大学 高数练习册答案
高等数学练习册答案
第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界.[√]2、函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是表示同一函数.[╳]答：不是同一函数，因为)(x f 的定义域是)(∞+−∞，而)(x g 的定义域)0(∞+，3、函数212)cos 1()(x x f −=与函数x x g sin )(=是表示同一函数。
[╳]答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同.4、)1ln()1()(x x e x f xx −+⋅−=+函数，则既是奇函数又是偶函数)(x f .[√]答：是,[]0)(,01000)(,0)1ln(00==−=+<==−+=−≥+x f e x x x x f x x x x x x x 从而，，当从而，，当综上述，对任意，x f x ()≡0,，，故)(0)()(0)(x f x f x f x f −==−==−既是奇函数又是偶函数)(x f .5、的最大整数，表示不超过函数x x ][则.1][)(的周期为x x x −=ϕ[√]答：是,1+<≤∈n x n R x ，若任取，n x =][则， ϕ()x x n=−[)1)1(,1]1[)1(,211+++−=+++−=+++∈+x n x x x n n x ϕ，此时=−=x n x ϕ()，故是以为周期的周期函数ϕ()x 1。
二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是(A )（A ）||ln xey =（B ）2x y =（C ）44xy =（D ）xx y sgn =）上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。
的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数； 最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ3、是 函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f （A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数； 奇函数； a D C B A )()()()(三、填空题1、＝则时且当设 z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++=.解：2 , 0 x z y ==时因 2)(x x f x =+∴ 故有xx x f −=2)()()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为，则设 )()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解：由 解得 ，650162+−≥−≤≤x x x 由 解得 或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是 ，，−1236∪.3、[]＝则．， ；，设)(0202)(x f f x x x x f ⎩⎨⎧≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−⎧⎨⎩4222，；， 四、)()(42411)(2x x f x x x x x x f x φ的反函数求．，；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞−=.解：当时，，即−∞<<==x y x x y1−∞<<y 1当时，， ．141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy 当时，， ．42162<<+∞=∴=>x y x y x ylog ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<<∞−=φ．，；，；，的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 五、12)1()(222++=+x xx x f x x f 设 ，)(x f 求。
华南理工大学高数习题册答案汇总
第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+； （2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是 全平面 ；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12； （3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =， 证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =， 证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要 条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦； （6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在， 故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； （2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--； （3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂； 解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂； 证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--； （2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23； （6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变 解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩； （4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-； （5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩， 法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。
高数练习册答案4(安理)
ds = x′2 + y ′2 + z ′2 dt = adt ， ∫ x 2 ds = ∫
Γ
0
2 2 2 a cos 2 t ⋅ adt = π a3 。 3 3
(5)
∫L ( x + y ) dy ，其中 L 为 x
2
+ y 2 = a 2 上半圆周从 A ( − a,0 ) 到 B ( a,0 ) 的一段；
= ∂Q ，得 v ∫ L+(− L ) = 0 ，从而 ∂x
1
∂P −4 xy = ∂y 2 x2 + y 2
(
)
2
∫ =v ∫ =∫
L L1
2π
2ac ⋅ 1
0
2 a (− s ) + as ⋅ ac dt = 0 。 a2
三、计算与证明题
1. 计算下列曲线积分： (1)
∫ ( x + y ) ds ， L 为 x
5. 设 L 是从 A(1,6) 沿 xy = 6 至点 B (3, 2) 的曲线段，则 ∫ e x + y ( ydx + xdy ) = 0 。
L
解
⎛ 6 ⎞ ⎤ x+ y x+ y ⎡ 6 dx + x ⎜ − 2 ⎟ dx ⎥ = 0 。 ∫L e ( ydx + xdy ) = ∫L e ⎢ ⎝ x ⎠ ⎦ ⎣x
2
注
v ∫L e
y2
y y y dy = ∫ e y dy = 0 错误。应： v ∫ e dy = ∫ e dy + ∫ e dy = 0 。 0 L 0 1
0
2
1
2
0
2
3. 设 L 是圆周 x 2 + y 2 + 2 y = 0 ，则 v ∫
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第五章定积分第一节定积分的概念及性质一、选择题1、A2、D二、填空题1、负2、［*/3、b-a三、1、1 2、0 -4四、1、z 2> < 3> < 4、>五、解：定积分处理问题的四个步骤为：1、分割：将时间区间［儿乙］任意分成n个小区间M，商= l,2,...,n),每个小区间所表示的时间为;各区间物体运动的路程记为△SiQ = 1,2,・•。
2、近似：在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程。
在每个小区间"E ］上任取一时刻夺，以速度V⑥近似代替时间段 "，讪上各个时刻的速度,则有△仰=1,2,・••/)・3、求和：将所有这些近似值求和，得到总路程S的近似值，即S = £△$"£・/=! /=14、取极限：对时间间隔四乙］分割越细，误差越小。
为此记A = max{An),\<i<nn当人TO时和式的极限便是所求路程S,即S = lim£v ㈤山二* 1=1 /=!那么在一秒内经过的路程为S=、20=l ・六、解：设f(x) = /二则/⑴=/站(2尤-1) 当JCG(O,-)时,f (x)<0.2 Ji当xe (— ,2)时,f (x) > 0.i _i・•・、心的极小值为/'(5)=厂；2・.・ f(0) = l,f(2) = e~:.| < J / dx < | /dx即2e^< f e x X dx<2e2••-2° < [ / dx <-2e4七、证明："⑴二土在[1,4]±为减函数.・.sA⑴第二节微积分基本公式一、填空题1、C2、&「23、2xsin V44、05、「Vsin A入r i2 r »小+x 小+x 二、求定积分1、^Vx(l + Vx)Jx = (&2 +：Q L = 45：。
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参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高等数学练习册答案
第一章函数的极限与连续【基本要求】1、熟练掌握基本初等函数的表达式、图形及主要性质；2、了解初等函数的概念，了解极限的直观概念（一种变化趋势），无穷小量、无穷大量的概念；3、熟练掌握函数极限四则运算法则和无穷小量的性质，掌握求极限的各种方法；4、掌握两个重要极限，会用它求有关极限问题；5、理解函数的连续性和连续函数的概念，会判断一、二类间断点，知道闭区间上连续函数的性质．第一节函数【知识要点】邻域、函数、基本初等函数、初等函数、复合函数、分段函数的概念；求定义域、值域的方法；建立函数关系．【基本训练】x+<的中心是2吗？1、邻域21答案：-22、确定函数的两要素是定义域和值域吗？答案：不是。
确定函数的两要素是定义域和对应法则。
3、函数有哪几种表示方法？答案：解析法、图示法、表格法。
4、我们常用什么方法研究函数？答案：图示法。
f x=?5、函数()答案：是y=是否为初等函数？6、函数x答案：是。
7、你能举出一个既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 答案：()0f x =．8、奇函数的图形以（ ）对称；偶函数的图形以（ ）对称． 答案：原点；y 轴． 【能力提高】 一、单项选择题：1、C2、C3、B4、C5、D 二、确定下列函数的定义域：(1)y = (2) lg(1)y x =-+答案：[)(]2112,,- 答案：()11,- (3) x y cos = （4）21arcsin 5x y +=答案：2222k ,k ,k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦答案：[]22,- （5）ln(sin )y x = (6) ⎩⎨⎧<<-<≤--=20301x x x x y ，，答案：()2(21)k ,k ,k Z ππ+∈ 答案：[)()1002,,- 三、下列各题中()f x 和()g x 是否相同？(1) 3223()()()f x x ,g x x == (2) 2()()f x x,g x == 答案：不同 答案：不同(3) 22()1()sin cos f x ,g x x x ==+ (4) ()()f x x ==答案：相同 答案：相同四、已知()210201113x x f x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩，求：(05)(0)(2)f .,f ,f -． 答案：(05)1(0)2(2)1f .,f ,f -=-==五、已知1(1f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x >，求()f x ． 答案：令1u x =，1x u=． ()1111f u u u ⎛⎛=+=+ ⎝⎝= ()f x =六、已知()f x =[]1()f ,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭．答案：11f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；[]()f f x ==．七、确定下列函数的奇偶性：(判定奇偶性,先要求定义域) (1) ()4cos f x x x = (2) ()1cos xf x e=答案：偶函数 答案：偶函数 (3) ()1lg1xf x x-=+ (4) ()ln f x x = 答案：奇函数 答案：非奇非偶函数八、下列各题的函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) ()21sin 2xf x =答案：21()2,sin u f u u v ,v w,w x==== (2) ()2sin (cos3)f x x =答案：()2,sin cos ,3f u u u v,v w w x ====(3) ()f x =答案：()21ln(sin 1)2f x x =+，()21ln 1sin 2f u u,u v ,v x ==+=(4) arctan y =答案：22,arctan 1y u u v,v x ===-九、在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D A R O h EBC设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((22hS R h R =+=+第二节 数列的极限【知识要点】数列概念、数列极限存在的定义． 【基本训练】 1、数列是函数吗？ 答案：是2、如何在数轴上和平面直角坐标系上表示数列？3、下列做法是否改变数列的敛散性？（1）任意改变数列的有限项； 不会 （2）各项同取绝对值；会 （3）各项乘以同一常数k ； 会 （4）去掉所有偶数项．会 4、如果数列{}n x 极限存在，lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，则a 与b 相等吗？答案：是5、收敛的数列一定有界吗？ 答案：是6、无界的数列会收敛吗？ 答案：否7、有界的数列一定收敛吗？ 答案：不一定 【能力提高】观察下列数列的变化趋势，对存在极限的数列，写出它的极限：（1）1(1)nn x n+-= 答案：0（2）(1)nn x n =+- 答案：不存在（3）1sinn x n = 答案：0 （4）sin n nx n= 答案：0（5）sin n x n π= 答案：0 （6）sin(2)2n x n ππ=+ 答案：1(7) cos n x n π= 答案：不存在 （8）1n x = 答案：不存在（9）2121n n nx n n-⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩ 答案：2第三节 函数的极限【知识要点】函数极限、左右极限的概念、函数极限存在与左右极限的关系． 【基本训练】1、在讨论函数极限时自变量x 的变化趋势大体分为哪两种情况？ 答案：0x ,x x →∞→2、数列极限和函数极限的区别是什么？3、函数()f x 在点0x 处无定义，则函数()f x 在点0x 处一定无极限吗？ 答案：不一定4、函数()f x 在点0x 处有定义，且函数()f x 在0x 处极限存在，则极限值一定为0()f x 吗？ 答案：不一定5、函数()f x 在点0x 处左右极限一定相等吗？如果函数()f x 在点0x 处极限存在，它在点0x 处左右极限一定相等吗？答案：不一定；是6、如果函数()f x 在点0x 处左右极限存在且相等，函数()f x 在点0x 处极限存在吗？ 答案：存在n 为奇数n 为偶数【能力提高】一、从函数的图形观察极限是否存在，若有极限等于多少？ (1) 0lim cos x x →=（ 1 ）， 2l i m c o s x x π→=（ 0 ）， lim cos x x →+∞=（ 不存在 ）， l i m c o s x x →-∞=（不存在 ）；（2）0lim arctan x x →=（ 0 ）， 1l i m a r c t a n x x →=（4π）， lim arctan x x →+∞=（2π ）， l i m a r c t a n x x →-∞=（2π- ），l i m a r c t a n x x →∞=（不存在 ）；（3）()x f x a = (1)a >当03x ,x ,x ,x →→→+∞→-∞时； 答案：0lim 1xx a →=，33lim xx a a →=，lim xx a →+∞=+∞，lim 0xx a →-∞=．（4）当111x ,x ,x -+→→→时，2211()311x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩ 的极限．答案：21lim (21)1x x -→-=，1lim (31)4x x +→+=，11lim ()14lim ()x x f x f x -+→→=≠=,1lim ()x f x →不存在．二、单项选择题： 1、C 2、D 3、B三、设函数20()0x x a x f x ex ⎧+<=⎨>⎩ 在0x →时极限存在，求常数a 的值．答案：2lim ()lim 1xx x x a a,e -+→→+==，因为函数在0x →极限存在,故左极限和右极限相等,得1a =．四、设函数1121()21xxf x -=+，讨论函数在0x →时极限是否存在．答案：11112121lim 1lim 12121xxx x xx,-+→→--=-=++，0lim ()x f x →不存在．第四节 无穷小量与无穷大量【知识要点】无穷小量、无穷大量的概念与性质、无穷小量与无穷大量的关系． 【基本训练】 1、零是无穷小量吗？ 答案：是2、若lim ()x af x A →=，则在x a →时，()f x A -是无穷小量吗？答案：是3、有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量吗？ 答案：是4、无穷小量的商一定是无穷小量吗？ 答案：不一定5、无穷小量与有界函数之积仍然为无穷小量吗？ 答案：是6、无穷大量乘任意常数一定是无穷大量吗？ 答案：不一定7、无穷大量与无穷大量之差一定是无穷小量吗？ 答案：不一定8、当2x →时，下列函数中不是无穷小量的是（ C ）． A. 38x -B. 2sin(4)x -C. 2x e- D. ln(3)x -【能力提高】一、下列函数在什么情况下是无穷小量？什么情况下是无穷大量？ （1）xe -； （2）ln x ； 答案：x →+∞,xe -为无穷小; 答案：1x →,ln x 为无穷小；x →-∞,xe -是无穷大 0x +→，x →+∞,ln x 为无穷小（3）21x x +-； （4）23x x-； 答案：2x →-，21x x +-为无穷小 答案：3x →,23x x-为无穷小1x →,21x x +-为无穷大 0x →,23x x-为无穷大（5）51x -； （6）115x -． 答案：0x →，51x -为无穷小 答案：0x →，115x -为无穷小 x →+∞,51x -为无穷大x →-∞,115x -为无穷大二、当x →∞时，将()f x 表示为一个常数与无穷小量之和．（1）3321()1x f x x -=+；答案：3321lim 21x x x →∞-=+，33()21f x x =-+,在x →∞,331x -+为无穷小(2) 21()31x f x x -=+． 答案：212lim313x x x →∞-=+，25()33(31)f x x =-+,在x →∞,53(31)x -+为无穷小第五节 函数极限的运算【知识要点】函数极限的四则运算法则、两个重要极限及应用、无穷小量的比较． 【基本训练】1、下面的解法对吗？为什么？0011lim sinlim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅= 答案：错2、下面的解法对吗？为什么？221111212lim lim lim 01111x x x ()x x x x→→→-=-=∞-∞=---- 答案：错3、当0x →时，22x x -与23x x -哪一个是更高阶的无穷小量？ 答案：当0x →时，23x x -是比22x x -更高阶的无穷小量4、当1x →时，无穷小量1x -与（1）31x -，（2）21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 答案：3111lim13x x x →-=-，当1x →时，无穷小量1x -与31x -是同阶无穷小量。
大学高等数学习题及答案
高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。
高等数学上册习题册答案
高等数学上册习题册答案高等数学是大学中的一门重要课程，它对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力起着重要的作用。
而习题册作为高等数学学习的重要辅助材料，对于巩固和提高学生的数学水平至关重要。
在这篇文章中，我将为大家提供高等数学上册习题册的一些答案，帮助大家更好地学习和掌握这门课程。
第一章：极限与连续1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的极限。
解：我们可以通过直接代入法求得极限。
当x趋近于任意实数时，函数f(x)的极限为无穷大。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限。
解：我们可以通过化简的方法求得极限。
将分子进行因式分解，得到f(x) = (x + 2)，所以当x趋近于2时，函数f(x)的极限为4。
第二章：导数与微分1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的导数。
解：我们可以通过求导的方法求得导数。
对于函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，它的导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解：我们可以利用链式法则求得导数。
对于函数f(x) = e^x * sin(x)，它的导数为f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)。
第三章：微分中值定理与导数的应用1. 求函数f(x) = x^3在区间[0, 1]上的极大值和极小值。
解：我们可以通过求导和二阶导数的方法求得极值。
首先，求得f'(x) = 3x^2，然后求得f''(x) = 6x。
对于区间[0, 1]，当x = 0时，f''(x) = 0，所以函数f(x)在x= 0处取得极小值；当x = 1时，f''(x) = 6，所以函数f(x)在x = 1处取得极大值。
2. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程。
《高等数学》同步练习册(下)新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
合肥工业大学高数习题册上册答案
习题11- 函数1．设函数2,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，求（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2）()(0)f x f x∆-∆，()(0)f x f x -∆-∆（0x ∆>）．【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；（2）()(0)f x f x ∆-∆⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆-=⎪⎩⎪⎨⎧<∆∆-∆+>∆∆-=∆∆.0,1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x xx ()(0)f x f x-∆-∆)0(12)2(>∆-=∆-∆-=x x x 。
■2．已知21()1f x x x=+()f x ．【解】令x t 1=，则2111)(t t t f ++=，故2111)(x x x f ++=。
■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法）∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有)sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-2sin 2cos2)(2sin sin )(21221121212xx x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212xx x x x x x x -⋅-⋅+->-⋅-⋅+-≥012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。
方法2（导数法）∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f∴),()(+∞-∞∈↑x f 。
■4．设()f x 在[,]a a -上是奇函数，证明：若()f x 在[0,]a 上递增，则()f x 在[,0]a -上也递增．【证】∵对任意0,],0,[,2121><-∈a x x a x x ，有2121],,0[,x x a x x ->-∈--，∴由()f x 在)0](,0[>a a 上单调增加可得：)()(21x f x f ->-。