第三讲 债务契约与信贷配给

≥
U
0 L
(16)
(
ii
)U
0 L
≥
UL
(iii) ys ≥ Ps ≥ 0,∀s ∈ S
其中，约束i是帕累托有效约束，UL0是贷款人的某一期望 效用水平，它的高低决定了契约双方的利益分配状况。不 等是式参i与i中约的束U，L 它是保贷证款了人贷的款保人留愿期意望提效供用贷，款所。以不该等不式等i式ii则 是有限责任约束。
EuB + EuL = E ( y) − γπ ( S1 )
(15)
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同对称信息下的问题（2）相似，任何一个帕累托有效的
激励相容契约都可以通过求解下面的最值问题得到：
([ ]) max EuB
[Ps ;S0 ,S1]
Ps ; S0 , S1
( ) s.t.
(i) EuL
[Ps ; S0 , S1]
Ps= P(ys) ≡P， s∈S0
（10）
综合式(9)和(10)，激励相容契约的支付函数为
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P
(
ys
)
=
⎧⎪= ⎨
P
⎪⎩≤ P
s ∈ S0 s ∈ S1
(11)
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接下来可以考虑在激励相容契约中决定一 个最优契约的问题了。
¾ 假设签订契约的双方都是风险中性的，这样就
可以将他们的期望收益作为其期望效用----事
在这种情况下，签订契约时，他们会就每 一种可能出现的情况对应一种贷款归还金
额。这其实就是协议一个依赖于最终项目
收益y的支付函数P(y)----如果到时候 y 的
实现值是y，企业家向对方支付P(y)，他自 己得到y- P(y)。在有限责任条件下，有
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0 ≤ P(y) ≤ y
（1）
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现在考虑如何设计契约方能避免借款人隐瞒真实的 投资收益，这就是设计激励相容(incentive compatible)契约，让拥有私人信息的代理人说真话。
借款人申报的状态s可能处于事先指定的审计
区域S1或非审计区域S0.首先看s落到审计区域 内的情况。
¾ 如果s∈S1，要保证此时借款人说的是真话很容易， 这只需要事先在合同中规定，一旦审计结果证实
{ } L = E ⎡⎣uB ( y − P ( y))⎦⎤ − λ
U
0 L
−
E
⎣⎡uL
(
P
(
y
)
)⎦⎤
最优契约P(y)满足一届条件：
∂L ∂P
=
−E
⎡⎣uB′
(
y
−
P
(
y
))⎤⎦
+
λE
⎡⎣uL′
(
P
(
y
))⎤⎦
=
0
(3)
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不妨设投资项目收益 可能的取值范围是(-∞， ∞)，其概率分布函数为f(y),按数学期望的定义 就是
（3）如果审计结果发现借款人撒谎，对他如何 处罚。
¾ 一般地，可以定义一个惩罚函数：如果借款人宣称最 终真金实实K(现状s,s的态*)状是。态s如*(是果真ss实(=收s收*益，益是则是y表ys)s示，*)，审而借计贷款结款人果人向与经对借审方款计支人后付的发罚申现 报相符，对借款人不会有任何惩罚： K(s,s)。
∞
∫−∞
⎡⎣uB′
(
y
−
P
(
y ) )⎦⎤
f
(
y)
dy
=
∞
∫−∞
λuL′
(
P
(
y))
f
(
y)
dy
但是，因u’B和u’L都是严格单调递减的，必然有
uB′ ( y − P ( y)) = λuL′ ( P ( y)),∀y （4）
该式两端取对数后对y微分，得到：
uB′′ u′ 2013-1-23 B
P(ys)=P(yr),任意r ∈S1 （9）
现在假设s*∈S0。由于借款人的投资最终得到的收益不属于 事先指定的审计区域，借款人必然会选择一个对自己最有利 的结果报告对方。如果支付函数Ps= P(ys)在S0中是依赖于ys 的函数，在任何情况下借款人都必然会选择时的函数值P(ys) 最小的那个收益作为报告值。譬如，如果函数P(ys)在S0中 是ys的单调递增函数，则无论最终出现的投资收益ys *是什 么，借款人将总是宣称他得到的投资收益是min ｛ys∣s∈S0｝，即非审计区域中最小的那个收益值。可见， 在非审计区域内支付函数必然是一个常数P：
小化审计状态发生的概率π(S1)（在参与约束和有 限责任约束下）。
)
)
（5）
¾ 在有限责任约束非束紧时，这个式子刻画了信 息对称下帕累托最优借贷契约的特征，这要求 借款人向对方的支付随其投资收益的增加而增 加，因为P’(y)>0。
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评论
A 式（5）很好地体现了风险有效配置原则：
¾ 相对说来借款人的风险厌恶程度越高(AL/AB)， 贷款人的所得P(y)对投资收益y的敏感度越高， 从而借款人的所得y-P(y)也就越稳定；
借款人有撒谎行为，就对之进行足够严厉的惩罚。 如我们可以令
K(s,s*)=∞，s≠s*
（7）
¾ 在审计区域内借款人必然会如实报告投资收益：
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s=s*， s∈S1
（8）
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现在考虑借款人申报了一个属于非审计区域的状态值s∈S0。 此时，真实的状态s*可能处于S1中。为了保证借款人说真话， 首先必须排除s*∈S1的情况，这要求
EuL([Ps;S0,S1])=UL0
(17)
将其带入式(15)，问题(16)的目标函数变为：
EuB ([Ps ; S0, S1]) = E ( y) −UL − γπ ( S1 )
(18)
显然，给定投资项目期望收益E(y)，式(16)只有在
期望审计成本γπ(S1)达到最小时得解。又由于各神 记状态下的审计成本γ是固定的，最优契约要求最
其中E(y)是借款人投资项目的期望收益。相似地，
在审计成本为γ的假设下，贷款人从同一个契约
中获得的期望效用是
( ) ∑ EuL [Ps ; S0, S1] = Pπ ( S0 ) + ( ) π P s∈S1 s s − γπ S1
(14)
显然，二者之后是等于投资项目的期望收益减去
期望审计成本：
¾ 反过来，如果贷款人的风险厌恶程度相对更高， 则要求借款人承担大部分风险，向对方支付较 为稳定的金额。
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B 式(5)描述的最优借贷契约在现实中几乎 是不存在的。
¾ 我们观察到的借贷契约，在借款人不破产的场 合通常使用支付函数P(y)=D(1+r’)(r’是双方商 定的借贷利息率)，而不是依赖于借款人投资 收益的不确定值----这种实际的支付函数
D 标准借贷契约式（6）与（5）的背离说 明，对称信息假设在现实是不成立的。
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二、存在审计成本时的最优契约
假设1：假如存在信息不对称：在期末只有借款人自己清 楚他的投资项目最终实现了什么样的收益y，而贷款人观 察不到y。但是，贷款人可以通过审计探知真实的y，只是 这需要支付一定的成本。假设在任何收益结果y下，审计 成本都是一个常数γ>0。
( (
y y
− −
P P
( (
y y
) )
) )
(1
−
ห้องสมุดไป่ตู้P′
(
y
)
)
−
u u
L′′ ′
L
( (
P P
( (
y y
) )
) )
P′
(
y
)
=
0
8
注意到其中前后两个分时分别是借款者和 贷款者的阿罗-普拉特风险厌恶绝对系数 AB(·)和AL(·) ，而
P′
(
y
)
=
1
+
AL
(
P
(
y
)
)
1 AB
(
y
−
P
(
y
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（ 承1诺）的在支各付种为可P能s=的P(收ys)益。结果ys下，借款人向对方 （2）贷款人在那些情况下进行审计以核实借款
人申报的收益结果。
¾ 这相当于在状态空间S中指定一些状态，当借款人声称 最终出现的是这些状态中的一个时，即开始执行审计 程序。
¾ 记称审SS计11程包为序含 审的于计状S区是态域契集。约合显规。然定，要S执1的行补审集计S程0=序S-的S状1即态是集免合去，
P
(
y
)
=
⎧⎪P ⎨
y≥P
（6）
⎪⎩ y y < P
¾ 代表的契约成为“标准债务契约”。
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C 对银行等机构贷款人发行的贷款而言， 式（5）就更脱离实际了。
¾ 由阿罗-林德定理，向银行那样拥有大量股东 的机构贷款人，假设它们风险中性是一个良好 的近似，而按式（5），这意味着P‘(y) ≈1---最优契约要求银行承担几乎所有收益风险，借 款人获得近乎确定的收益。这是不可能的！
u记L(借·)，款满者足的效用函数为uB(·)，贷款者的效用函数为 u’B(·)>0, u’’B(·)<0, u’L(·)>0, u’’L(·)<0
任何一个帕累托有效契约都可以透过求解下面的最 大值问题得到：
maxE ⎡⎣uB ( y − P ( y))⎦⎤ P(i)