【多元函数积分学】4 重积分的应用

i 1
作为 S 的面积.
现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的
计算公式.
为此首先计算 Ai 的面积. 由于切平面 πi 的法向量就
是曲面 S 在点 Mi (i ,i , i ) 处的法向量 n, 记它与 z
轴的夹角为 i , 则
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ni
△Ai
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例2 求圆锥 z x2 y2 在圆柱体 x2 y2 x 内 那一部分的面积.
解 据曲面面积公式, S
1
z
2 x
z
2 y
dxdy,
D
其中 D
是
x2
y2
x,
即
x
1 2
2
y2
1 4
,
曲面方程
是 z
x2 y2 . 故 zx
x x2
y2
, zy
y ,
x2 y2
1
z
2 x
z
2 y
2,
平行z轴的柱面, 截下S上一块小曲面S 切平面上截下一小块平面dA
S dA(dA在xoy平面上的投影均是d )
设n与oz轴的夹角为 d dA cos
n { fx , f y ,1} cos 1
f
2 x
f
2 y
1
dA f f 1d 面积元素 2
2
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x
y
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(2) : A
D
Z
f
2 x
f
2 y
1d
n
D
dA
( z )2 ( z )2 1d
x y k
S
M
d dA cos
n
dA
Y
d
X
d ( x, y)
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同理可得
２．设曲面的方程为：x g( y, z)
曲面面积公式为：A
1
x 2
y
x z
2dydz;
D yz
３．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：A
1
y z
2
y x
2dzdx.
Dzx
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例1 证明半径为a的球面面积为S 4a2
解 取球心在原点
上 半 球 面 方 程z a2 x2 y2 ( f ( x, y))
z Ai
近用切平面 Ai 代替小
曲面片Si , 从而当
Si
充分小时, 有
n
n
x
O
S Si Ai ,
D
i
i 1
i 1
y
这里 S, Si , Ai 分别
图 表示 S, Si , Ai 的面积.
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n
(3) 当 0 时, 定义和式 Ai 的极限 (若存在)
z
' x
x a2 x2 y2
z
' y
y a2 x2 y2
1
z
2 x
z
2 y
a a2 x2 y2
由公式 A
a
用极坐标
d
2 D a2 x2 y2
A 4a 2
2
a ar
d
dr 2 a[
a r 0
0
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a 2 r 2 ]0a 2 a 2
z
Mi
Ai
Si
O
x
D
i
y
图
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(2) 在每个 Si 上任取一点 M i , 作曲面在这一点的切
平面 i , 并在 i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 Si 在
x y 平面上的投影都是 i (见图). 在点 Mi 附
S : z f (x, y) Mi
3
二、曲面的面积—二重积分在几何上的应用
问题提出: 设曲面S : z f ( x, y) ( x, y) D D 曲面在xoy平面上的投影区域 设f ( x, y)在D上有连续的一阶偏导数 (曲面z f ( x, y) 称之"光滑曲面") 求 :曲面S的面积A
分析：曲面分细, 每一小块上取一点M，求点M 处切平面,"以平代曲",再求和取极限
f
2 x
(
x,
y)
f
2 y
(
x
,
y)
dxdy.
这就得
D
到曲面 S 的面积计算公式:
S
1
f
2 x
(
x,
y)
f
2 y
(
x,
y)
dxdy
D
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微元法: (1)无限细分区域D
考虑: 任意小区域d (也表示小区域的面积) p(x, y) d S : M (x, y f (x, y)), 过M作曲面S的切平面, 过d的边界作母线
S
D
2dxdy
2 π. 4
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三、重心
设 xoy平面上有 n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )，,( xn , yn )处，质量分别
为m1 , m2 ,, mn．则该质点系的重心的坐标为
第四节
重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的重心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力
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1. 能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是 分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法) • 从重积分定义出发 建立积分式
k
Z
Si
M
i Ai cosi
i
ni
△Ai
Y
i ( x, y) X
i
i
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| cos(n, z) | | cos i |
1
.
1
f
2 x
(
i
,i
)
f
2 y
(
i
,i
)
因为 Ai 在 xy 平面上的投影为 i ,所以
Ai
i cos i
1
3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
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一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V dxdydz
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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曲面 S : z f ( x, y) , ( x, y) D
(1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 i
(i 1, 2, , n). 这个分割相应地将曲面 S 也分成 n 个
小曲面片 Si (i 1,2, , n).
S : z f (x, y)
f
2 x
(i
,i
)
f
2 y
(
i
,i
)
i.
注意到和数
n
n
Ai
1
f
2 x
(
i
,i
)
f
2 y
(
i
,i
)
i
i 1
i 1
是连续函数
1
f
2 x
(
x,
y
)
f
2 y
(
x
,
y
)
在有界闭域 D
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上的积分和, 于是当 0 时, 上式左边趋于 S;
而右边趋于
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