中一种非常常见的概念。
它是一种矩阵，可以表示一系列线性变换。
正交矩阵可以把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°。
正交矩阵的性质正交矩阵有以下几个性质：1、正交矩阵是一种方阵，即矩阵的行数和列数相同，行列式的值为1或-1。
2、正交矩阵是对角矩阵的特殊情况，对角线上的元素均为1或-1，其余元素均为0。
3、正交矩阵的元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
4、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。
正交矩阵的应用正交矩阵在数据处理和矩阵运算中有着广泛的应用，其优点包括： 1、可以有效地简化矩阵运算，因为正交矩阵的乘积也是一个正交矩阵；2、可以有效地把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°，从而提高数据分析的精度和计算效率；3、正交矩阵可以有效地处理稀疏数据，从而提高算法的性能；4、正交矩阵可用于消去系统中的噪声，可以有效地提高信号/图像的质量。
正交矩阵的定义正交矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素满足特定的条件：1、对角线上的元素必须为1或-1；2、对角线之外的元素必须为0；3、对角线外的元素之间的乘积必须相等（其乘积一定为0）；4、元素的乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵；5、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。
总结正交矩阵是数学中一种非常常见的概念。
它具有对角线为1或-1、对角线之外的元素为0、元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵、正交矩阵的转置等于其逆矩阵等特殊性质，广泛应用于数据处理和矩阵运算中，可以提高算法的性能，有效地消除系统中的噪声，提高信号/图像的质量。
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第 1 页 共 10 页 正交矩阵与正交变换的性质及应用 程祥 河南大学数学与信息科学学院 开封 475004 摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质
1.1 正交矩阵的的定义及其判定 定义1 n阶实矩阵A, 若满足EAA', 则称A为正交矩阵. 性质1 A为正交矩阵1'AA. 性质2 A为正交矩阵'1,,,1,2,,0,,ijijijnij.的列向量为Ai.
性质3 A为正交矩阵'1,,1,2,...0,,ijijijnij.的行向量为Ai. 1.2 正交矩阵的性质 性质1]3[ 若A为正交矩阵则*'1,,AAA均为正交矩阵. 证明 有EAAAAEAAAA1''11''''')()(,)()(, EAAAA*''**)()(,
可得 *'1,,AAA均为正交矩阵.
性质2 若A为正交矩阵则11)det(或A 证明 对EAA'两边同取行列式, 可得 1))(det(2A, 第 2 页 共 10 页
故 11)det(或A.
性质3]4[ 若BA,为正交矩阵，则AB也为正交矩阵. 证明 有EAAAABBABAB''''))((, 可得 AB为正交矩阵. 性质4 正交矩阵的特征值的模为1. 证明 设A为正交矩阵，复数为其任一特征值X为其对应的特 征向量，即XAX，0X 两边取转置 '''XAX，
由此得 XXAXAX''',
有EAA'可得 XXXX'2',
从而1. 性质5 正交矩阵的实特征值为1. 性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A为n阶正交矩阵且1)det(A，n为奇数 则 ''')()1()1(AEAEAAAAEnn
AEn)1(AE, 故 0AE, 即A有特征值1. 第 3 页 共 10 页
性质7 行列式为1的正交矩阵必有特征值1. 证明 设A为正交矩阵且1)det(A 则 ''')(AEAAEAAAAAE
AE, 故 0AE, 即 A有特征值1.
性质8]6[ 设为正交矩阵A的特征值，则1也为A的特征值. 证明 因为A的特征值 故存在特征向量A使得 从而 ''AAA,
得 1'A,
即1为'A的特征值, 从而 1也为A的特征值.
性质9]8[ 设A为一n阶正交矩阵，有一特征值为)0(i，相应的特征向量为iyx，则.0,'''xyyyxx 证明 有))(()(iyxiiyxA, 得
yxyxA, 第 4 页 共 10 页
两边转置得
'''''
yxAyx
,
令 yxZyyYxxX''',,, 故
YZZXYZZX
,
计算可得
YZZXZXYYXZZYXZZZYX2)()(2
22222222
,
比较第一行元素可知 ZYX2)1(22, )()1(22YXZ,
又A为正交矩阵，有性质4知 122,
代入并注意到0有 )(2YXZ,
)(2YXZ,
可得 0))((22YX即YX, 易得 0Z, 从而 0,'''xyyyxx.
下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用. 第 5 页 共 10 页
例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,BABABA使得. 证明 设有正交矩阵22,BABABA使得, 则'22''',,BABABA以及都是正交矩阵, 且 BABABABA'22',, 故 BABA,为正交矩阵,
从而 BAABEBABAE2))((,
BAABEBABAE2))((, 两式相加，得 EE42, 矛盾 故得证. 例2 设1)(,0,BArBAnBA证明阶正交方阵且为
证明 因BA,为正交方阵，故 1,AEAA, 又 ABBA估,0, 从而 12ABABA,
得 BA有特征值-1,
故 0)1('BAAABAEn,
即 第 6 页 共 10 页
0,0)1()1('BABAABAAnn,
因此 1)(BAr. 例3]1[ 设1AA为一三阶正交方阵且证明：存在一实数31,kk 使得023EkAkAA. 证明 设321，，的三个特征值分别为A则
32131322123213)()()(AEf,
因为A为奇数阶正交矩阵且1A, 故 A有特征值1，不妨设11则122321A, 于是 32313221323211,1,
从而 1)(23kkAEf,
其中),(13232为实数或共轭虚数k, 有因正交矩阵的特征值的模为1, 故
323232)(, 得 2232,
于是 31k, 从而 023EkAkAA,31k. 第 7 页 共 10 页
例4]7[有椭球面1222222czbyax的中心，引三条两两垂直的射线，分 交曲面于点321,,PPP ，设332211,,rOPrOPrOP.证明：
222232221
111111cbarrr
.
证明 设iiiiOP,,的方向余弦为， 31i 则 iiiiiiirrrP,,点坐标为，且1222iii,
代入曲面方程可得
22222221
cbar
iii
i
,
故 223222122322212232221232221
111cbarrr,
有321,,OPOPOP两两垂直可得333222111为正交矩阵, 故 1,1,1232221232221232221,
从而有
222232221
111111cbarrr
.
2.1正交变换的定义及等价条件 定义2：欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的V,，都有),(),(TT. 正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画. 定理]2[ 设T是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等