聚合物流变学全套公式

1克罗内克尔符号
九个分量

2、哈密顿算符
用于矢量运算时

3、应力张量
应力张量是应力状态的数学表示。数学上应力为二阶张量，三维空间中需九个
分量（三个正应力分量和六个剪应力分量）来确定。

用应力张量形式表示为
其中， 第一个下标表示力的作用面的法线方向，第二个下标表示力作用的方
向，如σxy 表示作用在与x垂直的平面上的应力分量，方向指向y。当i=j时，
表示应力方向与外法线方向相同，称为应力张量的法向分量， σxx σyy σzz 分别垂
直于与x、y、z垂直的平面上。当i≠j时，表示应力分量作用在相应面的切线方
向上，称为剪切分量，如σxy σyz σzx。
按照Caucky应力定律，在平衡时物体受的合外力和合外力矩等于0，所以平
衡时应力张量为对称张量，只有6个独立分量。三个法向应力分量和三个剪切应
力分量。

1()0()ijijijeeij










111213
212223
313233

100
010001





123123i
i

eeeexxxx





ii
i
i

ex

其中，

0limsFs

xxxyxz
yxyyyz
zxzyzz











..
....

xxxyxz

yyyz
zz










4、全导数形式的连续性方程
5、
为全微分-偏微分关系算符,也叫实质微分算符.
其中, 左边表示的函数称:随体导数,指物理量随着流体质元一起运动时所发
生的变化率,或者是当流体的微元体积上的一点在dt时间内从进入微元体积的空
间位置(x,y,z)移动到离开微元体积的的空间位置(x+dx,y+dy,z+dz)时,物理量随时
间的变化率. 它由两部分组成,一是物理量的局部变化,即在空间一个固定点上随
时间的变化,由场的不稳定性引起;二是物理量的对流变化,即由于流体质点的运
动,从一点转移到另一点时所发生的变化,由空间位置变化引起的变化,为对流导
数,由场的不均匀性引起. 适用于牛顿或非牛顿\可压缩或不可压缩流体
6、动量方程

其他形式的动量方程
（1）

（2）

....dVVVVdivVdt
流体的质量散度，反映了流动场中某一瞬间区
的流量发散程度

(410)xyzDvvvDttxyz


.(228)dvgdt
.()..(229)dvPgdtPggradPdivg



yx
xxxzx

x

dvPgdtxxyz








yxyyyzy
y

dvPgdtyxyz









yz
xz
zzz

z

dvPgdtzxyz







（3）
在x方向

在y方向
在z方向
式中左边括号中是流场中某微团的加速度,即随流导数,由两部分组成,第一项
是表示速度随时间的变化率,是局部加速度,其余三项是随空间坐标变化,是迁移
加速度. 由于ρ是单位体积的质量,所以左边相当于力,是惯性力项,反映单位时间
单位体积内流体动量的增量.
• 右边第一项是静压力项,反映静压力对动量的影响;
• 第二项是粘性力项,反映流体粘性对动量的影响;
• 第三项是重力项,反映重力对动量的影响.
• 可见, 惯性力=静压力+粘性力+重力.
• 任何流体都适用.
• 由于高分子流体的粘度很大,重力常忽略不计.影响流体的流动主要
是压力和粘弹力.流动形式可区分为:压力流和拖曳流.
7、能量方程

流动场中普通的能量守恒方程

yx
xxxxxxzx

xyzx

vvvvPvvvgtxyzxxyz










yyyyxyytzy
xyzy

vvvvPvvvgtxyzyxyz









yz
xz
zzzzzz

xyzz

vvvvPvvvgtxyzzxyz










...(.).EEvqvgvt




.....(232)vdTPcTPvqvPvdtTPTvqvT：

：
用于求温度分布的能量守恒方程
式中左边是单位时间内某一点温度的变化,对于不可压缩高聚物流体,此项可忽略
不计.第二项是由热传导引起的温度变化,第三项是由机械功变为热能引起的温度
变化.
8、牛顿流体的本构方程

9、幂律流体的本构方程

y
x
z

vxyz

yy
xx
z

xxyyzzxy

y
x
z

y
x
zz

xzyz

qqqTTTTPcvvvTtxyzxyzTvvvvvxyzyxvvvxyzvvvvzxzy






















(454)









x
yx

vry






1nkrr

