【K12学习】XX年中考数学一轮复习-反比例函数讲学案

XX年中考数学一轮复习-反比例函数讲学案XX年中考数学一轮复习第13讲《反比例函数》【考点解析】知识点一、反比例函数概念【例题】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是A．v=320tB．v=c．v=20tD．v=【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．【解答】解：由题意vt=80×4，则v=．故选B．【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式】关于反比例函数的图象，下列说法正确的是A．必经过点B．两个分支分布在第二、四象限c．两个分支关于x轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称【解析】反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形。

把代入得到左边≠右边；=4＞0，图象在、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．【解答】解：A、把代入得：左边≠右边，故本选项错误；B、=4＞0，图象在、三象限，故本选项错误；c、沿X 轴对折不重合，故本选项错误；D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；故选D．【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．知识点二、图象和性质【例题】已知反比例函数y=的图象经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是A．B．c．D．【答案】D【分析】反比例函数图象上的点横坐标和纵坐标的积为，把已知点坐标代入反比例解析式求出的值，即可做出判断．【解析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将代入，得=6，将各选项的横、纵坐标相乘，如积为6，则正确，故选D.【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．【变式】反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是A．t＜B．t＞c．t≤D．t≥【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t＞．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由交点的个数结合根的判别式得出不等式是关键．知识点三、函数的增减性【例题】已知反比例函数y=的图象经过点A、B，则a 与b的关系正确的是A．a=bB．a=﹣bc．a＜bD．a＞b【分析】利用反比例函数的增减性可判断a和b的大小关系，可求得答案．【解答】解：∵＞0，∴当x＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，∵1＜3，∴a＞b，故选D．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数在各象限内的增减性是解题的关键．【变式】已知点A、B都在反比例函数y=的图象上，则y1、y2的大小关系为A．y1＞y2B．y1＜y2c．y1=y2D．无法确定【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵点A、B都在反比例函数y=的图象上，∴每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．知识点四、面积计算【例题】如图，o为坐标原点，四边形oAcB是菱形，oB在x轴的正半轴上，sin∠AoB=，反比例函数y=在象限内的图象经过点A，与Bc交于点F，则△AoF的面积等于A．60B．80c．30D．40【分析】过点A作A⊥x轴于点，过点F作FN⊥x轴于点N，设oA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F 的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b 的值，通过分割图形求面积，最终找出△AoF的面积等于梯形ANF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点A作A⊥x轴于点，过点F作FN⊥x 轴于点N，如图所示．设oA=a，BF=b，在Rt△oA中，∠Ao=90°，oA=a，sin∠AoB=，∴A=oA•sin∠AoB=a，o==a，∴点A的坐标为．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a==48，解得：a=10，或a=﹣10．∴A=8，o=6．∵四边形oAcB是菱形，∴oA=oB=10，Bc∥oA，∴∠FBN=∠AoB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，∴点F的坐标为．∵点B在反比例函数y=的图象上，∴×b=48，解得：b=，或b=．∴FN=，BN=﹣5，N=oB+BN﹣o=﹣1．S△AoF=S△Ao+S梯形ANF﹣S△oFN=S梯形ANF=•N=×=××=40．故选D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、解直角三角形、梯形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出S梯形ANF．本题属于中档题，难度不大，但数据较繁琐，解决该题型题目时，通过分割图形求面积法找出所求三角形的面积与梯形面积相等是关键．【变式】如图，过反比例函数y=的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接Ao，若S△AoB=2，则的值为A．2B．3c．4D．5【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数的几何意义，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出值，再结合反比例函数在象限内有图象即可确定值．【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AoB=||=2，解得：=±4．∵反比例函数在象限有图象，∴=4．故选c．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，解题的关键是找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数的几何意义找出关于的含绝对值符号的一元一次方程是关键．知识点五、综合应用【例题】如图，o为坐标原点，四边形oAcB是菱形，oB在x轴的正半轴上，sin∠AoB=，反比例函数y=在象限内的图象经过点A，与Bc交于点F，则△AoF的面积等于A．60B．80c．30D．40【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】过点A作A⊥x轴于点，过点F作FN⊥x轴于点N，设oA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F 的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b 的值，通过分割图形求面积，最终找出△AoF的面积等于梯形ANF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点A作A⊥x轴于点，过点F作FN⊥x 轴于点N，如图所示．设oA=a，BF=b，在Rt△oA中，∠Ao=90°，oA=a，sin∠AoB=，∴A=oA•sin∠AoB=a，o==a，∴点A的坐标为．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a==48，解得：a=10，或a=﹣10．∴A=8，o=6．∵四边形oAcB是菱形，∴oA=oB=10，Bc∥oA，∴∠FBN=∠AoB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，∴点F的坐标为．∵点B在反比例函数y=的图象上，∴×b=48，解得：b=，或b=．∴FN=，BN=﹣5，N=oB+BN﹣o=﹣1．S△AoF=S△Ao+S梯形ANF﹣S△oFN=S梯形ANF=•N=×=××=40．故选D．【变式】如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，△ABo的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=的图象经过Ao的中点c，且与AB相交于点D，oB=4，AD=3，求反比例函数y=的解析式；求cos∠oAB的值；求经过c、D两点的一次函数解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设点D的坐标为，则点A的坐标为，由点A的坐标表示出点c的坐标，根据c、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于、的二元一次方程，解方程即可得出结论；由的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段oB、AB 的长度，通过解直角三角形即可得出结论；由的值，可找出点c、D的坐标，设出过点c、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点c、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：设点D的坐标为，则点A的坐标为，∵点c为线段Ao的中点，∴点c的坐标为．∵点c、点D均在反比例函数y=的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y=．∵=1，∴点A的坐标为，∴oB=4，AB=4．在Rt△ABo中，oB=4，AB=4，∠ABo=90°，∴oA==4，cos∠oAB===．）∵=1，∴点c的坐标为，点D的坐标为．设经过点c、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：．∴经过c、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于、的二元一次方程组；求出点A的坐标；求出点c、D的坐标．本题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可．【典例解析】【例题1】已知A、B、c是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是A．x1•x2＜0B．x1•x3＜0c．x2•x3＜0D．x1+x2＜0【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点c在象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．【解答】解：∵反比例函数y=中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点c在象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．【例题2】如图，△oAc和△BAD都是等腰直角三角形，∠Aco=∠ADB=90°，反比例函数y=在象限的图象经过点B，则△oAc与△BAD的面积之差S△oAc﹣S△BAD为A．36B．12c．6D．3【分析】设△oAc和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△oAc和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为．∵点B在反比例函数y=的象限图象上，∴×=a2﹣b2=6．∴S△oAc﹣S△BAD=a2﹣b2==×6=3．故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．【例题3】某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：第1天第2天第3天第4天售价x150XX50300销售量y40302420观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？【考点】一次函数的应用．【分析】由表中数据得出xy=6000，即可得出结果；由题意得出方程，解方程即可，注意检验．【解答】解：由表中数据得：xy=6000，∴y=，∴y是x的反比例函数，故所求函数关系式为y=；由题意得：y=3000，把y=代入得：•=3000，解得：x=240；经检验，x=240是原方程的根；答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．【点评】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．【中考热点】热点1：已知A，B是反比例函数y=图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y=x﹣的图象不经过A．象限B．第二象限c．第三象限D．第四象限【分析】首先根据x1＜x2＜0时，y1＞y2，确定反比例函数y=中的符号，然后再确定一次函数y=x﹣的图象所在象限．【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，∴＞0，∴﹣＜0，∴一次函数y=x﹣的图象经过、三、四象限，∴不经过第二象限，故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定的符号．热点2：如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y 轴于点B．若四边形oAPB的面积为3，则的值为A．3B．﹣3c．D．﹣【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=||．再由函数图象所在的象限确定的值即可．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形oAPB 的面积为3，∴矩形oAPB的面积S=||=3，解得=±3．又∵反比例函数的图象在象限，∴=3．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为||，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．热点3：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝x的图象在第二象限交于点c，cE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABo＝12，oB＝4,oE＝2．求反比例函数的解析式；若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接oD、BF，如果S△BAF＝4S△DFo，求点D的坐标.【知识点】锐角三角函数——锐角三角函数的求法、平面直角坐标系——利用图形变化确定点的坐标、反比例函数——反比例函数的表达式及反比例函数的图像及性质【解析】先由tan∠ABo＝cEBE＝12及oB＝4,oE＝2求出cE的长度，从而得到点c的坐标，再将点c的坐标代入y ＝x即可求得反比例函数的解析式．先由反比例函数y＝x的的几何意义得出S△DFo，由S △BAF＝4S△DFo得到S△BAF，根据S△BAF＝12AF•oB得出AF的长度，用AF-oA求出oF的长，据此可先得出点D的纵坐标，再求D得横坐标.【解答】∵oB＝4，oE＝2，∴BE＝oB＋oE＝6.∵cE⊥x轴,∴∠cEB＝90°.在Rt△BEc中，∵tan∠ABo＝12，∴cEBE＝12．即cE6＝12，解得cE＝3.结合图象可知c点的坐标为，将c代入反比例函数解析式可得3＝－2.解得＝－6．反比例函数解析式为y＝－6x．解：方法一：∵点D是y＝－6x的图象上的点，且DF ⊥y轴，∴S△DFo＝12×|－6|＝3.∴S△BAF＝4S△DFo＝4×3＝12.∴12AF•oB＝12.∴12×AF×4＝12.∴AF＝6.∴EF＝AF－oA＝6－2＝4.∴点D的纵坐标为－4.把y＝－4代入y＝－6x，得－4＝－6x.∴x＝32.∴D．方法二：设点D的坐标为.∵S△BAF＝4S△DFo，∴12AF•oB＝4×12oF•FD.∴oB＝4oF•FD.∴[2＋]×4＝－4ab.∴8－4b＝－4ab.又∵点D在反比例函数图象上，∴b＝－6a.∴ab＝－6.∴8－4b＝24.解得：b＝－4.把b＝－4代ab＝－6中，解得：a＝32.∴D．【方法总结】要确定反比例函数的表达式，只需根据题目提供的条件求出其图像上某一个点的坐标即可解决；反比例函数系数的几何意义：在反比例函数y＝x图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积是定值||．在反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的直角三角形的面积是定值12||，且保持不变．。